2021版高中数学第二章数列章末复习课学案新人教B版必修5

1、第二章数列2提高解决等差【学习目标I 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步稳固、深化所学知识 数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力.知识梳理知识点一梳理本章的知识网络"*比数-J»列的应用知识点二比照归纳等差数列和等比数列的根本概念和公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第 2项起，每 一项与匕的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差，公差通常用 子母d表示如果一个数列从第 2项 起，母一项与匕的前一项 的比都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数 列，这个常数叫做等比数 列的公比，公比通常用字 母q

2、(qz 0)表示递推公式an+i an = dan+ 1T=q an中项由一个数x, A y组成的等差 数列可以看成最简单的等差数 列这时A叫做x与y的等差如果在x与y中间插入一 个数G,使x, G y成等 比数列，那么G叫做x与中项，并且a x；yy的等比中项，且G=士和通项公式an= ai + (n 1)dan agql 时，n ai + anSn2一 nai +S= a1 1q前n项和公式S=1q 一n n 1,2 da1 anq1 q ,q= 1 时，Sn= na1am, an的关系am an 一 (m n)damm-nq anXm n, s,t N+,am+ an as+ atama

3、n asat性质讨 n= s +1 kn是等差数列，且 kn N+akn是等差数列akn是等比数列n= 2k 1, k N+Sek i (2 k 1) ak2k 1aa2 a2k 1 ak利用定义an + 1 an是同一常数匹是同一常数an判断利用中项an+ an + 2 2an+ 12anan + 2 an + 1利用通项公式an pn+q,其中p、q为常数nan ab(a0,0)方法利用前n项和公式Sn an2+ bn ( a, b 为常数)Sn A(qn 1),其中 Am0, q0 且 ql 或 Sn= np(p 为非零常数)知识点三本章公式推导和解题过程中用到的根本方法和思想1 在求等

4、差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了 法和法；2 在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了和3 等差数列和等比数列各自都涉及5个量，其中任意 个求其余 个，用到了方程思想.4 在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了 思想.5等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比.题型探究类型一方程思想求解数列问题例1设an是公比大于1的等比数列，S为数列an的前n项和.S3= 7,且ai + 3,3a2, as+ 4构成等差数列.(1) 求数列an的通项；(2) 令 bn= In asn+1, n= 1,2，求数列 bn的前 n 项和 Tn

5、.反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式S共涉及五个量：a1,an, n, q(d) , S,其中首项a1和公比q(公差d)为根本量，“知三求二是指将条件转 换成关于a1, an, n, q( d) , S的方程组，通过方程的思想解出需要的量.跟踪训练1记等差数列an的前n项和为S,设Ss = 12,且2a1, a2, as+ 1成等比数列， 求S.类型二转化与化归思想求解数列问题例 2 在数列 an中，Sn+1 = 4an+ 2, a1 = 1. (1)设Cn = a，求证：数列Cn是等差数列; 求数列an的通项公式及前 n项和的公式.反思与感悟 由递推公式求通项公式

6、，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前 几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再 采用公式求出.跟踪训练2 设数列an的前n项和为S，ai+ 2a?+ 3as + -+ nan = (n- 1)S+ 2n(n N).(1) 求a2, as的值；(2) 求证：数列S+ 2是等比数列.类型三函数思想求解数列问题命题角度1借助函数性质解数列问题例3等差数列an的首项ai= 1,公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等 比数列的第2项、第3项、第4项.(1)求数列an的通项公式；设bn= n1a“+ 3(n N+) , S= b1 +

7、b2 + bn,是否存在t，使得对任意的n均有S>6总成立？假设存在，求出最大的整数t ;假设不存在，请说明理由.反思与感悟数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，假设涉及参数取值范围、最值问题 或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题值得注意的是数列定义域是正 整数集或1,2,3，n，这一特殊性对问题结果可能造成影响.3跟踪训练3首项为的等比数列an不是递减数列，其前 n项和为$( n N+)，且S + a3, S+ as, S+ a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；1 设Tn= S(n N+)，求数列Tn最大项的值与最小项的值.命题角度2以函数为载体给出数列例4

8、函数f(x) = 2 | x|，无穷数列an满足an+1 = f (an) , n N+.(1) 假设 a1= 0，求 a2, a3, a4；(2) 假设a1> 0，且a1, a2, a3成等比数列，求 a的值.反思与感悟以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.跟踪训练42x+ 3函数f(x) $ ，数列an满足1a1=1，an+1=f a，nCN+.(1) 求数列an的通项公式；(2) 令 Tn= aa2 a2a3 + a3a4 a4as + 一 a2na2n+1，求 Tn.当堂训练1.设数列an是公差不为零的等差数列，S是数列an的前n项和(n N+)，且S1= 9$

9、, S4=4S,那么数列an的通项公式是 .q 292 .假设数列an的前n项和S = 2门一_2n(n= 1,2,3，)，那么此数列的通项公式为 ;数列 na中数值最小的项是第 项.3.设等差数列 an的前n项和为S,公比是正数的等比数列 bn的前n项和为Tn,a =1, bi = 3, a3 + b3= 17, T3 S3 = 12,求an、 bn的通项公式.I一"规律与方法 .1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最根本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种根本数列的概念、根本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.2 .

10、数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，假设无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择适宜的方法求和.合案精析知识梳理知识点三1 .叠加 叠乘2 .倒序相加法错位相减法3 .三两4 .函数题型探究类型一例1解(1)由得ai + a2 + a3= 7,. Tn= b1 + b2+ + bn=ai + 3+a3 + 4解得 a2= 2.3n n+ 1-In 2.21跟踪训练 1S = 2门(3 n - 1)或 Sn= 2n(5 n) , n N.类型二例 2(1)证明 由 Sn+1 = 4an+ 2,那么当 n?2, nN+时，有 S =

11、 4an1+ 2.一得 an + 1 = 4an 4an1.方法一对an+ 1 = 4an 4an- 1两边同除以 2 ，得an+1anan 1an+1an 1an即 2'n+f + 2n1 = 2尹,即 6+ 1 + Cn- 1 = 2 Cn数列Cn是等差数列.由 Sn+ 1 = 4an+ 2 , 得 a + a2 = 4a1 + 2,那么 a2= 3a1+ 2 = 5,a11 a2 5C1= 2 = 2，C2=产 4，5 13故公差d= 42= 4,13Cn是以1为首项，寸为公差的等差数列.万法 二an + 1 2an= 2&i 4an 1=2( an 2an-1),令 b

12、n= an+ 1 2an,那么bn是以a2 2a1 = 4a1+ 2 a 2a1= 3为首项，2为公比的等比数列,bn= 3 2anCn =歹,an+1chan+1 2a2"+1Cn +1 Cn = _n+ 1 ' n = n+12 2 2bn 3X22n+ 1 =+ 134,ai 1Ci,2 2，36是以2为首项，4为公差的等差数列a13 解 由 可知数列力是首项为2，公差为4的等差数列.an 1331尹 2+(n_ 1)4 = 4n_4，an= (3n 1)2 n2是数列an的通项公式.设 S= (3 1)2 _ + (3 X 2 1)2 + (3n 1)2 2S = (

13、3 1)2°+ (3 X 2 1)2 1 + + (3n 1)2故 Sn= 2Sn Sn101n 2=(3 1)2 3(2 + 2 +-+ 2) + (3n 1)2n 1.2 1n 1=1 3X 2 1 + (3n 1)2=1 + 3 + (3n 4)2=2 + (3n 4)21.数列 an的前n项和公式为n 1Sn= 2 + (3n 4)2, n N+.跟踪训练 2(1)解 + 2a2+ 3as+-+ nan=(n 1)S+ 2n(n N+),当 n= 1 时，a = 2X 1= 2；当 n = 2 时，a1 + 2a2= (a+ 比)+ 4, a2= 4 ；当 n = 3 时，a

14、1 + 2a2+ 3a3= 2( a1 + a2 + a3) + 6, a3= 8.(2)证明 a1 + 2a2+ 3a3+ nan=(n 1)S+ 2n(n N+),当n?2时，a1 + 2a2 + 3a3+ (n 1) an1=(n2) S1+ 2( n 1) 一得nan= (n 1) Sn ( n 2) S-1 + 2=n( Sn Sn- 1) S1 + 2Sn- 1 + 2=nan Sn + 2Sn 1 + 2.-S+ 2Si + 2= 0,即 S= 2S1+ 2,S+ 2 = 2( Si-1 + 2). Si + 2 = 4 工 0,Sn- 1 + 2 工 0 ,S + 2°

15、; = 2,故S + 2是以4为首项，2为公比的等比数列.类型三命题角度12例 3 解 由题意得(ai + d)( ai+ 13d) = (ai + 4d),整理得2a1d= d2.d>0,.d= 2.a1= 1. an= 2n 1 ( n N+).1 1(2) bn =n an+ 32n n+11 1 _1_=2 n，- Sn= b1 + b2+ + bn1 1 n n+ 11 1n=一 1 = .2 n+12 n+1假设存在整数t满足S>=总成立,36n+ 1n又 S+ 1 Sn=2 n+ 22 n+11=>C2 n + 2 n+1数列Sn是单调递增的.1- s=4为s的

16、最小值，t 1故36<4，即 t<9.又 t Z,适合条件的t的最大值为8.跟踪训练3解3 1(1) a=2X( 2)=(-1)n 132.(2)由(1)得当n为奇数时，S随n的增大而减小,-3所以 1< sw s=2* c 1 C 1325故 o<s sw S-S= 2-3=6*当n为偶数时，S随n的增大而增大, 所以 3= Sa< $< 1,4亠113 4故 o>S-看Sa-S2= 4-37=-正.7151综上，对于nN+,总有w S-§ w 5且S-1丰0.12SbSi57所以数列Tn最大项的值为舌，最小项的值为一袒命题角度2例 4 解

17、(1)由 an +1= f(an)? an+ 1 = 2 I an| ,a1= 0? a2 = 2, a3= 0, a4= 2.a1, a2, a3成等比数列2 a22?a3= 2 - |a2|?a2=a(2 - |比|),且 a2= 2 - | a1| ? (2 - | a1|)=a12 - |2 - |a1|(2 - ad=a12 - |2 - a|,分情况讨论：2 当 2-ai>0 时，(2 ai) = ai2 (2 ai) = ai? ai= 1,且 aiw2； 当 2 aiv 0 时，(2 ai) = ai2 2(ai 2) = ai(4 ai)? 2ai 8ai + 4=0?

18、 ai 4ai+ 4= 2? (ai 2)2 = 2?ai= 2 + 寸2，且 ai >2, 综上，ai= i 或 ai = 2+ 2.2 i跟踪训练4解an = 3门+ 33.(2) Tn = ai a2 a2a3+ a3a4 a4a5+一a2n a2n +1=a2( ai a3) + a4( a3 a5) + a2n( a2ni a2n+1)4=3( a2+ a4+ a2n)54n in _ + + -4 333 =3242=尹 n + 3n).当堂训练i. an = 36(2 n i)2. an= 3n i6 33.解 设数列an的公差为d,数列bn的公比为q.2由 a3 + b3= i7 得 i+ 2d+ 3q = i7,由 T3 S3 = 12 得 q + q d = 4. 由、及q>0解得q=