空间曲线及其方程(33)课件

1、第六节 空间曲线及其方程第十章一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影四、一元向量值函数四、一元向量值函数2 0),(0),(zyxGzyxF 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程. .空间曲线空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程3 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 63321

2、22zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆. .例例14方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.例例25区间区间Ittzztyytxx )()()( 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二

3、、空间曲线的参数方程6 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过 t 时间，运动到时间，运动到M点点 M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t 为参数，为参数，解解xyzoA MM t 例例37螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 8 0),(0),(zyxGzyxF设空间曲线设空间曲

4、线C的一般方程：的一般方程：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影1.定义定义以以C为准线，作母线平行于为准线，作母线平行于z 轴的柱面轴的柱面 oxyz，则称，则称 与与xoy 面的交线面的交线Cxoy为曲线为曲线C在在 xoy 面上的面上的投影投影(曲线曲线), 且称且称 为曲线为曲线C关于关于xoy面的面的投影柱面投影柱面.CCxoy 9 0),(0),(zyxGzyxFC：2. 确定投影曲线确定投影曲线Cxoy的方法的方法消去消去z即即投投影影柱柱面面。轴轴的的柱柱面面母母线线平平行行,z曲线曲线C关于关于 的的投影曲线投影曲线xoy0 ),(:yxHoxyzCCxo

5、y 上，上，：在曲面在曲面0C )(yxH 00zyxHCxoy),(：10类似地，可求类似地，可求C在在yoz 面上的投影面上的投影Cyoz: 0),(0),(zyxGzyxF消去消去x 00),(:zyRxCyozC在在zox 面上的投影面上的投影 Czox: 0),(0),(zyxGzyxF消去消去y 00yzxTCzox),(:11例例4zyxC1o在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 002222zyyx 1)1()1(1:222222zyxzyxC 0141212122zyx)(12求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）在）

6、在xoy面，面，在在 面上的投影为面上的投影为xoy 04322zyx 211222zzyx消去消去z4322 yx例例513所以在所以在 面上的投影面上的投影Czox为线段：为线段：xoz23|,021 xyz（2）在）在zox面上面上21 z中中，在在 211222zzyx(不含不含y)是母线是母线平行于平行于y 轴的柱面轴的柱面 021yz投影柱面投影柱面14（3）同理在）同理在 面上的投影面上的投影Cyoz也为线段也为线段:yoz.23|,021 yxz15例例6求曲线求曲线C ： 1222zyxz在各坐标面上的投影在各坐标面上的投影.解解（1）在）在xoy面，面，在在 面上的投影为面

7、上的投影为xoy 0122zyx消去消去z122 yx 1222zyxzoxyz16（2）在）在yoz面上面上yoz面上的投影面上的投影Cyoz为线段：为线段：1|,01 yxz1 z中中，在在 1222zyxz(不含不含x)是母线是母线平行于平行于x轴的柱面轴的柱面投影柱面投影柱面（3）同理）同理xoz面上的投影面上的投影Czox也为线段也为线段:. 1|,01 xyz17求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. 截线截线C的方程为的方程为: 0222zyxxzy解解如图如图, ,xyzo例例718（2）消

8、消去去y，得得 C 在在 zox 面面上上的的投投影影： ,0042522 yxxzzx（3）消消去去x，得得 C 在在 yoz 面面上上的的投投影影： .00222 xzyzy（1）消消去去z，得得 C 在在 xoy 面面上上的的投投影影： ,004522 zxxyyx19四、一元向量值函数四、一元向量值函数1. 基本概念基本概念Ittrr ),(空间曲线的向量形式空间曲线的向量形式.,)()()()(,为为区区间间其其中中Iktzjtyitxtrkzj yi xr xozyC)(trM )(trM )(tr MxozyC)(trM )(tz )(tx)(ty Ittrr ),(3RRI 确

9、确定定了了从从的一个映射，称此映射的一个映射，称此映射为为一元向量值函数一元向量值函数.(1) 一元向量值函数一元向量值函数20(2) 向量值函数的极限向量值函数的极限的的某某邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设向向量量值值函函数数0)(ttr，使，使若存在常向量若存在常向量0r, 0)(lim00 rtrtt,)(00rtrtt的的极极限限为为时时，向向量量值值函函数数则则称称当当 .)(lim00rtrtt 记记作作(3) 向量值函数在一点连续向量值函数在一点连续，则则称称若若)()(lim00trtrtt .)(0连连续续在在向向量量值值函函数数ttr21(3) 向量值函数在一点可导向

10、量值函数在一点可导ttrttrtttrtrttt )()(lim)()(lim000000若若存在，则称向量值函数存在，则称向量值函数可可导导，并并称称这这个个极极限限在在0)(ttr),()(00trttr 的的导导向向量量，记记作作在在为为即即.)()(lim)(0000ttrttrtrt 222. 重要结论重要结论,)()()()(ktzjtyitxtr 设设则则 (1) 00)(rtrtt的的极极限限存存在在且且为为时时，当当 .0000kzjyixr 000)(lim)(lim)(lim000ztzytyxtxtttttt的的充要条件充要条件是是23连连续续在在向向量量值值函函数数0

11、)()2(ttr.)(),(),(0处处连连续续均均在在ttztytx可可导导在在向向量量值值函函数数0)()3(ttr处处可可导导，且且均均在在0)(),(),(ttztytx.)()()()(0000ktzjtyitxtr 的的充要条件充要条件是是的的充要条件充要条件是是3. 导向量的物理意义导向量的物理意义为为时时间间，则则，其其中中的的运运动动方方程程为为设设质质点点ttrrM)( )()(00tvtr .0时时刻刻运运动动的的速速度度向向量量即即为为质质点点在在t24空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程小结与思考题小结与思考题空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT25思