中考数学一轮复习导学练案(几何与变换篇)第四节：勾股定理导学练案

1、第四节： 勾股定理导学练案学习目标：1. 把握勾股定理及逆定理的基本内容；2.了解背景，掌握勾股定理及其逆定理的证明过程；3. 会用勾股定理逆定理判定直角三角形；4. 会运用勾股定理和逆定理解决简单的问题；5. 结合勾股定理进行基本作图，并会运用基本图解决简单作图问题；复习反馈：1. 勾股定理及其证明：（1）在RtABC中，BC=12，AC=9，则AB=_.(2)如图41，直角梯形ABCD是由两个全等的直角三角形拼接而成，你能利用下图验证：a2+b2=c2吗？2.勾股定理的逆定理：（1）已知ABC的三边长分别为2，,则ABC的最大内角为_度；（2）勾股数：能够成为直角三角形三条边的三个整数称为

2、勾股数.常见的股数有：3，4，5及其倍数；5，12，13及其倍数；7，24，25及其倍数3. 用尺规完成以下四个基本作图（不需写已知、求作、作法、只保留作图痕迹）：（1）如图4.42，已知线段a，求作：线段AB，使AB=a;（2）如图4.43，已知P，求作：AOB，使AOB=P；（3）如图4.44，已知O，求作：射线OA，使射线OA平分O；（4）如图4.45，已知线段AB ，求作直线CD，使直线CD垂直平分线段AB；合作探究：考点1 勾股定理及其运用（2015青海西宁第17题2分）如图，RtABC中，B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则

3、CD的长为考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4x，在RtBCD中根据勾股定理求出x的值即可解答：DE是AC的垂直平分线，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4x，在RtBCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4x）2，解得x=故答案为：点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键考点2 勾股定理逆定理及其运用（2015桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A30，40，50B7，

4、12，13C5，9，12D3，4，6考点：勾股定理的逆定理分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可如果有这种关系，这个就是直角三角形解答： A、302+402=502，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、72+122132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、52+92122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、32+4262，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所

5、给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断考点3 与股定理有关的计算（2015东营,第17题4分）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为考点： 平面展开-最短路径问题专题： 计算题分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，BCMACN

6、，=，即=2，即MC=2NC，CN=MN=，在RtACN中，根据勾股定理得：AC=，故答案为：点评： 此题考查了平面展开最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键考点4利用勾股定理进行尺规作图（2015浙江丽水，第19题6分）如图，已知ABC，C=Rt，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若B=37°，求CAD的度数.【答案】解：（1）作图如下：（2）ABC中，C=Rt，B=37°，BAC=53°.AD=BD，B=

7、BAD=37°CAD=BACBAD=16°.【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.（2）根据直角三角形两锐角互余，求出BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出BAD，从而作差求得CAD的度数.形成提升：1. （2015枣庄,第15题4分）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于 2. （2015毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直

8、角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，43. （2015四川省内江市，第22题，6分）在ABC中，B=30°，AB=12，AC=6，则BC=4. （2015四川眉山，第10题3分）如图，在RtABC中，B=90°，A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=1，则AC的长是（）A2 B2 C4 D45. （2015广东广州,第16题3分）如图，四边形ABCD中，A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度

9、的最大值为 3 6. （2015四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A13cmBcmCcmDcm7. （2015·湖北省武汉市，第16题3分）如图，AOB30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_8. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m现要将

10、其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015枣庄,第15题4分）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于8考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线.专题：计算题分析：由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可解答：如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD=8故答案

11、是：8点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点2. （2015毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，4考点： 勾股定理的逆定理分析： 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是解答： 解：A、（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误；D、22+3242，不能构成

12、直角三角形，故错误故选：B点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可3. （2015四川省内江市，第22题，6分）在ABC中，B=30°，AB=12，AC=6，则BC=6考点：含30度角的直角三角形；勾股定理分析：由B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长解答：B=30°，AB=12，AC=6，ABC是直角三角形，BC=6，故答案为：6°点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，

13、以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键4. （2015四川眉山，第10题3分）如图，在RtABC中，B=90°，A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=1，则AC的长是（）A2 B2 C4 D4考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理分析：求出ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出ACD=A=30°，求出DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可解答：在RtABC中，B=90°，A=30°，ACB=60°，DE垂直平分斜边A

14、C，AD=CD，ACD=A=30°，DCB=60°30°=30°，在RtDBC中，B=90°，DCB=30°，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC=，在RtABC中，B=90°，A=30°，BC=，AC=2BC=2，故选A点评：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半5. （2015广东广州,第16题3分）如图，四边形ABCD中，A=90&#

15、176;，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 3 考点：三角形中位线定理；勾股定理专题：动点型分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3解答：ED=EM，MF=FN，EF=DN，DN最大时，EF最大，N与B重合时DN最大，此时DN=DB=6，EF的最大值为3故答案为3点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键6. （2015四川资阳,第9题3

16、分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A13cmBcmCcmDcm考点：平面展开-最短路径问题.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解答：解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称

17、点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=13（Cm）故选：A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力7. （2015·湖北省武汉市，第16题3分）如图，AOB30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_【解析】作M关于ON对称点M1，点N关于OA的对称点N1，连接M1N1分别交OA、ON于Q，P，此时MP+PQ+NQ的值最小.由对称性质知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.连接ON1、OM

18、1，则M1OP=POM=N1OM=30°，所以N1OM1=90°.又ON1=ON=3，OM1 =OM=1,所以M1N1=.【指点迷津】线段和的最小值问题，一般都是将几条线段转化为同一条线段长度，根据两点之间线段最短来说明.一般是通过做对称点转化到同一条线段上，根据勾股定理计算最小值.8. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长考点：等腰三角形、直角三角形、勾设定理、分类思想、设计类问题专题：分类思想、勾股定理、设计类问题分析：原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，如图1；二是延长BC至点D，使CD4，则BDAB10，得等腰三角形ABD，如图2；三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D，则DADB，得等腰三角形ABD，如图3先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可解答：分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为RtABC，其中BC6m，AC8m，ACB90