空间向量的坐标运算(10)课件

1、7.7 7.7 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算1空间向量的直角坐标运算律空间向量的直角坐标运算律 (1)若若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)； ab(a1b1，a2b2，a3b3)； a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3； aba1b1，a2b2，a3b3(R)；aba1b1a2b2a3b30. (2)若若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则，则AB(x2x1，y2y1，z2z1) 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的

2、的坐的坐 标减去标减去 的坐标的坐标2模长公式模长公式：若若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则则|a| 3夹角公式：夹角公式：cosa，b 终点终点起点起点4两点间的距离公式两点间的距离公式 若若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则则 或或d(A，B) .5如如果表示向量果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面的有向线段所在直线垂直于平面，记作，记作a，此时向量，此时向量 a叫做平面叫做平面的的 法向量法向量1已知点已知点A(3,1，4)，则点，则点A关于原点的对称点坐标为关于原点的对称点坐标为() A(1，3，4) B(4,1，3) C(3，1,4) D(4，1,

3、3) 解析：解析：设设A点关于原点的对称点坐标为点关于原点的对称点坐标为(x，y，z)，则，则 ， x3，y1，z4. 答案：答案：C2已知向量已知向量a(2，3,5)，b(3， )，且，且ab，则，则等于等于() 解析：解析：ab，则则bxa， ，解得，解得 . 答案：答案：C3已知已知A(1，2,3), B(4，4，3), C(2,4,3)，D(8,6,6)，则向量，则向量 在向量在向量 方向上的射影方向上的射影AB_. 解析：解析： (41，42，33)(3，2，6)， (82,64,63) (6,2,3)，而而CD方向上的单位向量是方向上的单位向量是 AB e(3，2，6) . 答案答

4、案：4我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量在平面直角坐标我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量在平面直角坐标 系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为且法向量为n (1,2)的直线的直线(点法式点法式)方程为方程为(x2)2(y1)0，化简后得，化简后得x2y0.类类 比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1,3)，且法向量，且法向量n(1,2,1) 的平面的平面(点法式点法式)方程为方程为_(请写出化简后的结果请写出化简后的结果) 答案：答案：x2yz30

5、空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组 【例【例1】 证证明明四点四点A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)在同一平面内在同一平面内证明：证明： (3,4,5)， (1,2,2)， (9,14,16)，若设若设 ，则则(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，所以，所以由由得：得： 把它代入把它代入也成立，也成立， ，因此因此A、B、C、D四点共面四点共面

6、变式变式1. 若若a(1,0,0)，b(1,1,0)，c(1,1,1) (1)试证试证a，b，c不共面；不共面；(2)试用试用a，b，c表示表示d(5,3,6) 解答：解答：(1)证明证明：假设：假设a，b，c共面，由共面，由a，b不共线知不共线知cab， 即即(1,1,1)(1,0,0)(1,1,0) 此为矛盾，此为矛盾，a，b，c不共面不共面 (2)设设dxaybzc，则，则 解得解得 d2a3b6c.此类题主要通过建立合理、恰当的空间直角坐标系后写出所证的向量的坐标，通此类题主要通过建立合理、恰当的空间直角坐标系后写出所证的向量的坐标，通过判定两向量的平行或垂直关系，进而达到判定两直线的

7、平行或垂直关系过判定两向量的平行或垂直关系，进而达到判定两直线的平行或垂直关系(1)平行问题平行问题向量共线，注意重合向量共线，注意重合(2)垂直问题垂直问题向量的数量积为零，注意零向量向量的数量积为零，注意零向量【例【例2】 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N、Q分别为所在棱分别为所在棱A1B1、BB1、 DD1的中点，的中点，P为棱为棱BC上一点且上一点且PB3PC，AB1， (1)求证：求证：PQAM，PQCN； (2)求求 . 解答：解答：(1)证明证明：如右图，建立直角坐标系：如右图，建立直角坐标系Dxyz. 则则A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0

8、)，N(1,1， )，P( ，1,0)，Q(0,0， )， 故故PQAM，PQCN. (2) (1,1,0)， .变式变式2.已已知知M、N分别为正方体分别为正方体ABCDA1B1C1D1棱棱A1B1、BB1的中点，的中点，则异面直线则异面直线AM与与CN所成角的余弦值为所成角的余弦值为() 解析：解析：如图如图，建立直角坐标系，建立直角坐标系Dxyz，设，设AA11，则，则A、C、M、N四点的坐四点的坐标分别为标分别为A(1,0,0)、C(0,1,0)、M(1， ，1)、N(1，1， ) (0， ，1)， (1,0， ) 因此异面直线因此异面直线AM与与CN所成角的余弦值为所成角的余弦值为

9、. 答案：答案：B 利用向量可解决异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角以及点面利用向量可解决异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角以及点面距离问题，例如求直线与平面所成的角距离问题，例如求直线与平面所成的角，可求直线的方向向量，可求直线的方向向量a与平面法向与平面法向量量n的夹角，若的夹角，若a，n为锐角，则为锐角，则 a，n；若；若a，n为钝角时，为钝角时，a，n .【例【例3】 三棱锥三棱锥PABC中，侧面中，侧面PAC与底面与底面ABC垂直，垂直，PAPBPC3. (1)求证：求证：ABBC；(2)设设ABBC2 ，求，求AC与平面与平面PBC所成角大小所成角大小 解答：解

10、答：(1)证明：以证明：以AC的中点的中点D为原点，为原点， 如右图建立直角坐标系如右图建立直角坐标系Dxyz， 设设A、B、C三点坐标分别为三点坐标分别为(0，a，0)，(x，y,0)，(0，a,0) 则则 (x，ya,0)， (x，ay,0)，P(0,0，z)，根据已知条件：根据已知条件： ，则，则a2(x2y2)0. x2(a2y2)a2(x2y2)0， .(2)由由ABBC2 知，知，AC2 ，PD ，DB ，在在RtABC中，中，BDAC，点，点B在在x轴上轴上P，B，C三点坐标分别为：三点坐标分别为：(0,0， )，( ，0,0)，(0， ，0)，则则 ,设平面设平面PBC的法向量

11、的法向量n(1，y，z)，则则 即即 解得解得n(1,1， )，又，又 , 因此直线因此直线AC与平面与平面PBC所成角为所成角为30.1空间向量的坐标表示及运算是空间向量基本定理的具体应用和空间向量的坐标表示及运算是空间向量基本定理的具体应用和“量化量化”，在涉，在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实行向量及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实行向量的坐标运算解决几何问题方便易行，行之有效具体的步骤可归纳为：的坐标运算解决几何问题方便易行，行之有效具体的步骤可归纳为： (1)建立直角坐标系；建立直角坐标系； (2)求相关点坐标；求相关点坐标

12、； (3)表示向量坐标；表示向量坐标； (4)向量的坐标运算向量的坐标运算2通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行和垂直等位置关系和计算成通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行和垂直等位置关系和计算成 角和距离等问题，在证明直线和平面平行、两平面互相垂直、计算直线和平角和距离等问题，在证明直线和平面平行、两平面互相垂直、计算直线和平面所成角、二面角以及求点到平面的距离时，要注意平面法向量的求法和使面所成角、二面角以及求点到平面的距离时，要注意平面法向量的求法和使 用用. 【方法规律】【方法规律】 (本题本题12分分)如图如图，已知已知M、N分别为正方体分别为正方体ABCDA1B1C1D

13、1所在棱上一点所在棱上一点，且且CMBN.求证求证：A1MC1N证明：证明：如图如图建立直角坐标系建立直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为，设正方体的棱长为1.则则A1(1,0,1)，M(x,1,0)，C1(0,1,1)，N(1，1x，0)， (x1,1，1)， (1，x，1) 0，即，即 ，因此，因此A1MC1N. 【答题模板】【答题模板】 1. 本题可以看做是在正方体本题可以看做是在正方体ABCDA1B1C1D1中证明中证明A1CBC1问题的推广，将动问题的推广，将动点引入立体几何试题中，我们称之为点引入立体几何试题中，我们称之为“立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题”，让静止的图，让静止的图形动起来，操作、感知、猜想、再辩证、动中有静，静中窥动，既考查：空间形动起来，操作、感知、猜想、再辩证、动中有静，静中窥动，既考查：空