高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数习题课学案 苏教版必修1

1、对数函数习题课1理解对数的概念及其运算性质2理解对数函数的概念，了解对数函数的性质，能利用这些性质解决相关问题3知道指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数反函数一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数记作yf1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数指数函数yax(a0，a1)和对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线yx对称并不是所有的函数都有反函数例如函数yx2没有反函数只有“一对一”的函数，即对任意x1x2能推断出f(x1)

2、f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数这里x1，x2是f(x)的定义域内的两个值【做一做1】函数y(x1)的反函数是_解析：由原函数，得x1，从而f1(x)1(x0)答案：y1(x0)【做一做2】函数y2x1(xr)的反函数是_解析：y2x1(xr)，x1log2y(y0)函数y2x1(xr)的反函数为y1log2x(x0)答案：y1log2x(x0)题型一 对数的运算性质【例1】给定anlog(n1)(n2)，nn*，定义使a1·a2·a3··ak为整数的k(kn*)叫做“企盼数”，求区间(1,62)内的所有企盼数的和分析：本题给出了“企盼数”的定义

3、，其条件为k个数之积为整数，而这k个数的底数是不同的，所以联想到用换底公式来求解解：anlog(n1)(n2)，a1·a2·a3··aklog23×log34×log45××log(k1)(k2)××××log2(k2)设log2(k2)为整数m，即log2(k2)m(mz)k22m，即k2m2.又k(1,62)，即12m262，32m64.m2,3,4,5，代入k2m2得到k2,6,14,30.区间(1,62)内所有“企盼数”之和为26143052.反思：换底公式是架设在不

4、同底数的对数运算中的桥梁，通过这一公式可进行对数之间的运算，如通分、约分等题型二 对数函数模型【例2】定义：函数yf(x)，xd，若存在常数c，对于任意x1d，存在惟一的x2d，使得c，则称函数f(x)在d上的“均值”为c.已知f(x)lg x，x10,100，求函数f(x)lg x在10,100上的均值分析：本题是新定义题，其关键是在10,100上x2被x1惟一确定，且f(x1)f(x2)lg(x1x2)为常数，故可令x2，然后依据x210,100，求出m1 000，再由c求出c.解：由题意，当10x1100时，x2也要在10,100内，且c，即x1x2是常数令x2，又，m1 000.c，即

5、函数f(x)lg x在10,100上的均值为.反思：分析法是探究数学问题的重要方法，它从结论出发，通过一定的计算与证明，回归到条件，或化归成我们熟知的定理、定义和常用结论本题就是分析法的典例【例3】已知函数f(x)的定义域为(0，)且单调递增，满足f(4)1，f(xy)f(x)f(y)(1)证明f(1)0；(2)求f(16)；(3)若f(x)f(x3)1，求x的范围；(4)试证f(xn)nf(x)(nn)分析：因为f(xy)f(x)f(y)，所以联想函数f(x)是对数函数f(x)logax的模型，从而猜想f(1)0，f(16)2，再将不等式中的“f”脱去，化为整式不等式而求解(1)证明：令x1

6、，y4，得f(1×4)f(1)f(4)，从而f(1)0.(2)解：令xy4，得f(16)f(4)f(4)2.(3)解：由已知等式得f(x3)1f(x3)f(4)f(4x12)f(x)在(0，)上单调递增，原不等式可化为解之，得x4，解集为4，)(4)证明：f(xy)f(x)f(y)，f(xn)nf(x)反思：有关抽象函数的问题，通常能在我们学习过的函数中寻找到模型，由此类比猜想可求问题，从而迅速准确地解决问题题型三 求反函数【例4】已知函数f(x)的反函数为g(x)12lg x(x0)，求f(1)g(1)的值分析：本题有两种解法，方法一是先求f(x)的表达式，再求f(1)的值；方法二

7、是将f(1)的值作为g(x)中的自变量x的值，而自变量x1作为g(x)的函数值，从而得解解：方法一：由g(x)12lg x，得lg x，从而x10，即f(x)10.所以f(1)1001.又g(1)12lg 11，得f(1)g(1)2.方法二：若g(x)1，则由12lg x1得x1，即f(1)1.又g(1)1，所以f(1)g(1)2.反思：正确理解互为反函数的定义，在解题中能收到事半功倍的效果1方程9x6·3x70的解是_解析：(3x)26·3x703x7或3x1(舍去)，解得xlog37.答案：xlog372已知log23a，log37b，则log27_(用a，b表示)答案

8、：ab3 loga1，则a的取值范围是_解析：当a1时，loga1logaa.a.又a1，a1.当0a1时，loga1logaa.a.又0a1，0a.答案：(1，)4记f(x)log3(x1)的反函数为yf1(x)，则方程f1(x)8的解x_.解析：由f1(x)8，得f(8)log3(81)2，所以f1(x)8的解为x2.答案：25已知定义域为(0，)的函数f(x)，同时满足下列条件：f(2)1，f(6)，f(x·y)f(x)f(y)求f(3)，f(9)的值解：取x2，y3，得f(6)f(2)f(3)，因为f(2)1，f(6)，所以f(3).又取xy3，得f(9)f(3)f(3).6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f37