常微分方程试题库试卷库

1、学习必备欢迎下载常微分方程期终考试试卷 (1)一、 填空题（ 30%）1、方程M ( x, y) d x N( ,x )y d y有 只 含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是（）。有只含 y 的积分因子的充要条件是 _。、 _称为黎卡提方程，它有积分因子_。、 _称为伯努利方程，它有积分因子_。、若 X1(t), X 2 (t), X n (t ) 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是 _。、形如_的方程称为欧拉方程。、若(t )和(t )都是x'A(t )x的基解矩阵，则(t) 和(t) 具有的关系是。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部

2、为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、 ydx(xy3 )dy0、 xxsin tcos2tA21(t ),(0)114 试求方程组 x2 并求 expAt、若Ax 的解( dy)34xy dy8 y20、 dxdxdyxy2、求方程 dx经过（ 0，0）的第三次近似解dxxy1, dyx y 5的奇点 , 并判断奇点的类型及稳定性 .6. 求 dtdt三、证明题（）、 n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。学习必备欢迎下载试卷答案一填空题MNMNyx( x)yx(y)、NMdyp(x) y2Q(x) y R( x)y y z、dxdyp(x) y Q(x) ynu(

3、x, y) y ne (n 1) p( x)dx、dx、 w x1(t ), x2 (t), , xn(t)0xn d n y 、 dxn、 (t ) 、零二计算题d n 1dyay 0aa1 dxn 1n 1 dxn(t )C稳定中心M1, N1yx、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子2 dyln y211dxxy3( y)eyedy0y2，两边同乘 y2得 yy2y3x1dxxy dycyy2y所以解为xy2cy( y2c) 另外 y=0 也是解y2即 2x、线性方程xx0的特征方程2 10 故特征根if1(t)sin ti 是特征单根，原方程有特解xt( Acost Bsi

4、n t )代入原方程学习必备欢迎下载1f 2 (t )cos2tA=-2B=02i 不 是 特 征 根 ， 原 方 程 有 特 解A1xAcos2tBsin 2t 代入原方程3 B=0xc costcsin t1 t cost1 cos2t所以原方程的解为1223p( )21269 03 此时 k=1 n1142、解：解得 1,21v3t1 ti3E)i13t1t (12)(t ) e( Aet (2 )2i 0 i!221e t n1 ti( AE)i由公式 expAt=i0 i!得exp At3tt (A3E)3t10t113t1tte Ee0111et1tdy38 y2xdxdyp38y

5、24 y dypx令 dx4 yp（* ）、解：方程可化为dx则有2 y( p34 y2 ) dpp(8y2p3 )4 y2 p（* ）两边对 y 求导：dy( p34 y2)(2 y dpp)02 y dpp0得 p1y( p )2即dy由dycy2 即c将 y代入（ *）c22 pxc2c24p2 py()2xc2 即方程的 含参数形式的通解为：cp 为参数4143又由 p34 y20 得 p(4 y2 ) 3 代入（ * ）得： y27x也是方程的解学习必备欢迎下载0y001y0xxdxx202y0x( xx2x2x520) dx2204y(xx4x10x7x2x511x8x)dxx、解

6、：3004400202204400160dxyxxy10dtdyyxy50 解得奇点（ 3，-2 ）令 X=x-3,Y=y+2 则x、解：由dt11因为 11 =1+10 故有唯一零解（ 0，0）1122112220111i 故（ 3，-2 ）为稳定焦由得点。三、证明题由解的存在唯一性定理知： n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：x1(t0 ) 1, x2 (t0 ) 0, xn (t0 ) 0x'(t)0, x'(t)1, x(t)01020n0xn 1(t)0, xn 1(t)0, , xn 1(t0) 11020n100w x1(t0), x2 (t0), xn

7、 (t0)01010考虑001从而 xi (t)(i1,2,n) 是线性无关的。常微分方程期终试卷 (2)学习必备欢迎下载一、填空题 30%1、形如 _的方程，称为变量分离方程， 这里 . f ( x). ( y) 分别为x.y 的连续函数。2、形如 _的方程，称为伯努利方程， 这里 P( x).Q ( x)为 x 的连续函数 .n 0.1是常数。引入变量变换，可化为线性方程。3、如果存在常数L0, 使得不等式_ 对 于 所 有（ x, y1 ), ( x, y2 ) R都成立， L称为利普希兹常数。 函数 f ( x, y) 称为在 R 上关于 y 满足利普希兹条件。4、形如 _-的方程，称

8、为欧拉方程，这里 a1, a2 , 是常数。5、设 (t )是 x Ax的基解矩阵，(t)是 x A(t) xf (t ) 的某一解，则它的任一解(t )可表为 _-。二、计算题 40%1、求方程2、求方程3、求方程4、求方程dy6 yxy 2的通解。dxxdyyexydxx的通解。x' '6x'5xe2t 的隐式解。dyxy 2通过点（ 0、0）的第三次近似解。dx三、证明题 30%t2t01x1221. 试验证 t = 2t1 是方程组 x ' =t2t x,x=x2，在任何不包含原点的区间a t b 上的基解矩阵。2. 设t 为方程 x ' =Ax

9、（A 为 nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（ ），0=E证明 :t 1 (t 0 )= (t- t 0 ) 其中 t 0 为某一值 .学习必备欢迎下载常微分方程期终试卷答卷一、填空题（每空5 分）dyf (x) ( y)dyP( x) y Q (x) y nz=y1 n1 dx2、 dx3 f ( x, y1 )f ( x, y2 )L y1y2x n d n ya1 xn 1 d n 1 yan 1 x dyan y 04、dx ndx n1dx5、 (t )(t)(t )二、计算题（每题10 分）z= y 1dzy2 dy1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令, 算得 dxdxdz6 zx

10、cx2代入原方程得到 dxx，这是线性方程，求得它的通解为 z= x681 cx2x6x8带回原来的变量 y，得到 y = x 6或者 yc88，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、dyexyxyxe xyy解： dxxxdy( xexyy)dxxdyydxxexy dxdxyxexydxdxyxdxexye xy1 x 2c积分：21 x 2e xyc 0故通解为： 2学习必备欢迎下载3、解：齐线性方程 x' '6x'5x 0 的特征方程为2650 ，11,25 ，故通解为 x(t)c1e tc2e 5 t2 不是特征根，所以方程有形如x(t )Ae 2t把

11、x(t ) 代回原方程4Ae 2t12Ae 2t5Ae2 te2tA121于是原方程通解为x(t ) c1e tc2 e 5t1 e2t214、解0 ( x)0x2x 21 ( x) x( x)dx020x2 ( x)dxx 2x 52 ( x) x10220x2 ( x)dxx 2x 5x8x113 ( x) x202201604400三、证明题（每题15 分）t 22t01t 的第一列为2t'2 =221、证明：令1 (t)=, 这时t 2t1 (t) 故 1 (t)1 (t)=10122是一个解。同样如果以2 (t) 表示t 第二列，我们有2 (t)=0=t 2t 2 (t)这样

12、2 (t) 也是一个解。因此t 是解矩阵。又因为 dett =-t 2 故 t 是基解矩阵。2、证明：（1） t ,(t- t0 ) 是基解矩阵。（2）由于t 为方程 x ' =Ax 的解矩阵，所以t1 (t 0 ) 也是 x ' =Ax 的解矩阵，而当 t=t 0 时， (t 0 )1 (t 0 )=E,(t-t 0 )=（0）=E. 故由解的学习必备欢迎下载存在唯一性定理，得t1 (t 0 )=(t- t0 )常微分方程期终试卷 (3)一 . 解下列方程 (10%*8=80%)1. 1.2xylnydx+x2 + y 2 1y2 dy=0dyy2. dx =6 x -x y

13、 23. y ' =2( x y y 2 1)24. xy' = x2y 2+y5.5.tgydx-ctydy=06.6.y-x( x2 + y 2)dx-xdy=07一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起， 有一个和时间成正比 （比例系数为k1 ）的力作用在它上面， 此外质点又受到介质的阻力， 这阻力和速度成正比（比例系数为k2 ）。试求此质点的速度与时间的关系。x8.已知 f(x)0f (t )dt =1,x0, 试求函数 f(x) 的一般表达式。二 证明题 (10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M、N 试同齐次函数，且xM+yN

14、0, 则1( xMyN ) 是该方程的一个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：学习必备欢迎下载MNMN2x ln y1yx1.解： y=2xlny+2x ,y =2x, 则M=2xy ln y =y , 故方y1 dy11= y， 原 方 程 两 边 同 乘 以 y程有积分因子= e y得22y22xy ln yxy 12y2dy=0, 两边积分得ydx+ydy=0 是恰当方程 . d(x lny)+y1312221 y=C。方程的解为 x lny+ 30 时，令 z= y12. 解：1）y=0 是方程的特解。 2）当 y得2dz6cxd

15、x =x z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z= x6812cx； y=0.代回原来的变量 y 得方程解为 y = x682dvv23.解：令 x=u+3, y=v2, 可将原方程变为 du =u v ，vu dz2再令 z= u ，得到 z+u =z1 z22z 1zu dz2，即 u = 1z ，12dzduz2分离变量并两端积分得1z= u +lnC即 ln z +2arctgz=ln u +lnC，代回原变量得 v=Ce2arctg vln zu = 2arctgz+lnCu所以，原方程的解为 y+2=Ce2 arctg y2x3 .学习必备欢迎下载y2y1y4. 解：将方程改写为

16、y '=x+ x （*）令 u= x , 得到 x y '=x u ' + u, 则(*) 变du为 xdx = 1 u ,变量分离并两边积分得arcsinu=lnu +lnC, 故方程的解为yarcsinx =lnCx。5. 解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=ln cosx +C 或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或 ctgx=0得 y=k(k=0 、 1 )，x=t+ 2 (t=0 、1) 也是方程的解。tgy=0或 ctgx=0 的解是 (*) 当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。x22226.

17、解：ydx-xdy-x(+ y )dx=0, 两边同除以 x+ y 得ydxxdyx12x1222xyxdx=0, 即 d(arctg y )2 d x=0, 故原方程的解为 arctg y2x =C。dv7解：因为 F=ma=m ，又 F=F12=k1tk2v，Fdtdvdvk2v (v(0)=0)即 mdt=k1t k2v (v(0)=0) ，即 dt =k1t，mk2 t k1k1 2m解得 v= k2em + k 2 (tk2 ).1x8 解：令 f(x)=y， f (x) = 0'f (t) dt，两边求导得y1=y，1'113 dy2y =y，即=dx，两边求积得

18、y即yy=2x+C，学习必备欢迎下载11从而 y=2xC ，故 f(x)=2 xC .9. 证明：如 M、N都是 n 次齐次函数，则因为xM+yM，+yN y，故有xyxMNy xMyNx xM yN =M y( xMyN ) M (xM yNy N y ) N x( xM yN) N (xM x M y N x)( xM yN )2( xM yN) 2M (x N xyN ) N (xM xyN y)=(xMyN )2M (nN )N (nM )=(xMyN) 2=0.故命题成立。10. 解：1）先找到一个特解 y= y 。2）令 y= y +z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为 y=

19、 y 为方程的解，d y2所以 dx =P(x)y +Q(x) y +R(x) (1)令 y= y +z，则有d ydz2dx + dx = P(x)( y z) +Q(x) ( y z) +R(x) (2)dzz2 ) +Q(x)z(2)(1) 得 dx = P(x) (2 yzdzy +Q(x)z+P(x)z2即 dx =2P(x)此为 n=2 的伯努利方程。学习必备欢迎下载常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程 , 它有积分因子 ()。、当（）时，方程 M ( x, y)dx N (x, y)dy 0 称为恰当方程，或称全微分方程。 、 函 数 f ( x, y) 称

20、 为 在 矩 形 域 上 关 于 y 满 足 利 普 希 兹 条 件 ， 如 果（）。、对毕卡逼近序列，k (x)k 1 (x)() 。、解线性方程的常用方法有（）。、若 X i (t )(i1,2, n) 为齐线性方程的 n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组 xA(t ) x （）。 、 若 (t )和(t)都 是 xA(t) x 的 基 解 矩 阵 ， 则(t) 和(t ) 具 有 关 系 ：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇

21、点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。 、 若 (t ) 是 xA(t )x 的 基 解 矩 阵， 则 xA(t) x f (t ) 满 足 x(t0 )的 解（）。二、计算题求下列方程的通解。学习必备欢迎下载dy4ey sin x1、 dx。y 21 ( dy ) 21、dx。dyxy 2、求方程 dx通过 (0,0) 的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、 xxx0。、 xxet 。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、dxx y ! , dyx y 5dtdt。三、证明题。、 、设(t )为方程x（为n n常数矩阵）的

22、标准基解矩阵（即(0)E)，Ax证明 (t )1 (t0 )(tt0 ) 其中 t0 为某一值。答案：一、填空题dyf ( x) g(x)1、形如 dxu的方程g ( y)MN、yx 、 存 在 常 数 >0 ， 对 于 所 有 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )R都有使得不等式f ( x1 , y1 ) f ( x2, y2 )L y1y2 成立、ML k1h kk!、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法学习必备欢迎下载nx(t)ci xi (t ), cn 是任意常数、i 1，其中 c1, c2、 n 个线性无关的解 x1 (t ), x2 (t ), x

23、n (t ) 称之为 xA(t )x 的一个基本解组、 (t ) (t ) c(at b) c 为非奇异常数矩阵、等于零稳定中心、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点(t)1 (t0 )t1 ( s) f (s)ds(t )、t0二、计算题de yey4 sin x 1、解：方程可化为 dxdz4sin xz令 z ey ，得 dx由一阶线性方程的求解公式，得( 1) dx( 1) dxc e x2(sin x cos x) exc 2(sin x cos x) ce xz e( 4sin xe) dx所以原方程为： ey 2(sin xcosx)c

24、e x、x 1 t s itdysin tpyset c解 ： 设 dx， 则 有， 从 而2gs t et dc ct s et cd t t t g c t( xc)22n，故方程的解为1 y ，另外 y1也是方程的解、解：0 ( x)0xx1x21(x)d x021 x21 x52(x)(x1 x 4 )dxx042201 x 41 x101 x7 dx3(x)x ( 1 x2 1x 5 )2 dxxxx02200440020学习必备欢迎下载1 x 21 x51x111 x82204400160、解：对应的特征方程为：21 0， 解 得131312i, 22i221 t3 t3 t )所

25、以方程的通解为：xe 2 (c1 cosc2 sin22、解：齐线性方程xx0 的特征方程为310 ，解得13i131311, 2,3et , e 2cosi ,e 2 sini2，故齐线性方程的基本解组为：22，因为1 是特征根，所以原方程有形如x(t ) t Aet，代入原方程得，13AetAtetAtetet， 所 以A，所以原方程的通解为3311x c etc e1c3e3t2 cosi2 sinite12223xy !0x3、解：xy 50解得 y2 所以奇点为（ 3,2)经变Xx3换， Yy3dxXYdt1111dyXY(1)210方程组化为dt110,1因为又 1所以 11i,21i ，故奇点为稳定焦点， 所对应的零解为渐近稳定的。三、证明题、证明：(t) 为方程 xAx 的基解矩阵1 (t0 ) 为一非奇异常数矩阵，所以(t )1 (t 0 ) 也是方程 xAx 的基解矩阵， 且(tt 0 ) 也是方程 xAx的基解矩阵，且都满足初始条件(t )1 (t0 )E ， (t0t0 )(0)E学习必备欢迎下载所以(t )1(t0 )(tt0