矩阵应用简介

1、矩阵应用简介the introduction of matrix application作者：刁士琦2015/12/27摘要本课题以线性代数的应用为研究对象，通过网络、书籍查询相关知识与技术 发展。全文分为四部分，第一部分是绪论，介绍本课题的重要意义。第二部分是线 性代数的发展。第三部分是经典矩阵应用。第四部分是矩阵应用示例。第五部分 为结论。关键词：莱斯利矩阵模型、希尔密码目录摘要21 引言42 矩阵的发展错误！未定义书签。3 经典矩阵应用43.1 矩阵在经济学中的应用43.2 矩阵在密码胖中的应用73.3 莱斯利矩阵模型54 矩阵应用示例64.1 经济学应用示例64.2 希尔密码应用示例7

2、4.3 植物基因分布76结论8参考文献91引言线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的i种抽象数学工具，它 的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。2矩阵的发展1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由 于无法使用行列式，所以引入了 matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给岀矩阵的定 义就是：由mn个数排成的m行n列的数表。在此z后，西尔维斯特述分别引入了 初等因了、不变因了的概念。虽然后來一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给 出了的定义，也在矩阵领域的研究屮做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性 变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念

3、出來，矩阵才作为一个独立的理 论加以研究。矩阵概念的引入，首先是由凯菜发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵 的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立 过程屮做了极人的贡献。其屮矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由 凯莱给出的。“从逻辑上來说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相 反凯莱如是说。1858年,a memoir on the theory of matrices系统阐述了矩阵的理 论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。对矩阵的研究并没冇因为矩阵论的产生而停止。1884年，西尔维斯特给出了矩阵 中的对角矩阵和数最矩阵的定义

4、。1861年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个 数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，徳国数学家弗罗们纽斯的贡献也是 不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩 阵方程等方而。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同炬阵的概念，指明了不同类型矩 阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。3经典矩阵应用3.1矩阵在经济学中的应用投入产出综合平衡模型是一种宏观的经济模型，这是用來全面分析某个经济系统内各部门的消耗及产品的生产z间的数量依存关系的数学模型。应用于为经济系统(小到 一家公司，大到一个国家乃至国际经济共同体)编制经济计划并研究各种相关的经济政 策和问题。这种模型

5、由美国经济学家列昂节夫于1931年开始研究，并于1936年首先发 表第一篇研究成果，此后数十年已被愈來愈多的国家采用并取得了良好的效果，列昂节 夫木人也因此获得1973年度的诺贝尔经济学奖。利用矩阵知识将数据转化为关于矩阵 的等式，可利用矩阵的运算对数据进行处理。3.2矩阵在密码学中的应用希尔密码(hill password)是运用基本矩阵论原理的替换密码，由lester s. hill在 2929年发明。每个字母当作26进制数字:a=0, b=l, c=2. 一串字母当成n维向量,跟 一个nxn的矩阵相乘，再将得出的结果mod26。在希尔密码加密过程中，明文被分成m个字母构成的若干分组，最后

6、一组不够m 个字母则用其他字母补足，每次加密一个分组，分组中的每一个字符都对分组屮另外 一个字符的加密起作用，每组用m个密文字母代换，这种代换山m个线性方程决定, 其中字母az分别用数字0, 1, 2,，24, 25表示。加密算法基本思想是将i个 明文字母通过线性变换将它们转换为i个密文字母的加密算法，加密篦法的密钥k就c、= | 叫 + 占冋(mod /)c2 =+ 叫 + mod n)是一个变换矩阵本身，即：<7二匕叫+相佗+*理讥mod”)3.3莱斯利矩阵模型科学家leslieph.于1945年引进一 种数学方法，利用某-初始时刻种群的年龄结构现 状，动态地预测种祥年龄结构及数量随

7、时间的演变过程，简介如下：依种群个体的牛理特征，将其最大寿命年龄等距分成m个年龄组，然后讨论不同吋 间种群按年龄的分布，故时间也离散化为仁0丄2,其间隔与年龄组的间隔时间相同上0 对应于初始时刻.设开始时(t=0)第i个年龄组内的个体数为ni(0)j=l/2,-/m.则向最n(0)=nl(0),n2(0)/./nm(0)t称为初始年龄结构向量.第i年龄组的纶殖率为fi($0)曰2,m;生存率为si(>0),i42,：叶1则相临两个吋段间，各年龄组个体数ni有如下的迭代关系:”】(+ 1)= / / ni (r) + f 2 * h2 (r) + + ft nm (r) = £f

8、 i ni(r)i,?/(r + i) = si /"】()i = 2, 3,加注1 fi中已扣除了在时段t内出生，但活不到t+1时段的新生个体.m注2通常在两性生殖的种群中，只计雌体数/« /2 /«-'51s:000j 作矩阵。假记 n(t)=nl(t)/n2(t)/.,nm(t)l；则式可表为 n(t+*mn(t) (3)进而,当 m,n(0)已知时，对任意的t=l,2,.有n(t)=mtn(0)(4)由此即可研究出种群随时间变化的 动态发展规律.4矩阵应用示例4.1经济学应用实例在经济系统中存在这样三个企业，煤矿、电厂和铁路。且每个企业都有口己的单

9、一产品并都有本系统内各企业的产品來加工或变换。假设已知表格如下煤矿电厂铁路00.350.4电厂0.20.050.15铁路0.40.150.15现假设一个月中三个企业的订单为：煤矿4万元，电厂3.5万元，铁路4.5万元。现研究该月各企业如何生产才能完成任务？假设xl、x2、x3分别为煤矿，电厂，铁路 的总产量，则课得到如下矩阵关系： 00350.4 'x = xl.x2.x3f9 j = 40000 3500 4500f t 7= 0.2 0.05冇*= + 九0.4 0.15 0.15经过一系列的矩阵变换，得到矩阵"的逆矩阵是存在的(i是单位矩阵)，说明无论需求d如何变化，总

10、能得到x的解，也就是该经济系统是可行的。4.2希尔密码应用实例假设密钥为3 *丿6丿加密明文为go。*其加密过程如下:分组把明文划为两组：(6,14)(对应go)和(14,3)(对应od)加密计算(:;卜£卜(：加)4需卜帥"血(：:卜4；n： ；丫；吃卜cj0"即相互对应的密文也有两组(4,0)(对应ea) , (1,14)(对应bo)o因此,good的 加密结果为eabo解密计算:卜 h：;)£ ：朋卜卧加”)(：)*(：:)£ 豔卜根据对应规则获取正确明文good4.3植物基因的分布植物的基因对为aa, aa, aa这三种。记兀o)第/?

11、代植物中基因aa所占的比例x2 (/?) 一第斤代植物屮基因aa所占的比例兀3(几)笫斤代植物中基因aa所占的比例tx(n) = (xx (n), x2 (n), x3 (n) ,n = 0,1,2,显然兀 i(77)+ x2 )+ x3 (n) = 1山于后代是各从父代和母体的基因对中等可能地得到一个基因而形成自己的基因对，故父代母的基因对和了代各基因对z间的转移概率如下表：子率彳aa-aaaa-aaaa-aaaa-aaaa-aaaa1vi000aa011/20aa0001/21现在研究采用aa型植物与其它基因植物相结合的方法培养后代。故有xx (n) - x, (n-l) +x2(n-l)

12、(1)x2(/?) = x2(n -1) + 兀3(斤 一1) (n = 1,2,)x3(n) = 05 1/2 0、则第n代与第n -1代植物基因型分布的关系为令厶二01/21、0 0 0,x(ji) = lx(n 一 1),=12）（2）由(2)得x(n) = lnx(0),(兀= 1,2,)(3)卜而把厶对角化，求出厶的特征值1、竝、0,对应的特征向量构成矩阵p 11、p 11)p =0 -1 -2,p1 =0 -1 -2,0 0 1 丿<0 0 >-、h(11-(分1 _(严00、r <22i： = p01/20p 1 =0(£)"22<00

13、0丿000k/(4)将（4）代入（3）得西（n） = x. （0） + 1 - （*）" %（0） + 1 - a 可（0） 72（斤）=（*）=2（°）+（*）心心（°）x3（h）= 0当 m 00 ,(兀)t 1, x2 (n) t 0,兀3(72)t 0。即培育的植物aa型基因所山的比例在不断增加，极限状态下所冇植物的基因都是aa型。5结论线性代数就是研究线性网络的主要工具；进行ic集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析,比如光调制器分析研制需要张量矩阵,手机信号处理等等也 离不开矩阵运算。另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分 方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家川以在预测原始森林遭到何种程 度的砍伐会造成猫头鹰的种群火亡：最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里用于把 实