简单复合函数的求导法则课件

1、一、教学目标：一、教学目标：1、了解简单复合函数、了解简单复合函数的求导法则；的求导法则；2、会运用上述法则，求简、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。单复合函数的导数。二、教学重点：二、教学重点：简单复合函数的求导法简单复合函数的求导法则的应用则的应用教学难点：教学难点：简单复合函数的求导法则的简单复合函数的求导法则的应用应用三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程复习：复习：两个函数的和、差、积、商的两个函数的和、差、积、商的求导公式。求导公式。1、 常见函数的导数公式：常见函数的导数公式：0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin

2、)(cos2、法则、法则1 )()()()(xvxuxvxu法则法则2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x , ( )( )Cu xCu x 法则法则3 2(0)uu vuvvvv复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课函数函数 ， ， 构成间的关系？构成间的关系？2uy 23 xu2)23( xy可由可由 与与 复合得到复合得到 2uy 23 xu2)23( xy例例1 指出下列函数的复合关系：指出下列函数的复合关系： 32)2(xy （1）2sin xy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4） 由由 复合而成复合而成 3

3、2)2(xy 232,xuuy 解解：（：（1）（2 2） 由由 复合而成复合而成 2sin xy 2,sinxuuy （3 3） 由由 复合而复合而成成 xy4cos xuuy 4,cos （4 4） 由由 复合而复合而成成 )13sin(ln xy13,sin,ln xvvuuy复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课例例2 写出由下列函数复合而成的函数：写出由下列函数复合而成的函数： （1） （2 2）21,cosxuuy xuuyln,ln 解解：（：（1 1）).ln(lnxy )1cos(2xy （2）引例引例 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油轮发生泄漏事故，泄出的

4、原油在海面上形成一个圆形油膜，其面积成一个圆形油膜，其面积 是半径是半径 的函数：的函数：Sr 油膜半径油膜半径 随着时间随着时间 的增加而扩大，其函数关的增加而扩大，其函数关系为：系为：tr2)(rrfS12)(ttr 问：油膜面积问：油膜面积 关于时间关于时间 的瞬时变化率是多的瞬时变化率是多少？少？St分析：分析：油膜面积油膜面积 关于时间关于时间 的新函数：的新函数：St2)12()(ttfS)12(4)48()(tttf)144()12()(2tttftf由于由于所以由导数的运算法则可得：所以由导数的运算法则可得：2)(,2)(trrrf)()12(2)12(2)(ttfttf概括概

5、括 一般地，对函数一般地，对函数 和和 ，给定给定 的一个值，可得的一个值，可得 的值，进而确定的值，进而确定 的值，的值，这就确定了新函数这就确定了新函数 ，它是由，它是由 和和 复合而成的，我们称之为复合函复合而成的，我们称之为复合函数，其中数，其中 是中间变量。是中间变量。)(ufy baxxu)(xyu)(baxfy)(ufy baxxu)(u复合函数复合函数 的导数：的导数：)(baxfy)()()()(baxf axufuf复合函数复合函数 中，令中，令 ，则，则)(xfy)(xu)()()(xufxf注意：注意： 复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中复合函数的中间变量可以是任

6、何函数，在高中阶段我们只讨论阶段我们只讨论 的情况。的情况。baxxu)(推广：推广：注意：注意：不要写成不要写成 ！)(xf对对x求导求导对对 求导求导)(x复合函数的导数复合函数的导数若若 ， ，求，求 23,2 xuuy)(,xfuyxu 2)23()( xxf并分析三个函数解析式以及导数之间的关系并分析三个函数解析式以及导数之间的关系新授课新授课128)4129()23()(22 xxxxxfuyu2 3 xu12183)23(232 xxuuyxu函数函数 可由可由 复合而成复合而成23,2 xuuy)(xfxuuyxf )(复合函数的导数复合函数的导数新授课新授课 一般地，设函数一

7、般地，设函数 在点在点 处有导数处有导数 ，函，函数数 在点在点 的对应点的对应点 处有导数处有导数 ，则复合，则复合函数函数 在点在点 处也有导数，且处也有导数，且或写作或写作 )(xu xx)(xux )(ufy u)(ufyu )(xfy xuxuyy )()()(xufxfx x复合函数的导数复合函数的导数例题讲解例题讲解例例3 求求 的导数的导数5)12( xy解：设解：设 ， 则则 12,5 xuuyxuxuxxuuyy) 12()(5 444) 12(102) 12( 525 xxu 例例1 求函数求函数 的导数。的导数。13 xy例例2 求函数求函数 的导数。的导数。3)12(

8、xy例例4 4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度中，水面高度y y（单位：（单位：cmcm）。关于时间）。关于时间t t（单位：（单位：s s）的函数为）的函数为12100)(tthy，求函数在，求函数在t t=3=3时的导数，时的导数，并解释它的实际意义。并解释它的实际意义。12100)(tthyxxf100)(12)(ttx解：解：函数函数是由函数是由函数与与复合而成的，其中复合而成的，其中x x是中间变量。是中间变量。22) 12(2002100)()()(txtxfthyt将将t t=3=3代入代入)(th得：得：49200)3(

9、 h（cm/s）。）。它表示当它表示当t=3时，水面高度下降的速度为时，水面高度下降的速度为 49200 cm/s。例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：)(sin)2()()1(2xfyxfy 前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题中的对应法则中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们是未知的，是抽象的复合函数。它们的导数如何求得？的导数如何求得？（1）首先要首先要弄清复合关系弄清复合关系，特别要，特别要注意中间变量注意中间变量；（2）尽可能地将函数尽可能地将函数化简化简，然后再，然后再求导求导；（3 3）要注意复合函数求导法则与四

10、则运算的综合要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用运用；（4）复合函数求导法则，常被称为复合函数求导法则，常被称为“链条法则链条法则”，一环套一环，缺一不可一环套一环，缺一不可。复合函数求导法则的注意问题：复合函数求导法则的注意问题：xeyxycos110) 2() 25()(11. 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2. 求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。2)12(xxy6x)25(50 xyxexycos1sin014343 yx动手做一做动手做一做)1()2()1()(2xfyxfy1求下列函数的导数：求下列函数的导数：动手做一做动手做一做)1(xf )1(12xfx

11、)1(1222xfxx小结小结关键：关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 复合函数求导公式：复合函数求导公式：)()()(xufxf利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, , 要从其形式上把握要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。关系的求导法则。 抽象复合函数的导数：抽象复合函数的导数： 利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清

12、复合关系，弄清复合关系，而选择而选择中间变量中间变量是复合函数求导的是复合函数求导的关键。关键。分析：分析： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：13)(xxu21)(uuuf13)(xxu解：解：1323321)()()13(xuxufx解：解： 令令 ，则函数是由，则函数是由 与与 复合而成，由复合函数求导法则复合而成，由复合函数求导法则可知：可知：12)(xxu12)(xxu3)(uuf223)12(623)()()12(xuxufx 利用复合函数的求导法则来求导数时，利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间选择中间

13、变量是复合函数求导的关键变量是复合函数求导的关键。必须。必须正确分析复合函数正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，的，分清分清其间的复合关系其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作。要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。转换成自变量的函数。总结总结 而而对于抽象复合函数的求导对于抽象复合函数的求导, ,一方面要从其形式一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。分运用复合关系的求导法则。分析分析: : 求复合函数的导数求复合函数的导数, ,关键关键在于在于分清函数的复合关分清函数的复合关系系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪，合理选定中间变量