平面几何的向量方法PPT课件

1、问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？第1页/共16页例例1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222b

2、aDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB第2页/共16页你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何

3、元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形第3页/共16页变式训练：证明直径所对的圆变式训练：证明直径所对的圆周角是直角周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab第4

4、页/共16页ABCOGH例例2 2 （北京高考题）三角形的欧拉线：（北京高考题）三角形的欧拉线： 外心外心O、重心、重心G、垂心、垂心H三点共线且三点共线且OG = = GH123()3OGOHm OAOBOCmOG 第5页/共16页ABC| | |,OAOBOC 0,NANBNC PA PBPB PCPC PA ABC例3 （09宁夏、海南）已知O，N，P在所在平面内，且，则点O，N，P依次是的（ ）A A重心 外心 垂心 B B重心 外心 内心 C C外心 重心 垂心 D D外心 重心 内心 C,()0PA PBPB PCPAPCPB 0,PB ACPBAC | | |OAOBOC ABC

5、解：由知，O为的外心；,PABC PCAB同理ABC 为的内心0NANBNC ABC知，N为的重心；由第6页/共16页O222222OABCOBCAOCAB O在同一平面上，有ABC及一点满足关系式，则A内心B垂心C外心D重心是ABC的（ ）变式训练：变式训练：第7页/共16页O222222OABCOBCAOCAB O在同一平面上，有ABC及一点满足关系式，则A内心B垂心C外心D重心是ABC的（ ）OCAB2222OABCOBCA 解：由2222OAOCOBOBOAOC 即：()0OCOBOAOC AB 化简有：,OABC OBAC同理有：OABC为的垂心. .B变式训练：变式训练：第8页/共

6、16页5121,3PACABCSS512PBCABCPACPABABCSSSSSACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理ACABAP4131ABCPBCSS例4 设P为ABC内一点，且满足，则14PABABCSSACABAP4131第9页/共16页1113()3434APABACABAC 11313344PABABDABCABCSSSS44141313333343PACPADABDABCABCSSSSS512PBCABCPACPABABCSSSSS法二：构造三角形的重心34ADAC 取点D使得则点P为ABD的重心，连接BD,P DABCACABAP4131ABCPBCSS例4 设P为ABC

7、内一点，且满足，则512第10页/共16页变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,已知P为ABC内一点，且满足，则面积之比为第11页/共16页变式训练：变式训练：032PCPBPAACPBCPABP,已知P为ABC内一点，且满足，则面积之比为3:1:2解法一：利用平面向量基本定理1132APABAC 得 032PCPBPA由1,3PACABCSS12PABABCSS111(1)326PBCABCABCSSS111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS第12页/共16页230PAPBPC ACPBCPABP,已知P为ABC内一点，且满足，则面积之比为法二：构造三角形及重心2PBPB 3PCPC 0PAPBPC 则P为的重心.AB C1,2PABPABSS16PBCPB CSS13PACPACSS令111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS第13页/共16页（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问