初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用摘

1、初屮数学获奖论文浅谈反证法在屮学数学屮的应用摘要反证法是教学屮非常ie要的一种方法，当我们解 决数学问题时正向思维就足，-般总足采用从正囬入手的常规思维途径进行思考。可如果川这种思维a式 对于特定的数学m题形成了一种较为强烈的意识，就转变成思维定势。然而有些w题需要兑服思维定势的 消极而，从辩证思维的观点出发，并且要从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题这样能更容易，所以 就要运用反证法解决问题。关于反证法的应用的文章在近儿年层次不穷，但是我发现其屮较多的文章是在 阐述反证法在高等数学屮的应用，反而忽略反证法入门知识在屮学数学屮的应用，从而使得许多学生只能 观其形却不能明其意，致使一些初学反证

2、法的学屯只会反证法却不知如何去应川。在此，本文就反证法的定 义、逻辑原理、证明模式、以及解题的方法来说明反证法在屮学数学中的应用，使人家对反证法入门有了 更深刻地了解。关键词：推理，反证法，证明，矛盾，逻辑原理，假设。1. 引言宥个很著名的''道旁苦李"的故事：从前宥个名叫王戍的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵 树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后冰知是苦的，独冇王戎没动，王戎说："假如李子不苦 的话，早被路人摘光r,而这树上却结满/李子，所以李子一定是苦的。"这个故事中王戎川丫一种特殊的 方法，从反而论述了李子为什么不甜，不好吃。这

3、种间接的证法就是我们下而所要讨论的反证法。反证法 不但在初等数学中有耵广泛的应用，而且在髙等数学中也其有特殊作用。数学中的一些熏要结论，从最基 本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。2. 反i正法的实质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出 发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到背定原命题正确的一种力法。反证法可以分 为归谬反证法（结论的反而只有一种）与穷举反证法（结论的反而不只-种用反证法证明一个命题的步骤， 大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的

4、互为否定的表述形式是宥必要的，例如： 是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；直于/不垂直于；等于/不等于：大（小）于/不大（小）于；都是/ 不都是；至少冇一个/一个也没冇：至少冇n个/:电多冇（n 1）个；至多冇一个/至少冇两个：唯一/至少冇 两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无 源之水，无木之木。推理必须严滿。导出的矛盾有如f儿种类型：与已知条件矛盾；与己知的公理、定义、 定理、公式矛盾；与反设矛盾；相矛盾。3. 反证法的逻辑依据、种类及模式3.1逻辑依据反证法的理论依裾足形式逻辑中的两个基本规律一矛盾律和排中律。所矛盾律"

5、是说: 在同-论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，興中至少有一个是假的。而所谓'排中律"则是说：任 何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论''p真"与''非p真"中有且只有一个是正确的。 关于反证法，法w数学家阿达玛w说过： ''这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定3x结论，就会导致 矛盾。"这段话可以理解力：假设命题的结论不正确，并运川此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾， （根据矛盾律）知该相反判断的错误性，（再根据排中律）进而知判断本身的正确性。这就足反证法的逻辑 依

6、据。由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。.2种类运用反证法的关键在于归谬，因此反证法乂称为归谬法。根据结论b的反而情况不同，分为简单 归谬法和穷举归谬法。3.3模式设待证的命题为''若a则b"，其屮a是题设，b是结论，a、b本身也都 是数学判断，那么用反证法证明命题一般冇三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。.反证法的适用范围反证法"虽然是在平面儿何教材屮出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三 角、立体儿何、解析

7、儿何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法來证呢？当然没冇绝对的标 准，但证题的实践吿诉我们：下面几种命题一般川反证法來证比较力便。4.1否定性命题即结论以"没有.不是.w不能."等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：za，zb，zc是三角形abc的三个内角。求证：za, zb, zc屮不能冇两个钝角。证明：假如za，zb, zc中冇两个钝角， 不妨设za900, kzb>900,则za+zb+zc1800。这与"三角形内角和为1800"这一定理相矛盾，故 za, zb

8、均人于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。4.2限定式命题即结论中含有w至多"、"至少"、''不多于"或''最多"等词语的命题。例在半径为的圆中， 宥半径等于1的九个圆，证明：至少宥两个小脚的公共部分的面积不小于。证明：每个小脚的公共部分 的面积都小于，而九个小圆共冇个公共部分，九个小圆的公共部分面积耍小于，又大圆面积为，则九 个小圆应占面积耍大于，这是不可能的，故至少冇两个小圆的公共部分面积不少丁。例己知方程， 中至少有一个方程有实数值，求实数的取值范围。分析：此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦，

9、可 用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件的集合的补级即可。证明：假设三个方程都无实 根，则有： 解得所求的范闱为.4.3无穷性命题即涉及各种''无限"结论的命题。例求证：是无理数。分析：由于题目给我们可供便用 的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又足无限不循环的，x'无限"与''不循环" 都很难表示出来。当反没是有理数吋，就增加了一个具体而有效的''条件"，使得能方便地将表示为一个 分数。证明：假设是有理数，则存在互质，使，从而，为偶数，记为，/.，/.，则也是偶数

10、。由， 均为偶数与、互质矛盾，故是无理数。4.4逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带來方便。例il:命题：若四 边形冇一个内切圆，则对边之和必相等。逆命题：若四边形对边之和相等，则它必冇一个内切圆。逆命 题的证明：如图，若ab+cd=ad+bc. (1)，没四边形abcd不能有一个内切圆，则可作o0与其三边ad、dc、ab相t刀，而bc与o0相离或相交，过c作o0的切线交ab或延长线于点e，由正命题知：ae+cd =ad+ce. (2).当 bc 与oo 相离时，(1) (2)得 ab-ae=bc-ce bc=ce+be,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当bc与

11、o0相交时，(2) - (1)得ae-ab=ce-bcbc=ce+be，同样推出矛盾， 则bc与o0不能相交或离，bc与o0必相切，故四边形必冇一个内切圆。4.5某些存在性命题例设x，ye(0, 1),求证：对于a, ber ,必存在满足条件的x，y，使|xy-ax-by|>成立.证明：假设对于一切x , yg0，1)使|xy - ax- by| <恒成立，令x = 0 , y = 1， 则|b|令x=l，y = 0 ,得|a|令x = y= l，得|l-a-b|<s|l-a-b|2l-|a|-|b| 1-=产生矛盾，故欲证结论正确。4.6全称肯定性命题即结论以'&#

12、39;紐."、".都.全."等出现的，这类背定性命题可以川反证法试试。例求证：无论是什么自然数，总是既约份数。证明：假没不是既约分数，令(1)，(2)()，且为既约，由(2) x3- (1) x2得，因为整数，为分数，则不成立，故假设不成立，分数是 既约的。4.7些不等最命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种要方法，但当结论反面冇无穷多种怙况 吋，一般不宜川反证法。例在aabc巾，zozb,求证：abac.分析：此题看似简单，不用反证法， 用乎而几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。证明：假设ab不大于ac,即absac，下而就 ab<ac或ab

13、= ac河种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立. (1)若ab=ac，则aabc为等腰三角形，/.zb=zc,与已知zczb矛盾.(2)若ab<ac,在ab延长线上取一点d，使得ad=ac，连接dc. vad=ac /.aadc为等腰三角形 zadc = zacd,又yzabc >jaabd 的一个外角zabczbdc= zacd kijzacd> zacb= zc zabozc即zbzc,与己知矛盾.假没不成立，原命题成立.4.8基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于己知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由 题设条件所能推出的结论很少

14、，因而接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面儿何在按照 公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少s的定义、公理。因此，起始阶段的一残性质和定理 很难直接推证，它们多数立川反证法來证明。例己知：如图ab丄ef于m。cd丄ef于n。求证：ab/cd证明：假设ab，cd不平行，即ab, cd交 于点p ,则过p点有ab丄ef，且cd丄ef，与”过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线牙盾。人假设错误，则ab/cd。例求证：两条相交直线只冇一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点p， 求证：a、b只冇一个交点。证明：假定a，b相交不只冇一个交点p，那么a，b至少冇两个交点p、q。

15、于是直线a是由p、q两点确定的直线，直线b也是由p、q两点确定的直线，即由p、q两点确定了两条 直线a， bo与己知公理”两点只确定一条直线"相矛盾，则a， b不可能有两个交点，于是两条相交直线 只有一个交点。4.9整除性问题例设a、b都是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明：假设a、 b不都能被3整除，分三种情况讨论：（l）a、b都不能被3幣除，因a不能被3幣除，故a2不能被3整 除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3幣除，矛盾.（2） a能被3幣除，b不能被3整除， 可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可

16、证第三种情况.由（1） （2）（3）得，原命题成立.5.运用反证法应注意的问题5.1必须正确否定结论正确否定结论足运用反证法的首要问题。如：命题"一个三角形中，至多冇一个内 角是直角"。"至多有一个"指： ''只有一个"或w没有一个"，其反而是”有两个直角"或”三个内角都是直角"，即 ''至少有两个是直角"。5.2必须明确推理特点否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能 预测的，也没冇一个机械的标准，冇的共至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平 面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正足反证法推理的特点。因此，在推理前不必耍也 不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛 盾一经出现，证明即告结朿。5.3 了解矛盾种