平面向量的线性运算

1、2. 2 平面向量的线性运算第 1 课时教学目标一、知识与技能 1掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.2会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解 决问题的能力 .3通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律 和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；二、过程与方法 1位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循 平行四边形法则，由此引入本课题2 运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、 结合律进行证明， 同时运用他们进行相关计算， 这

2、可让同学们进一 步加强对向量几何意义的理解三、情感、态度与价值观1通过本节内容的学习， 让学生认识事物之间的相互转化， 培养学生的数学应用意识 2体会数学在生活中的作用培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力教学重点、难点 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向 量教学难点：理解向量加减法的定义 教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导 . 教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论 教法与学法导航教学方法；启发诱导，讲练结合学习方法： 数能进行运算， 向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们， 从运算的角 度看， 位移的

3、合成、 力的合成可看作向量的加法 借助于物理中位移的合成、力的合成来理 解向量的加法， 让学生顺理成章接受向量的加法定义 结合图形掌握向量加法的三角形法则 和平行四边形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教学准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规学生准备：练习本、尺规 .教学过程一、创设情境，导入新课 上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单 位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断 数能进行运算，向 量是否也能进行运算呢？这一节， 我们将借助于物理中位移的合成、 力的合成来学习向量的 加法和减法二、主题探究，合作交流

4、提出问题：1. 类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2. 向量加法的法则是什么？3. 与数的运算法则有什么不同？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量， 教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图某对象从 A点经 B点到 C 点，两次位移 AB、BC 的结果，与 A点直 接到 C 点的位移 AC 结果相同力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题 .图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC 的方向伸长了 EO；图（ 2）表示撤去F1和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度改变力 F1与F2的大小和方向， 重复以上的实验，

5、 你能发现 F 与F1、F2之间的关系吗？ 力 F 对橡皮条产生的效果与力 F1与 F2共同作用产生的效果相同， 物理学中把力 F 叫做 F1与 F2的合力合力 F 与力 F 1、F 2有怎样的关系呢？由图（ 3）发现，力 F 在以 F1、F2 为邻边的平行 四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长数的加法启发我们，从运算的角度看， F 可以认为是 F1与 F2 的和，即位移、力的合成 看作向量的加法讨论结果： 1. 向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、 b，在平面内任取一点 A，作 AB =a， BC = b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a+ b，即 a+ b=

6、 AB + BC = AC 求 两个向量和的运算，叫做向量的加法2. 向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则 运用这一法则时要特别 注意“首尾相接”， 即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第一个向量的起点指 向第二个向量的终点的向量即为和向量位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的平行四边形法则如图，以同一点 O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作平行四边形， 则以 O为起点的对角线 OC 就是 a与 b 的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行 四边形法则力的合成可以看作向量加法平行四边形法则

7、的物理模型对于零向量与任一向量 a ，我们规定 a+0= 0+ a=a提出问题1. 两共线向量求和时，用三角形法则较为合适当在数轴上表示两个向量时，它们的 加法与数的加法有什么关系？2. 思考 |a+b|， |a|，|b|存在着怎样的关系？3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算类似地，向量的加法是 否也有运算律呢？师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在 特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系数的加法满足交换律与结合律， 即对任意 a，bR，有 a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）任意向量 a， b 的加法是否也满足

8、交换律和结合律？引导学生画图进行探索讨论结果： 1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点; 在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段2. 当 a，b 不共线时， |a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边） ;当 a， b 共线且方向相同时， |a+b|=|a|+|b|;当 a，b 共线且方向相反时， |a+ b|=|a|- |b|（或 |b|- |a|）其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时， |a+b|=|a|-|b|;当向量 a的长度小于向量 b的长度时， |a+b|=|b|- |a|一般地，我们有 |a+ b| a|+

9、|b|3. 如下左图，作 AB =a， AD =b，以 AB、AD 为邻边作 ABCD，则 BC =b， DC =a因为 AC = AB + AD = a+ b， AC = AD + DC =b+a，所以 a+ b=b+a如上右图，因为 AD= AC +CD =（ AB+ BC ）+CD =（a+b）+c，AD = AB + BD = AB +（ BC + CD ） = a+（b+ c），所以（ a+b） +c=a+（ b+c）综上所述，向量的加法满足交换律和结合律提出问题 如何理解向量的减法？ 向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么， 向量的减法是否也有类似的法则？师生互动： 数的

10、减法运算是数的加法运算的逆运算， 数的减法定义即减去一个数等于加 上这个数的相反数， 因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算 可类比数的减 法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量于是-（- a）=a我们规定，零向量的相反向量仍是零向量任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+（- a）=（- a） +a=0所以，如果 a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=- a，a+b=0A. 平行四边形法则如上图，设向量 AB =b， AC =a，则 AD =-

11、 b，由向量减法的定义，知 AE =a+（ - b） =a- b又 b+ BC =a，所以 BC =a- b由此，我们得到 a- b的作图方法B. 三角形法则如上图，已知 a、 b，在平面内任取一点 O，作 OA=a，OB =b，则 BA =a- b，即 a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义讨论结果：向量减法的定义我们定义a- b=a+（- b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量规定：零向量的相反向量是零向量向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则， 这也正是向量的运算的几何意义 所在，是数形结合思想的重要体现三、拓展创新，应用提高例 1

12、 如下左图，已知向量 a、 b，求作向量 a +b活动： 教师引导学生， 让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两O 的依据个向量的和向量在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点它体现了向量起点的任意性 在向量作图时， 一般都需要进行向量的平移， 用平行四边形法 则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连解：作法一：在平面内任取一点 O （上中图），作 OA =a， AB =b，则 OB =a+b作法二：在平面内任取一点 O（上右图），作OA =a，OB =b以OA、OB为邻边作 OACB，连接 OC，则 OC =a+b例 2 长江两岸之间没有

13、大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如下图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2 km/h（ 1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（ 2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）活动： 本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用 这样的问题在物理中 已有涉及， 这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算， 体会其中应解决的问题是向量模的 大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小） 引导点拨学生正确理解题意，将实际问题 反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角

14、形建立联系解：如上右图所示， AD 表示船速， AB 表示水速，以 AD 、AB 为邻边作 ABCD，则AC 表示船实际航行的速度（2）在 RtABC中， | AB |=2， |BC |=5，所以|AC |= |AB |2 |BC |222 5229 5.429因为 tan CAB=，由计算器得 CAB=68°答：船实际航行速度的大小约为 54 km/h，方向与水的流速间的夹角为 68° 点评：用向量法解决物理问题的步骤为： 先用向量表示物理量，再进行向量运算， 最后 回扣物理问题，解决问题例 3 如图（ 1）已知向量 a、 b、 c、 d，求作向量 a- b ， c- d

15、 活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础 点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量作法：如图（ 2），在平面内任取一点O ，作 OA=a，OB =b，OC = c，OD =d则 BA=a- b，DC =c- d例 4 如图， ABCD 中，a、b 表示向量 AC 、DB 吗？活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基 础要多注意这方面的训练， 特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关 系解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC =a+b，同样，由向量的减法，知 DB= AB - AD

16、= a- b四、小结1先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用2教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合， 分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法课堂作业1下列等式中，正确的个数是（） a+ b=b+a a- b=b 0- a=- a -（-a）=a A 5B 4C3a+（ - a）=02如图， D、E、F 分别是ABC的边 则 AF - DB 等于（）A FDB FCC FE3下列式子中不能化简为 AD 的是（A（ AB+CD ）+BCC MB

17、AD BMD2B（ AD+ MB ） +（ BC +CM ）DOC -OA+CD4已知 A、B、C三点不共线， O是ABC内一点， 若OA+OB+OC =0，则O 是ABC 的（ ）C内心D外心A 重心B垂心参考答案：1C 2D 3C 4A.第 2 课时教学目标一、知识与技能1通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实 数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律2理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行二、过程与方法充分抓住本节教学中的学生探究、 猜想、 推证等活动， 和解决问题先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地 向量 a

18、 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小，当 与 a 方向相反； 展三、情感、 通过探究， 积极进取精神通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用 教学重点、难点>0 时， 向量共线定理用来判断两个向量是否共线引导学生画出草图帮助理解题意 0·a=0），它的几何意义是把 a 与 a 方向相同，当 <0 时， a 然后对所探究的结果进行运用拓态度与价值观体会类比迁移的思想方法， 渗透研究新问题的思想和方法， 培养创新能力和教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用 教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引

19、导 . 教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果 教法与学法导航教学方法：问题式教学，启发诱导 学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广 教学准备教师准备：多媒体、尺规 .学生准备：练习本、尺规 .教学过程一、创设情境，导入新课前一节课， 我们一起学习了向量加减法运算， 这一节， 我们将在加法运算基础上研究相 同向量和的简便计算及推广在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算二、主题探究，合作交流提出问题： 探究：已知非零向量 a，试一试作出 a+a+a 和（ -a）+（-a）+（-

20、a） 你能说明它们的几何意义吗？ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两 向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动： 引导学生回顾相关知识并猜想结果， 对于运算律的验证， 点拨学生通过作图来进行 通过学生的动手作图， 让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义 教师要引 导学生特别注意 0·a=0 ，而不是 0·a=0这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼， 但又处处存在， 稍不注意就会出错， 所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间 的关系实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如+a， - a 都无法进行向量数乘运算

21、的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式：（ +）a=a+a 和 （ a+b） =a+b，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向 相同判断两个向量是否平行（共线） ，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘 以其中一个向量等于另一个向量 一定要切实理解两向量共线的条件， 它是证明几何中的三 点共线和两直线平行等问题的有效手段对问题，学生通过作图可发现， OC =OA+ AB+BC =a+a+a类似数的乘法，可把 a+a+a记作 3a，即 OC =3a显然 3a的方向与 a 的方向相同， 3a的长度是 a的长度的 3倍， 即|3a|=3|a|同样，由下图可

22、知，PN =PQ QM MN =（-a）+（- a）+（- a），即（-a）+（-a）+（-a）=3（-a）显然 3（ - a）的方向与 a 的方向相反， 3（- a）的长 度是 a 的长度的 3 倍，这样， 3（- a）=-3a对问题，上述过程推广后即为实数与向量的积我们规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：（ 1） |a|=|a|；（ 2） 当 >0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 <0 时，a 的方向与 a 的方向相反 由 （1）可知， =0 时， a=0根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律实数与向

23、量的积的运算律：设 、 为实数，那么（ 1） （ a） =（） a；（ 2）（+） a=a+a；（ 3） （ a+b） =a+b特别地，我们有（ - ） a=- （ a）=（ - a），（ a- b）=a- b对问题， 向量共线的等价条件是： 如果 a（a0）与 b 共线，那么有且只有一个实数 ， 使 b=a推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a（a0）、 b，如果有一个实数 ，使 b= a，那么由向量数乘的定义，知 a 与 b 共线反过来，已知向量 a 与 b 共线， a0，且向量 b的长度是向量 a的长度的 倍，即 |b|=|a|，那么当 a与b同方向时， 有 b= a；

24、当 a 与 b 反方向时，有 b=- a关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过 0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条 件的认识在判断两个非零向量是否共线时， 只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况： （1）有一个为零向量； （2）两个都为零向量； （3）同向且模相等； （4）同向且模不等； （5） 反向且模相等； （ 6）反向且模不等讨论结果： 数与向量的积仍是一个向量， 向量的方向由实数的正负及原向量的方向确 定，大小由 |

25、83;|a|确定它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小 向量的平行与直线的平行是不同的， 直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共 点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形三、拓展创新，应用提高例 1 计算：（1）（- 3）×4a；（2） 3（a+b）- 2（ a- b） - a；（3）（2a+3b- c）- （3a- 2b+c）活动： 本例是数乘运算的简单应用， 可让学生自己完成， 要求学生熟练运用向量数乘运 算的运算律 教学中， 点拨学生不能将本题看作字母的代数运算， 可以让他们在代数运算的 同时说出其几何意义，使学生

26、明确向量数乘运算的特点同时向学生点出，向量的加、减、 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量 a、b，以及任意实数 、1、2，恒有 （1a±2b） =1a±2b解：（1）原式 =（- 3×4） a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b-a=5b；（ 3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b- 2c点评： 运用向量运算的运算律， 解决向量的数乘 其运算过程可以仿照多项式运算中的 “合并同类项”例 2 如图，已知任意两个非零向量a、b，试作 OA =a+b，OB =a+2b，OC =a+3b你能判断 A、B、C 三点之间的位置关

27、系吗？为什么？活动： 本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法， 这是判断三 点共线常用的方法 教学中可以先引导学生作图， 通过观察图形得到 A、B、 C三点共线的猜想， 再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共 线证明三点共线 本题只要引导学生理清思路， 具体过程可由学生自己 完 成另外， 本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量 a、b 变化过程中，A、B、 C 三点始终在同一条直线上的规律解：分别作向量 OA、OB、OC过点 A、C作直线 AC（如上图）观察发现，不论向量 a、 b怎样变化，点 B 始终在直线 AC上，猜想 A、B、C三点共线事实上，因为AB =OB - OA =a+2 b- （ a+b）=b，而 AC =OC -OA =a+3b- （a+b） =2b，于是 AC =2 AB 所以 A、B、C 三点共线点评：关于三点共线问题， 学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先 证明两个向量共线， 并且有公共点 教师引导学生解完后进行反思， 体会向量证法的新颖独 特例 3 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB=a， AD =b，你能用 a、b表 示MA、MB、MC 和 MD 吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质 另外，用向量表示几何元素 （点、 线段等） 是用向量方法证