第一章电磁学

1、1 主讲教师：刘贵昂主讲教师：刘贵昂联系方式：联系方式3183 972(O) QQ：337968417235/zdjpkc/dcxkc/电磁学课程网址：电磁学课程网址：3序序 言言 电磁之所以能获得如此广泛的应用，电磁之所以能获得如此广泛的应用，原因有以下几点：原因有以下几点：（1）电能便于远距离输送，而且电机和电气器械的效率一般都很高；（2）电能便于转换为其它形式的能量，如机械能、热能、光能、化学能等；（3）电磁波在空中传播，能在极短时间内把信号传送到远方；4（4）电气测量仪表和调节控制仪表具有很高的灵敏度。电工学、电化学、无线

2、电工学及近段所发展的遥控和自动控制学、电视学、固态电子学等，都以电磁学为基础。51、人们对物质各种性能的认识，都是以物质的电磁结构为基础的。2、在分子和原子等微观领域中，电磁力起着主要作用。用物质的电磁结构可以解释固体和液体的弹性、金属的导热性、光学中的折射率等等。 由此可见，电磁学理论在现代物理学中占有十分重要的地位。电磁学的研究，在电磁学的研究，在理论方面理论方面也很重要：也很重要：6 麦克斯韦（Maxwell,1831-1879）把电磁学定律归结成现今大家熟悉的麦克斯韦方程。（1、他导出了光是电磁的，光的速度可以纯粹从电学实验和磁学实验的结果中计算出来。这样，光学这门学科就与电磁学密切联

3、系起来了( ) 。2、麦氏方程的应用范围是惊人的，它包含了一切大型的电磁器件和光学器件的基本原理，这些器件有电动机、回旋加速器、电子计算机、无线电、电视机、微波雷达、显微镜和望远镜等等。）001C电磁学的发展和完善的过程电磁学的发展和完善的过程 法拉弟法拉弟（Faraday,1791-1867)是其中最主要的人物之一。7 英国物理学家亥维塞（O.Heaviside）(1850-1925) 及荷兰物理学家洛仑兹（H.A.Lorentz）(1853-1928)对麦氏理论的阐明和完善作出了重大的贡献。在麦氏理论建立后二十多年，赫兹（H.Hertz）（1857-1894）又向前迈进了一步。他在实验室中

4、获得了一种电磁的“麦克斯韦”波，这就是我们现在称的短无线电波。麦氏波的实际应用马可尼等人做了这方面的工作。由此可知，电磁理论的发展是漫长而曲折的，经历了几代人的工作。8（1）赵凯华等）赵凯华等.电磁学（上、下册）电磁学（上、下册）.高等教育出版社，高等教育出版社，1985.（2）孟振庭）孟振庭.大学物理（上、下册）大学物理（上、下册）.西北大学出版社，西北大学出版社，2000（3）梁绍荣等）梁绍荣等.普通物理学普通物理学电磁学电磁学. 高等教育出版社，高等教育出版社，1993.（4）陈鹏万）陈鹏万.电磁学电磁学.人民教育出版社，人民教育出版社，1981.（5）贾起民）贾起民.电磁学电磁学.高等

5、教育出版社，高等教育出版社，2000.（6）（6）美美E.M.珀塞尔珀塞尔.电磁学（伯克利物理教程）电磁学（伯克利物理教程）,科学出版社科学出版社.1979.（7）美美D.哈里德等哈里德等.物理学基础（中册）物理学基础（中册）.高等教育出版社，高等教育出版社，1985.（8）俄俄C.福里斯等福里斯等. 普通物理学普通物理学.人民教育出版社，人民教育出版社，1965.（9）日日汤川秀树等汤川秀树等.经典物理学（第五章）经典物理学（第五章）.科学出版社科学出版社.1986.本课程参考资料本课程参考资料9（1）全面系统地掌握电磁运动的基本现象、基）全面系统地掌握电磁运动的基本现象、基本概念和基本规律

6、，并能利用其解决具体的计算问本概念和基本规律，并能利用其解决具体的计算问题；题；（2）具有独立分析、处理和讲授中学物理电磁学）具有独立分析、处理和讲授中学物理电磁学课程的能力；课程的能力；（3）了解电磁学的发展概况、实际应用和最新成）了解电磁学的发展概况、实际应用和最新成就；就；（4）进一步提高科学知识、科学方法、科学态度）进一步提高科学知识、科学方法、科学态度和科学精神等和科学精神等科学素质科学素质。学习本课程的要求学习本课程的要求101、掌握描述静电场的两个物理量、掌握描述静电场的两个物理量电场电场强度和电势的概念，理解电场强度强度和电势的概念，理解电场强度 E是矢是矢量点函数，而电势量点

7、函数，而电势V 则是标量点函数。则是标量点函数。2、理解高斯定理及静电场的环路定理，它、理解高斯定理及静电场的环路定理，它们是静电场的两个重要定理，它们表明静们是静电场的两个重要定理，它们表明静电场是有源场和保守场。电场是有源场和保守场。第一章第一章 静电场的基本规律静电场的基本规律113、掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及、掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度。带电系统的电场强度。5 、了解电偶极子概念，能计算电偶极子、了解电

8、偶极子概念，能计算电偶极子在均匀电场中的受力和运动。在均匀电场中的受力和运动。4、掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定、掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定义式求解带电系统电势的方法。义式求解带电系统电势的方法。12第一章第一章 静电场的基本规律静电场的基本规律 1 电电 荷荷 大量实验表明，自然界中的电荷只有两种，大量实验表明，自然界中的电荷只有两种，一种与丝绢摩擦过的玻璃棒的电荷相同，叫一种与丝绢摩擦过的玻璃棒的电荷相同，叫正电正电荷荷；另一种与毛皮摩擦过的火漆棒的电荷相同，；另一种与毛皮摩擦过的火漆棒的电荷相同，叫叫负电荷负电荷。同种电荷间有斥力，异种电荷间有吸。同种电荷间有斥力，异种电荷间

9、有吸力。当异种电荷在一起时，它们的效应有互相抵力。当异种电荷在一起时，它们的效应有互相抵消的作用。消的作用。 13图1-1 验电器 验电器（验电器（图1-1 ）导体导体 绝缘体绝缘体 （电介质电介质 ）半导体半导体 物体导电性的微观物体导电性的微观结构解释结构解释 14 在一个与外界没有电荷交换的系统在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。这叫做中始终保持不变。这叫做电荷守恒定律电荷守恒定律，是物理学的重要规律之一是物理学的重要规律之一 。 电荷守恒定律可能与电荷的量子属电荷守恒定律可能与电荷的量子属性有关，还与性有关，

10、还与电子的稳定性电子的稳定性有关。电子有关。电子是最轻的带电粒子，它不能衰变。是最轻的带电粒子，它不能衰变。19651965年有人做了一个实验，估计出电子的寿年有人做了一个实验，估计出电子的寿命超过命超过10102121年年 。15点电荷点电荷（模型）：如果带电体的线度比带电体之间（模型）：如果带电体的线度比带电体之间的距离小得多，那么静电力就基本上只取决于它们的距离小得多，那么静电力就基本上只取决于它们的电量和距离。的电量和距离。 （带电体能否被看作点电荷，不（带电体能否被看作点电荷，不仅取决于本身的大小，而且取决于它们之间的距离）仅取决于本身的大小，而且取决于它们之间的距离）16 真空中两

11、个静止的点电荷间的静电力服真空中两个静止的点电荷间的静电力服从的规律叫做从的规律叫做库仑定律库仑定律，包括如下两方面的，包括如下两方面的内容：内容： 221rqqKF 其中其中k k是比例常数，依赖于各量单位的选取。是比例常数，依赖于各量单位的选取。（1.11.1）（1 1）两个点电荷间的静电力大小相等而方向相反，两个点电荷间的静电力大小相等而方向相反，并且沿着它们的联线；同号电荷相斥，异号电荷并且沿着它们的联线；同号电荷相斥，异号电荷相吸。相吸。 （2 2）静电力的大小与各自的电量静电力的大小与各自的电量q ql l及及q q2 2成正比，成正比，与距离与距离r r的平方成反比，即的平方成反

12、比，即: : 17库仑（库仑（17851785年）注意年）注意到电荷之间的静电力与万有到电荷之间的静电力与万有引力有许多类似之处，大胆引力有许多类似之处，大胆地假设静电力的规律与地假设静电力的规律与万有万有引力定律引力定律有类似的形式。为有类似的形式。为了证实这一假设，他精心设了证实这一假设，他精心设计了一些实验，其中主要的计了一些实验，其中主要的一个是研究同性电荷相互作一个是研究同性电荷相互作用力的用力的“扭秤实验扭秤实验”，结构，结构如图如图1 12 2 。(教材教材P46)18横杆转角横杆转角(即即A、B间夹角间夹角) 杆头转角杆头转角 悬丝扭角悬丝扭角 = + 球球A、B未带电时未带电

13、时000000球球A、B电量不变情电量不变情况下的三次实验况下的三次实验(1)36000360(2)180= 360/212601440=4 360(3)8.50 180/256705760=4 1440库仑扭秤实验数据库仑扭秤实验数据19 电磁学中最常用的单位制是电磁学中最常用的单位制是高斯制高斯制和和国际制国际制。高斯制由力。高斯制由力学中的厘米学中的厘米克克秒制（秒制（CGSCGS制）发展而成。国际制是目前国制）发展而成。国际制是目前国际上流行的一种单位制（记作际上流行的一种单位制（记作SISI），其力学及电磁学部分叫做），其力学及电磁学部分叫做MKSAMKSA制。制。MKSA MKSA

14、 制以长度、质量、时间及电流强度为基本量，制以长度、质量、时间及电流强度为基本量，以米、千克、秒及安培为基本单位。在以米、千克、秒及安培为基本单位。在MKSAMKSA制中电量的单位叫制中电量的单位叫库仑，它与安培和秒有如下关系：库仑，它与安培和秒有如下关系： k91092.2 2.2 电量的单位电量的单位采用采用MKSA制时，式（制时，式（1.1）中各量的单位已分别指定为牛顿、）中各量的单位已分别指定为牛顿、库仑和米，故比例系数库仑和米，故比例系数k不能再任意指定而只能由实验测出。不能再任意指定而只能由实验测出。实验测得实验测得k在在MKSA制中的数值为制中的数值为:1库仑库仑=1秒秒安培安培

15、20为了方便起见，今后我们在为了方便起见，今后我们在MKSAMKSA制中将制中将k k写成写成: :041k221041rqqF(1.5)(1.5)引人引人0 0后，式（后，式（1.l1.l）应改写为：）应改写为：08.910-12的形式（常数的形式（常数0 0的意义见第三章），相应的的意义见第三章），相应的0 0数值为：数值为：21 库仑定律对两个点电荷间静电力的大小和方库仑定律对两个点电荷间静电力的大小和方向都作了确切的描述。式（向都作了确切的描述。式（1.51.5）只反映静电力的）只反映静电力的大小所服从的规律，并未涉及静电力的方向。要大小所服从的规律，并未涉及静电力的方向。要反映方向就

16、要把它改写为矢量形式。反映方向就要把它改写为矢量形式。a 黑体字母黑体字母a a表示矢量表示矢量 ，斜体字母斜体字母a a表示矢量表示矢量a a的长的长度度 ，表示与表示与a a同方向但长度为同方向但长度为1 1的矢量，叫单位矢的矢量，叫单位矢 a aa a 矢量的符号矢量的符号介绍介绍2.3 2.3 库仑定律的矢量形式库仑定律的矢量形式22库仑定律的矢量形式可以表示为库仑定律的矢量形式可以表示为: :122021124Frrqq212021214Frrqq 其中其中F F1212表示点电荷表示点电荷1 1对点电荷对点电荷2 2的作用力的作用力( (即点电即点电荷荷2 2受到的作用力受到的作用

17、力) )，F F2121表示点电荷表示点电荷2 2对点电荷对点电荷1 1的作的作用力用力( (即点电荷即点电荷1 1受到的作用力受到的作用力) )， 表示由点电荷表示由点电荷1 1指向点电荷指向点电荷2 2的单位矢，的单位矢， 表示由点电荷表示由点电荷2 2指向点电指向点电荷荷1 1的单位矢（显然的单位矢（显然 ）。）。 12 r21 r2112rr23 通过矢量式容易判断静电力的大小及方向通过矢量式容易判断静电力的大小及方向 （可以自已开展讨论）。（可以自已开展讨论）。可见，矢量等式具有比标可见，矢量等式具有比标量等式更丰富的表达力。今后，在涉及矢量问题时，量等式更丰富的表达力。今后，在涉及

18、矢量问题时，我们将经常使用矢量表达式我们将经常使用矢量表达式 。图图1 15 5 用库仑定律的矢量形式判断两个点电荷间静电力的方向用库仑定律的矢量形式判断两个点电荷间静电力的方向241 1库仑定律中的电荷相对观察者（或实验室参库仑定律中的电荷相对观察者（或实验室参考系）都处在静止状态。考系）都处在静止状态。实验表明，静止电荷对实验表明，静止电荷对运动电荷的作用力仍由（运动电荷的作用力仍由（1.61.6）式给出，但是运）式给出，但是运动电荷对静止电荷的作用力不能用库仑定律来表动电荷对静止电荷的作用力不能用库仑定律来表示，运动电荷的电效应比较复杂。示，运动电荷的电效应比较复杂。2 2库仑定律指出，

19、库仑定律指出，两静止电荷间的作用是两静止电荷间的作用是有心有心力力，力的大小与两电荷间的距离服从力的大小与两电荷间的距离服从平方反比平方反比律律。我们将看到，静电场的基本性质正是由静。我们将看到，静电场的基本性质正是由静电力的这两个基本特性决定的。电力的这两个基本特性决定的。几点说明几点说明253 3库仑定律是一条实验定律。库仑定律是一条实验定律。在库仑时代，测量在库仑时代，测量仪器的精度较低（即使在现代，直接用库仑的实仪器的精度较低（即使在现代，直接用库仑的实验方法，所得结果的精度也是不高的），但是库验方法，所得结果的精度也是不高的），但是库仑定律中静电力对距离的依赖关系，即平方反比仑定律中

20、静电力对距离的依赖关系，即平方反比律，却有非常高的精度。验证平方反比律的一种律，却有非常高的精度。验证平方反比律的一种方法是假定力按方法是假定力按 变化，然后通过实验求出变化，然后通过实验求出的数值（当然这些实验并不是用扭秤进行的）。的数值（当然这些实验并不是用扭秤进行的）。19711971年的实验结果是年的实验结果是221010-16-16。21r264 4库仑定律给出的平方反比律中，库仑定律给出的平方反比律中，r r值的范围相当大。虽然在库仑的实验值的范围相当大。虽然在库仑的实验中，中，r r只有若干英寸，但近代物理与地只有若干英寸，但近代物理与地球物理的实验表明，球物理的实验表明，r r

21、值的数量级大到值的数量级大到10107 7m m而小到而小到 1010-17-17m m的时候，平方反比的时候，平方反比律仍然成立。律仍然成立。 27 库仑定律讨论的是两个点电荷之间的静电力。当空间有两个以上的点电荷时，就必须补充另一实验事实作用于每一电荷上的总静电力等于其他作用于每一电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和，点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和，这叫做这叫做叠加原理叠加原理。 库仑定律与叠加原理相配合，原则上原则上可以解决静电学中的全部问题。2.4 2.4 叠加原理叠加原理28 叠加原理不但可用直接实验来证明，而且还被叠加原理不但可用直接实

22、验来证明，而且还被大量间接实验所证实。大量间接实验所证实。值得注意值得注意：在某些非常小的：在某些非常小的范围内，如范围内，如原子或亚原子原子或亚原子范围内，范围内，叠叠加原理并不成加原理并不成立。立。 两个电荷相隔一定距离，虽无任何由原子、分两个电荷相隔一定距离，虽无任何由原子、分子所组成的物质媒介，却可以发生相互作用。历史子所组成的物质媒介，却可以发生相互作用。历史上，围绕电力的传递问题有过长期争论，上，围绕电力的传递问题有过长期争论，主要存在主要存在两种看法：两种看法：3 3 静静 电电 场场3.1 3.1 电电 场场29电荷电荷 一个电荷对另一个电荷的作用是通过空间某种中一个电荷对另一

23、个电荷的作用是通过空间某种中间物为媒介，以一定的有限的速度传递过去的，这间物为媒介，以一定的有限的速度传递过去的，这就是就是近距作用的观点近距作用的观点。传递相互作用的中间物，历。传递相互作用的中间物，历史上最早认为是一种特殊的弹性媒质史上最早认为是一种特殊的弹性媒质以太。以太。一个电荷对另一电荷的作用无需经中间物传递，一个电荷对另一电荷的作用无需经中间物传递，而是超越空间直接地瞬时地发生的，这就是而是超越空间直接地瞬时地发生的，这就是超距作超距作用的观点用的观点，即：，即：30 近代物理的发展证明，超距作用的近代物理的发展证明，超距作用的观点是错误的，近距作用的观点才是正观点是错误的，近距作

24、用的观点才是正确的确的( (但不完全正确但不完全正确) )。电力（磁力也是。电力（磁力也是这样）虽然以极快的速度传递，但该速这样）虽然以极快的速度传递，但该速度仍然有限。在真空中，它的速度就是度仍然有限。在真空中，它的速度就是真空中的光速真空中的光速C C： C C299 792 458 m/s 299 792 458 m/s 3 310108 8 m/sm/s31 但但“以太以太”并不存在，电力并不存在，电力（磁力）（磁力）通过电场通过电场（磁场（磁场）传递。凡是有电荷的地方，周围就存在电场，即电荷传递。凡是有电荷的地方，周围就存在电场，即电荷在自己的周围产生电场或激发电场，电场对处在场内的

25、在自己的周围产生电场或激发电场，电场对处在场内的其他电荷有力作用。电荷受到电场的作用力仅由该电荷其他电荷有力作用。电荷受到电场的作用力仅由该电荷所在处的电场决定，与其他地方的电场无关，这就是所在处的电场决定，与其他地方的电场无关，这就是场场的观点的观点。按照这种观点，电荷间的相互作用可表示为。按照这种观点，电荷间的相互作用可表示为: :电荷电场电荷“两个电荷之间的静电力两个电荷之间的静电力”实际上是每个电荷的电场实际上是每个电荷的电场作用在另一电荷上的电场力。作用在另一电荷上的电场力。场的观点：场的观点：32 为了研究电场中各点的性质，可以用一个点电荷为了研究电场中各点的性质，可以用一个点电荷

26、q q作实验，这个电荷叫做作实验，这个电荷叫做试探电荷试探电荷。试探电荷应该满足试探电荷应该满足两个条件两个条件：（2 2）它的）它的电量要足够小电量要足够小，使得由于它的置入不引起，使得由于它的置入不引起原有电荷的重新分布，否则测出来的将是重新分布原有电荷的重新分布，否则测出来的将是重新分布后的电荷激发的电场。后的电荷激发的电场。（1 1）它的）它的线度必须小线度必须小到可以被看作点电荷，以便确到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质；定场中每点的性质；3.2 3.2 电场强度电场强度33 我们把在电场中所要研究的点叫做我们把在电场中所要研究的点叫做场点场点。在场点上放置一个静止的试探电荷

27、在场点上放置一个静止的试探电荷q。按照库。按照库仑定律，仑定律，q所受的电场力为所受的电场力为: rrqQF420从下图可以发现从下图可以发现,比值比值F/q只与场点有关，只与场点有关，而与而与q无关。这一结论还可推广到由任意电荷无关。这一结论还可推广到由任意电荷激发的电场。激发的电场。34图图1-6 在点电荷在点电荷Q激发的电场中的同一点，不同激发的电场中的同一点，不同试探电荷试探电荷q受力受力F不同，但不同，但 比值却与试探电荷比值却与试探电荷q无关，因而可用以表征场点的性质。无关，因而可用以表征场点的性质。qF35 我们把场中每点的我们把场中每点的 叫做该点的叫做该点的电场强度电场强度（

28、简（简称场强），以称场强），以 表示，即表示，即: : qFE由这定义可知，场强是描写电场中某点性质的由这定义可知，场强是描写电场中某点性质的矢量，其大小等于单位试探电荷在该点所受电场力矢量，其大小等于单位试探电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正试探电荷在该点所受电场力的的大小，其方向与正试探电荷在该点所受电场力的方向相同。方向相同。qFE36 对同一场中的不同点对同一场中的不同点E E一般可以不同，这种与一般可以不同，这种与场点一一对应的物理量叫做场点一一对应的物理量叫做点函数点函数，即点的坐标，即点的坐标的函数。的函数。 “求某一带电体激发的电场”就是指求出场强与坐标的函数关系E E（x

29、、y、z）。点函数又可按物理量是标量还是矢量而分为标量点函数标量点函数和矢量点函数矢量点函数两种。场强是矢量点函数，可记作E E（x、y、z）。37 各点场强有相同的大小和方向的电场叫做各点场强有相同的大小和方向的电场叫做均均匀电场匀电场（匀强电场）。（匀强电场）。 场强的国际制单位场强的国际制单位 ：一般记作牛顿库仑一般记作牛顿库仑（或伏特米）。（或伏特米）。当静电场中某点的场强当静电场中某点的场强E E已知时，便可以求已知时，便可以求得位于该点的电量为得位于该点的电量为q q的任一点电荷所受到的静的任一点电荷所受到的静电场力：电场力： FqE38其中其中 是从是从Q Q到场点的单位矢，到场

30、点的单位矢，r r是是Q Q与场点的距离。上与场点的距离。上式表明，点电荷式表明，点电荷Q Q的场强数值随场点与的场强数值随场点与Q Q点的距离依平点的距离依平方反比律减小，方向则沿场点与方反比律减小，方向则沿场点与Q Q点的联线。当点的联线。当 Q Q0 0时，时，E E与与 同向，场强背离同向，场强背离Q Q点；当点；当 Q Q0 0时时,E,E与与 反反向，场强指向向，场强指向Q Q点。点。rrQE420r r r 3.3 3.3 场强的计算场强的计算点电荷点电荷Q Q激发的场强激发的场强由场强定义及库仑定律可知由场强定义及库仑定律可知：39 当电场由当电场由n n个点电荷激发时，以个点

31、电荷激发时，以F Fi i表示第表示第i i个个点电荷对试探电荷点电荷对试探电荷q q作用的静电力，作用的静电力，E Ei i表示第表示第i i个个点电荷在点电荷在q q点的场强，由力的叠加原理可以推证点的场强，由力的叠加原理可以推证场强的场强的叠叠加原理，即加原理，即: :iiiEFFFEqqqn n个点电荷个点电荷所激发的电场在某点的总场强等于所激发的电场在某点的总场强等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，这叫做的矢量和，这叫做场强的叠加原理场强的叠加原理。40例例1 1 在坐标原点及（在坐标原点及（ 米，米，0 0）点分别放

32、置电量）点分别放置电量Q Q1 1=-2=-2微库及微库及Q Q2 2=+1=+1微库的的点电荷，求点微库的的点电荷，求点P P（ 米，米，-1-1米）米）处的场强（图处的场强（图1-71-7）。）。33解解: Q: Q1 1在在P P点激发的场强：点激发的场强：1210114rrQE其中其中r r1 1为原点为原点O O与场点与场点P P的距离，的距离，为从为从O O向向P P的单位矢。把已知数的单位矢。把已知数据代入得据代入得: :1 r1312061105 . 424102rrE其中其中o o8.98.91010-12-1241图图1-7 1-7 点电荷点电荷Q Q1 1及及Q Q2 2

33、在在P P点激发的场强点激发的场强42Q Q2 2在在P P点激发的场强点激发的场强: : 2220224rrQE其中其中r r2 2是是Q Q2 2所在点与所在点与P P点的距离，点的距离， 是从是从Q Q2 2所在点向所在点向P P的的单位矢。代入已知数据得单位矢。代入已知数据得: :2 r根据场强的迭加原理，根据场强的迭加原理，P P点的总场强为：点的总场强为： 矢量的迭加可通过对应分量的迭加进行。由图可知，矢量的迭加可通过对应分量的迭加进行。由图可知，E E1 1及及E E2 2的的x x、y y分量分别为：分量分别为：2322062109 . 81410rrE( (牛牛/ /库库)

34、)21EEE4333011109 . 323)105 . 4(30COSEEx33011103 . 221)105 . 4(60COSEEy02xE322109 . 8EEyE= -i i（3.9103）-j j（6.6103）（牛库） 其中i i及j j是沿x、y轴方向的单位矢量。 以上便是本例答案。如果要表为矢量形式，亦可写为以上便是本例答案。如果要表为矢量形式，亦可写为: :故故 E Ex xE E1x1x+E+E2x2x=-3.9=-3.910103 3（牛库）（牛库） E Ey yE E1y1y+E+E2y2y=-6.6=-6.610103 3（牛库）（牛库）（牛库）（牛库）（牛库）

35、（牛库）（牛库）（牛库）（牛库）（牛库）44 从微观看来电荷总是一粒粒（如一个电子一个电子）从微观看来电荷总是一粒粒（如一个电子一个电子）地分布的。地分布的。 从宏观看来，为方便起见可以忽略这种微观起伏而从宏观看来，为方便起见可以忽略这种微观起伏而认为电荷连续分布于某一体积、曲面或曲线上。认为电荷连续分布于某一体积、曲面或曲线上。 1、电荷连续分布于某一体积中（体分布）电荷连续分布于某一体积中（体分布） 2、电荷连续分布于某一薄层内电荷连续分布于某一薄层内 （面分布）（面分布） 3、电荷连续分布于某一细棒上电荷连续分布于某一细棒上 （线分布）（线分布）电荷连续分布的三种情况电荷连续分布的三种情

36、况：电荷连续分布时场强计算的讨论电荷连续分布时场强计算的讨论45 为了描写电荷的分布，可以仿照力学的密度概为了描写电荷的分布，可以仿照力学的密度概念引入电荷体密度的概念。在体积中某点周围取一个念引入电荷体密度的概念。在体积中某点周围取一个小体元小体元，设，设内的电量为内的电量为q q，则，则: :qlim0（1）电荷连续分布于某一体积中 叫做该点的叫做该点的电荷体密度电荷体密度。 ：物理无限小体元物理无限小体元（1.9）46 其中，其中，r r为为dd与与P P的距离，的距离， 为为从从dd向向P P点的单位矢。根据迭加原点的单位矢。根据迭加原理，整个带电区域在理，整个带电区域在P P点激发的

37、总场点激发的总场强等于所有强等于所有dEdE的矢量和，可以写成的矢量和，可以写成如下积分：如下积分： rrdd420Er rrd41E20 为了计算场强，可把带电区域分为许多小体元为了计算场强，可把带电区域分为许多小体元dd，每个，每个dd可看作电量为可看作电量为dd的点电荷，它在的点电荷，它在场点场点P P激发的元场强为激发的元场强为: :47图图1-8 电荷连续分布于某电荷连续分布于某 图图1-9 带电薄层带电薄层 一体积时场强的计算一体积时场强的计算48 当场点与薄层的距离远大于薄层的厚度当场点与薄层的距离远大于薄层的厚度时，可以忽时，可以忽略这个厚度而认为电荷分布在一个几何曲面上。在曲

38、面上略这个厚度而认为电荷分布在一个几何曲面上。在曲面上某点周围取一面元某点周围取一面元S S，设，设S S内的电量为内的电量为q q，则，则: : sqslim0（2 2）电荷连续分布于某一薄层内）电荷连续分布于某一薄层内 叫做该点的叫做该点的电荷面密度电荷面密度。49其中其中r r是面元是面元dsds到场点的距离，到场点的距离， 是是dsds向场点的单位矢，积分向场点的单位矢，积分遍及整个带电曲面。遍及整个带电曲面。rrdsE4120r 计算带电曲面激发的场强时，可把每一面元计算带电曲面激发的场强时，可把每一面元S S看作电量看作电量为为S S 的点电荷，场强的计算归结为如下的曲面积分：的点

39、电荷，场强的计算归结为如下的曲面积分：图图1-10 从体分布到面分布（保持从体分布到面分布（保持q q不不变而令变而令0）（1.121.12）50其中其中q q是细棒上长度为是细棒上长度为l l的线元内的电量。这种情况下的场的线元内的电量。这种情况下的场强计算归结为一个曲线积分：强计算归结为一个曲线积分： lqllim0rrdl41E20（3 3）电荷连续分布于某一细棒上）电荷连续分布于某一细棒上 当场点与棒的距离远大于棒的粗细时，可忽略棒的粗细当场点与棒的距离远大于棒的粗细时，可忽略棒的粗细而认为电荷分布于一条几何曲线上（线模型）并类似地定义而认为电荷分布于一条几何曲线上（线模型）并类似地定

40、义电荷线密度电荷线密度为：为：其中，其中，r r是线元是线元dldl到场点的距离到场点的距离 ， 是是dldl向场点的单位矢，积分遍及整向场点的单位矢，积分遍及整条带电曲线。条带电曲线。r 51解解: 以盘心以盘心O为心作两个半径为为心作两个半径为r及及r+dr的圆，再作两条夹角为的圆，再作两条夹角为d的半径，便截的半径，便截出一个很小的出一个很小的“半扇形半扇形”，如右图中的，如右图中的斜线部分所示。因斜线部分所示。因d很小，可认为这个很小，可认为这个半扇形为矩形，其长、宽各为半扇形为矩形，其长、宽各为dr及及rd,其面积为：其面积为： 例题例题2 求均匀带电圆盘轴线上的场强。已知圆盘半求均

41、匀带电圆盘轴线上的场强。已知圆盘半径为径为R，电荷面密度为，电荷面密度为（0）。）。dS=rdrd52图图1-12 均匀带电圆盘轴线上的场强均匀带电圆盘轴线上的场强 53 由于电荷分布对称于圆盘轴线由于电荷分布对称于圆盘轴线OPOP，故必存在与所取半，故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形（图中用虚线围出的部分），扇形对称配置的另一半扇形（图中用虚线围出的部分），两者面积、电量分别相等。虚线半扇形在两者面积、电量分别相等。虚线半扇形在P P点贡献的场强如点贡献的场强如图中图中dEdE所示。所示。202044ldrrdldqdE其电量为其电量为: :dq=ds=rdrddq=ds=rdrd按照

42、点电荷场强公式，它在轴上一点按照点电荷场强公式，它在轴上一点P P贡献的场强（大小）为贡献的场强（大小）为: :其中其中l l是半扇形到是半扇形到P P点的距离。点的距离。54对变量对变量r r，作二重积分得：作二重积分得： 2322020)(44zrdrzrdlzldrrddECOSdEz)1 (2)(422023220200zRzzrrdrdzERdEdE与与dEdE大小相等，与轴线夹角大小相等，与轴线夹角亦等，两者的合场强必亦等，两者的合场强必平行于轴线。整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故平行于轴线。整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故P P点的总场强点的总场强E E亦必平行于轴线

43、。因此只须对亦必平行于轴线。因此只须对dEdE沿轴线的分量沿轴线的分量dEdEz z作积分便可求出作积分便可求出E E。由图可知：。由图可知：（1.15）55当圆盘半径当圆盘半径R R远大于场点与盘心的距离远大于场点与盘心的距离z,z,就可认为就可认为是是无限大（按数学意义）的带电圆盘无限大（按数学意义）的带电圆盘，就可近似认，就可近似认为为: (1.16): (1.16)是成立的。是成立的。0202202)(111 2)1 (2limlimzRzRzEzRzR02E结果讨论：结果讨论：（1 1）R Rz z很大的情况很大的情况对式（对式（1.151.15）取极限得）取极限得: :(1.16)

44、56 进一步的讨论可以证明进一步的讨论可以证明, ,对于对于不在轴线上的场点不在轴线上的场点，只要，只要场点与轴线的距离场点与轴线的距离y y远小于盘的半径远小于盘的半径R(yR)R(yR)，再加上，再加上zRzR的条件，圆盘就可以近似看作无限大的均匀带电平面，其的条件，圆盘就可以近似看作无限大的均匀带电平面，其场强就可由式（场强就可由式（1.161.16）近似表示。）近似表示。推推 广广 边缘不是圆形的均匀带电平面，即对边缘不是圆形的均匀带电平面，即对任意形状的均匀任意形状的均匀带电平面中部带电平面中部附近各点来说，这平面可近似地看作无限大附近各点来说，这平面可近似地看作无限大均匀带电平面，

45、其场强仍可由式（均匀带电平面，其场强仍可由式（1.161.16）近似表示。）近似表示。 进一步推广进一步推广57因因R/z1R/z R）与点电荷场的有关结果相同。与点电荷场的有关结果相同。109 可见，与均匀带电圆盘类似，在均匀带电球面上也是可见，与均匀带电圆盘类似，在均匀带电球面上也是场强有突变而电位无突变。可以证明，这是一个对任何带场强有突变而电位无突变。可以证明，这是一个对任何带电面都成立的结论。电面都成立的结论。电位在球内外的分布是一条连续曲线电位在球内外的分布是一条连续曲线110电场中电位相等的点组成的曲面叫做电场中电位相等的点组成的曲面叫做等位面等位面。6.4 等位面等位面 下页图

46、是几种简单电场的等位面图，其中虚线是等位下页图是几种简单电场的等位面图，其中虚线是等位面，实线是电场线。面，实线是电场线。 均匀带电无限大平面的场的等位面均匀带电无限大平面的场的等位面是与带电面平行的是与带电面平行的平面。平面。 点电荷场的等位面点电荷场的等位面是以电荷所在点为心的同心球面。是以电荷所在点为心的同心球面。111图图1-36 1-36 几种电场的等位面几种电场的等位面 112 为使等位面更直观地反映电场的性质，对等位面为使等位面更直观地反映电场的性质，对等位面的画法作一的画法作一附加规定附加规定：场中任两相邻等位面的电位差场中任两相邻等位面的电位差为常数。为常数。 等位面有一个重

47、要性质，就是处处与电场线垂直等位面有一个重要性质，就是处处与电场线垂直(可用反证法证明) 。 容易证明，按照这个附加规定画图，场强较大处容易证明，按照这个附加规定画图，场强较大处等位面必较密，反之则较疏。因此，与电场线类似，等位面必较密，反之则较疏。因此，与电场线类似，等位面的疏密程度可以反映场强的大小等位面的疏密程度可以反映场强的大小。113 在场中取一点在场中取一点P1，过，过P1作等位面作等位面S1及其法线，在法线上取及其法线，在法线上取与与P1极近的点极近的点 P2，过，过P2作等位面作等位面S2，如，如图。规定图。规定S1及及S2面的法面的法线单位矢线单位矢 自自P1指向指向P2，并

48、用，并用n表示表示P1与与P2的距离绝对值的距离绝对值（n0）。）。nEnEn n n 6.5 电位与场强的微分关系电位与场强的微分关系（已知电位求场强的一种方法）（已知电位求场强的一种方法）由等位面与电场线垂直可由等位面与电场线垂直可知知E与与 只能同向或反向，以只能同向或反向，以En表示表示E在在 方向上的投影，方向上的投影，有：有：114当当En0时时E与与 同向，否则反向。同向，否则反向。n dln dlE212121nPPPPEUUBABAUUdlEdldln n dlEUUPPn2121令积分沿令积分沿P P1 1、P P2 2联线进行，联线进行，这时这时dl/ dl/ 且两者同向

49、，故：且两者同向，故：以以U1及及U2表示表示P1及及P2的电位，的电位，由式由式 有：有：图图138电势与场强电势与场强微分关系的推导微分关系的推导115nEUUn2112UUUnUEnn EnU（1.45）（1.44）或或得：得：又因又因P1与与P2极近，可以认为联线上各点极近，可以认为联线上各点的的En与与P1点上的点上的En相同，故：相同，故：116（1）一点的场强与过该点的等位面垂直，而且指）一点的场强与过该点的等位面垂直，而且指向电位减小的方向。即：向电位减小的方向。即： 0nUn 0nUn 这时这时 ，由式（，由式（1.45）知）知E与与 反向，即从反向，即从P2指向指向P1。但

50、现在。但现在P1电位比电位比P2低，故低，故场强仍是指场强仍是指向电位减小的方向。向电位减小的方向。当当U1U2（即（即U0）时：）时： 这时这时 （因（因n永为正），由式（永为正），由式（1.45）知）知E与与 同向，即从同向，即从P1指向指向P2（注意：这时（注意：这时P1电位比电位比P2高），可知高），可知场强指向电位减小的方向场强指向电位减小的方向。当当UlU2（即（即U0）时：）时：（1.45）式的意义：）式的意义：117 由于在推导过程中用到了由于在推导过程中用到了P2P1这一条件，因此，这一条件，因此，以上推导只在以上推导只在P2P1的极限情况下成立。故式（的极限情况下成立。故式

51、（1.45）应写为：应写为： nnElim12nUnUPPnU式（式（1.46）就是）就是电位与场强的微分关系电位与场强的微分关系其中其中 就是标量点函数就是标量点函数U（x，y，z）沿等位面法向）沿等位面法向的方向导数。的方向导数。（1.46）（2）某点场强的大小等于该点电位沿等位面法）某点场强的大小等于该点电位沿等位面法向的变化率（沿法向的方向导数）。向的变化率（沿法向的方向导数）。118 由电位与场强的微分关系，可方便地根据电位由电位与场强的微分关系，可方便地根据电位的分布的分布U（x，y，z）求场强，为此只须作一微分）求场强，为此只须作一微分运算。运算。 注意：注意：电位与场强的微分关系说明一点的场强与该电位与场强的微分关系说明一点的场强与该点的电位变化率（而不是该点电位本身）有关。点的电位变化率（而不是该点电位本身）有关。 如果场强E（x，y，z）已知，要求U，则须作一积分运算。 电位是标量，其计算往往比场强（矢量）方便，所以一般可根据电荷分布先求U（x，y，z）再求E。119在空间直角坐标系中，如在空间直角坐标系中，如V是是x，y，z的函数，的函数，分别将分别将x，y，z轴正方向取作轴正方向取作n的方向，则场强在的方向，则场强在这三个方向上的分量分别为：这三个方