级(下)第25次课第七节傅立叶(Fourier)级数课件

1、第七节第七节 傅立叶傅立叶(Fourier)级数级数一、问题的提出一、问题的提出二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数 四、四、 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数五、小结五、小结上一页下一页返回一、问题的提出一、问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 上一页下一页返回tusin4 上一页下一页返回)3sin31(sin4ttu 上一页下一页返回)5s

2、in513sin31(sin4tttu 上一页下一页返回)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 上一页下一页返回)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 上一页下一页返回二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角级数三角级数谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb

3、 ,xt 三角级数三角级数上一页下一页返回2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上上的的积积分分等等于于零零任任意意两两个个不不同同函函数数在在正正交交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系上一页下一页返回, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中上一页下一页返回三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展

4、开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 上一页下一页返回,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk上一页下一页返回 nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 ,

5、 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk, nb上一页下一页返回 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数上一页下一页返回傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条条件件上一页下一页返回2.2.狄利克雷狄利克雷(Diric

6、hlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数. .如如果果它它满满足足条条件件: :在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点, ,并并且且至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点, ,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛, ,并并且且( (1 1) ) 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时, ,级级数数收收敛敛于于)(xf; ;( (2 2) ) 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时, , 收收敛敛于于2)0()0( xfxf; ;(3) (3) 当当x为

7、端点为端点 x时时, , 收敛于收敛于2)0()0( ff. .上一页下一页返回注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.解解例例 1 以以 2为为周周期期的的矩矩形形脉脉冲冲的的波波形形 tEtEtumm,0,)( 将将其其展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数. otumEmE 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.), 2, 1, 0(处不连续处不连续在点在点 kkx2mmEE 收收敛敛于于2)(mmEE , 0 上一页下一页返回).(,xfkx收收敛敛于于时时当当 和函数图象为和函数图象为ot

8、umEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm上一页下一页返回)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为上一页下一页返回注意注意: : 对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充并且满足狄氏充分条

9、件分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.)(xf, 作法作法: :),()()()2( xfxFT周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端端点点处处收收敛敛于于上一页下一页返回例例 2 将将函函数数 xxxxxf0,0,)( 展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf, xyo 2 2 上一页下一页返回 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nn dxxfa)

10、(10 00)(1)(1dxxfdxxf, 上一页下一页返回 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxf, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为上一页下一页返回利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118 ,4131211222 设设),8(513112221 上一页下一页返回,6141212222 ,413

11、12112223 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 上一页下一页返回播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结第七节第七节 傅里叶级数傅里叶级数 四、四、 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数（一）奇函数和偶函数的傅里叶级数（一）奇函数和偶函数的傅里叶级数（二）函数展开成正弦级数或余弦级数（二）函数展开成正弦级数或余弦级数（三）小结（三）小结上一页下一页返回（一）奇函数和偶函数的傅里叶级（一）奇

12、函数和偶函数的傅里叶级数数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.上一页下一页返回(2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级展开成傅里叶级数时

13、数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数奇函数上一页下一页返回 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可证同理可证(2)定义定义 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, ,傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数. .如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数. . nxdxxfbnsi

14、n)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.上一页下一页返回例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在), 上上的的表表达达式式为为xxf )(,将将)(xf展展开开成成傅傅氏氏级级数数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)0()0( ff收收敛敛于于2)( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 上一页下一页返回 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(

15、, 0 nan上一页下一页返回 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx上一页下一页返回)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形上一页下一页返回例例2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, ,其其中中E是是正正常常数数. . 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在

16、整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E ), 2 , 1( n上一页下一页返回 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE当当当当), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos( ntnntnE)1( n上一页下一页返回 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( x.142cos21212

17、 nnnxE 上一页下一页返回（二）函数展开成正弦级数或余弦级（二）函数展开成正弦级数或余弦级数数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓上一页下一页返回奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x上一页下一页返回偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfx

18、xfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 上一页下一页返回例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当上一页下一页返回3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx 上一页下一页返回(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进进行行偶偶延延拓拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x上一页下一页返回1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 上一页下一页返回（三）小结（三）小