格林公式及其应用(36)课件

1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积10.3 格林公式及其应用上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式v单连通与复连通区域 单连通区域复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 边界曲线的正向边界曲线的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D总总在他的左边在他的左边.上页 下页 返回 退出 Jlin Ins

2、titute of Chemical Technology 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 定理证明应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D

3、的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology),()(),(21bxaxyxyxD 证明(1),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 上页 下页 返

4、回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologydxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyy

5、PxQdxdyyPxQ上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 231)(LLLQdy

6、Pdx LQdyPdx),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 格林公式: v用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则在格林公式中 令Py Qx 则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( DLdxdyxdyydx2 或LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology格林公式: v用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A

7、 设区域D的边界曲线为L 则 解 设L是由椭圆曲线 则 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( LydxxdyA21 LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dabab qabdab2021 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示:因此 由格林公式有 格林公式: 用格林公式计算二重积分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 计算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 要

8、使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 则2yeyPxQ 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology因此 由格林公式有 格林公式: v用格林公式计算二重积分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 计算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 为顶点的三角形闭区域 BOABOAyDydyxedxdye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxe

9、dxdye22 令 P0 2yxeQ 则2yeyPxQ 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyxyoL简化曲线积分简化曲线积分ABDBOABOAL 格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 解 当(0 0)D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 当x2y20时 有 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 例 4 计算Lyxydxxdy22 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L

10、的方向为逆时针方向 这里22yxyP 22yxxQ v用格林公式求闭曲线积分 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology在D内取一圆周l: x2y2r2(r0) 当(0 0)D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向 于是 例 4 计算Lyxydxxdy22 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr

11、lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 与路径无关 否则说与路径有关 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立 就说曲线积分LQdyPdx在 G 内 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technol

12、ogy二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线 而且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意闭曲线 C 的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 v定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 定

13、理证明 在 G 内恒成立xQyP闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式数 则曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导意闭曲线 C 的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立讨论: 提示: .0 xQyP

14、QdyPdxQdyPdxLL与路径无关 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？ 022Lyxydxxdy上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 这里P2xy Qx2 选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线 则 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关11102dy 因为xxQyP2 所以积分 Ldyxxydx22与路径无关 例 5 计算Ldyxxydx22 其中 L 为抛

15、物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 三、二元函数的全微分求积 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv原函数

16、 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数 v定理3 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立 xQyP上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv求原函数的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyx

17、Qyxu00),(),(),(0 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 ： 这里 例6 验证 2xydxx2dy在整个xOy平面内是某一函数u(x y)的全微分 并求这样的一个u(x y). yPxxQ2所以P(x y)dxQ(x y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x y)的全微分 ),()0 , 0(22),(yxCdyxxydxyxuyyCyxCxydxdy00220上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例7设有一变力在坐标轴上的投影为Xxy2 Y2xy8 这变力确定了一个力场 证明质点在此场内移动时 场力所做的功与路径无关 解： 场力所作的功为 d