2021版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修4

1、231平面向量根本定理【学习目标丨1.理解平面向量根本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量 .3.会应用平面向量根本定理解决有关平面向 量的综合问题.ET问题导学知识点一平面向量根本定理思考1如果ei, e2是两个不共线确实定向量，那么与ei, e2在同一平面内的任一向量 a能否用ei, e2表示？依据是什么？思考2如果ei, e2是共线向量，那么向量 a能否用ei, e2表示？为什么?梳理i平面向量根本定理： 如果ei, e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a, 实数 入i,入2,使a =入iei+入2氏.2基底

2、： 的向量ei, e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.知识点二向量的正交分解思考一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力Fi和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？梳理正交分解的含义当ei,一个平面向量用一组基底ei, e2表示成a=的形式，我们称它为向量a的e2所在直线互相时，这种分解也称为向量 a的題型探究类型一对基底概念的理解例i如果ei, e2是平面a内两个不共线的向量， 那么以下说法中不正确的选项是 .填 序号 入ei+ 口 e2入，口 R可以表示平面a内的所有向量; 对于平面 a内任一向量a,使a=

3、X 8+ 口 e的实数对(入,口 )有无穷多个； 假设向量 X iei + 口 ©与 入2&+ 口於2共线，那么有且只有一个实数入，使得 入e + 口任=入(X 2ei+ 口 2e2)； 假设存在实数 X , 口使得X ei + 口 e2= 0,贝U X= 口 = 0.反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1 ei,e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么以下各组向量中， 不能作为一组基底的序号是.1ei+ e2, ei e2； 3 ei 2e2,4e2

4、 6ei；ei + 2e2,e2+2ei；e2,ei+e2；2eie2,ei5i护.类型二 用基底表示向量例2如下图，在？ABCDKE F分别是BC DC边上的中点，假设 XB= a , AD= b,试以a ,b为基底表示DE BF引申探究假设本例中其他条件不变，设 DE= a, BF= b,试以a, b为基底表示AB AD反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性 运算及法那么对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基 底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 如下图,在厶AO沖,OA= a , OB= b , M N分别是边 OA

5、 0B±的点，且0M= ia , 0N= |b ,设AN与BM相交于点P,用基底a , b表示OP类型三平面向量根本定理的应用例3 在梯形 ABCD中， AB/ CD AB= 2CD M N分别为 CD, BC的中点，假设 也 入MM-口 AN求入+ 口的值.反思与感悟 当直接利用基底表示向量比拟困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用条件及相关结论， 从不同方向和角度表示出目标向量 一般需 建立两个不同的向量表达式 ，再根据待定系数法确定系数， 建立方程或方程组， 解方程或方 程组即得.跟踪训练3向量ei, e2是平面a内所有向量的一组基底，且 a= ei

6、+ e2, b= 3ei-2e2, c = 2ei+ 3e2，假设 c =a+ 口 b入，口 R，试求 入，口 的值.当堂训塚i .以下关于基底的说法中，正确的选项是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的2. AD与 BE分别为 ABC的边BC AC上的中线，且 AD= a, BE= b,那么BC=3.向量 ei,e2不共线，实数 x,y满足(2x 3y)ei+ (3x 4y)e= 6ei+ 3e2,那么 x =,y=.4如下图，在正方形 ABCD中，设 辰a, Xt= b, BD=

7、c,那么当以a, b为基底时，屁:可表示为，当以a, c为基底时，AC可表示为.5.在梯形 ABCDh AB/ DC且 AB= 2CD E, F分别是 DC AB的中点，设 AD= a, XB=b,试用a、b为基底表示DC, BC EF规律与方法-1 对基底的理解(1) 基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2) 零向量与任意向量共线,故不能作为基底.2 .准确理解平面向量根本定理(1) 平面向量根本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形

8、式，且分解是唯一的.(2) 平面向量根本定理表达了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.合案精析问题导学知识点一思考1 能.依据是数乘向量和平行四边形法那么.思考2不一定，当a与ei共线时可以表示，否那么不能表示.梳理1不共线 任一 有且只有一对 2不共线 所有知识点二思考能，互相垂直的两向量可以作为一组基底.梳理入iei +入2e2分解垂直正交分解题型探究例1跟踪训练1例2解四边形ABCD是平行四边形，E, F分别是BC DC边上的中点, KD= BC= 2BE, BA= 2d= 2§ft 1 t 1t 1

9、 t1 t1- BE -AD -b, CF=二BA= ：AB=二a.22 222 Se=陥 XB+ Be=Be=b + a+ 2»= a qb,引申探究解取CF的中点G,连结EG E、G分别为BC CF的中点, EG=2bf=尹 SG= Se+ Eg= a+2b.=一 a+3 t又 AD= BceJFt FC Bft 1dc Bft 2Kbf f 1 4224 AD= BO b+ 2(3a+ 3b) =3a+3b.跟踪训练 2 解 0F= OMT MR OF=ONF NF? 设fR= miMlB fF= nlA 贝y fF=flT mM= 3oAf m( SB-SM1 1 1=

10、67;a+ m(b 3a)=尹m)a T nb,10P= ONT nlNAF 2血 n( 0 fN1 1 1=qb+ n( a，b)=尹n)b T na.1n= 5， a, b不共线,1 m = n,2m= 5.o 1 20F= 5aT 5b?例3解如下图，连结MN并延长交AB的延长线于点T,由易得 ab= 4at,所以，4AT= AB=入 AMt 口 AN,即AT= 5 入0t5 口AN5544554因为T, M N二点共线，所以-XT (1 = 1,所以入T 口 =.445跟踪训练 3 解 将 a= eT e2与 b= 3e1 2®代入 c=入 aT 1 b,得 c=入(eT e2)T i(3e2e2) = ( Xt 3 1)8+ (入一2 i) e2.因为