角函数形式的傅里叶级数课件

1、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数周期信号的复指数级数周期信号的复指数级数周期信号的功率特性周期信号的功率特性对称信号的傅里叶级数对称信号的傅里叶级数傅里叶有限级数傅里叶有限级数4.2傅立叶级数傅立叶级数傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论” 一书中一书中4.2傅立叶级数傅立叶级数傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个

2、最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和信号的加权和”傅里叶的第一个傅里叶的第一个主要论点主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点4.2傅立叶级数傅立叶级数周期信号与傅立叶级数周期信号与傅立叶级数 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：数： 三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosncosn 1 1t,sinnt,sinn 1 1tt 复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e

3、 e j n j n 1 1t t 4.2傅立叶级数傅立叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数112T)sincos()(1110tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 谐波分量n11n4.2傅立叶级数傅立叶级数100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流直流系数系数余弦分量余弦分量系数系数正弦分量正弦分量系数系数4.2傅立叶级数傅立叶级数狄利赫利条件：狄利赫利条件： 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期

4、内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件. dttfTtt. )(1004.2傅立叶级数傅立叶级数三角函数是正交函数三角函数是正交函数0.sin.cos11100dttmtnTtt)()(0sinsin001211nmnmtdtmtnTttT)()(0coscos001211nmnmtdtmtnTttT4.2傅立叶级数傅立叶级数周期信号的另一种三角函数正交集表示周期信号的另一种三角函数正交集表示)cos()(110nnntncctf)sin()(110nnntnddtf4.2傅立叶级数傅立叶级数几种系数之间

5、的关系几种系数之间的关系nnnnndcasincos000dca22nnnnbadcnnnbatgnnnabtgnnnnndcbcossin4.2傅立叶级数傅立叶级数 周期信号的频谱TtjnnntjnnnnnndtetfTFceFtftncctf11)(22)()cos()(110周期信号频谱：周期信号频谱的周期信号频谱的数学表达式4.2傅立叶级数傅立叶级数信号的频谱:振幅谱,相位谱.f(t)tT解:0na02nbsin2sin2202020tdtnEtdtnETbTTTnn2(n为奇数)(n为偶数为0)例例1 1：计算下图傅立叶级数和频谱计算下图傅立叶级数和频谱4.2傅立叶级数傅立叶级数tn

6、nEtfn0.5,3,1sin12)()2(2100220dteEdteETFtjTTtjnTn)1(1 2)cos1 (10nnjEnjnET2jenE(n为奇数)(n为偶数时为0)4.2傅立叶级数傅立叶级数单边谱和双边谱nc0n003E2nF0n00)0(2;,11nFcnnFFnnnnn单边幅度频谱的奇函数是相位谱的偶函数是双边幅度频谱4.2傅立叶级数傅立叶级数1单边频谱 若周期信号 的傅里叶展开式为：)(tf110)cos()(nnntncctf 则对应的幅度频谱 和相位频谱 称为单边频谱ncnnc1n015110124n1n01511021 （a）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱周期

7、信号的单边频谱4.2傅立叶级数傅立叶级数2 2双边频谱双边频谱 若 周期信号的傅里叶展开式为： )(tfntjnneFtf1)(njnTtjnneFdtetfTF01)(1nF1n0151101511012442双边幅度谱4.2傅立叶级数傅立叶级数周期复指数信号的频谱图的特点 引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和相位， 幅度谱和相位谱合一。4.2傅立叶级数傅立叶级数 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， 11n)(n11n0c1c2cC Cn n4.2傅立叶级数傅立叶

8、级数频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。频谱的每条谱线都只能出现在基波频率的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无限趋小，即频谱具有收敛性。离散性谐波性收敛性周期信号频谱特点周期信号频谱特点4.2傅立叶级数傅立叶级数二、周期信号的复指数级数二、周期信号的复指数级数 由前知由前知 由欧拉公式由欧拉公式 其中其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenFtf1)()(1)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0

9、(aF引入了负频率4.2傅立叶级数傅立叶级数指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数nFnF)(11001)(11TtttjnndtetfTF0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系4.2傅立叶级数傅立叶级数两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc422224.2傅立叶级数傅立叶级数周期复指数信号的频谱图周期复指数信号的频谱图 nnFnF1111n1n1n000-4.2傅立叶

10、级数傅立叶级数周期复指数信号频谱图的特点周期复指数信号频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；数学推导；lcn 是实函数，是实函数，Fn 一般是复函数，一般是复函数， Fn =(1/2)cn;l每个分量幅度分在对称的频率分量上；每个分量幅度分在对称的频率分量上；l 当当 Fn 是实函数时，可用是实函数时，可用Fn 的正负表示的正负表示0和和相位，相位， 幅度谱和相位谱合一；幅度谱和相位谱合一；4.2傅立叶级数傅立叶级数三、周期信号的功率特性三、周期信号的功率特性 P为周期信号的平均功率为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理符合帕斯瓦尔定理

11、100).(1)(212TttdttfTtfP12nnFP4.2傅立叶级数傅立叶级数四、对称信号的傅里叶级数四、对称信号的傅里叶级数 四种对称：四种对称： 偶函数偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数奇函数 ：f (t )= - f (-t) 半周期重叠对称：半周期重叠对称：f(t)=f(t T/2) 奇谐函数奇谐函数 ：半周期镜像对称：半周期镜像对称f(t)=-f(t T/2) 任意周期函数有：任意周期函数有： )sincos()(11101tnbtnaatfnnn偶函数项偶函数项 奇函数项奇函数项4.2傅立叶级数傅立叶级数周期偶函数只含直流和周期偶函数只含直流和 其中其中a是实数是实

12、数 bn=0 Fn是实数是实数tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(211TttndttntfTa2nnnaFFtjnnenFtf1)()(14.2傅立叶级数傅立叶级数例例2:周期三角函数是偶函数周期三角函数是偶函数.)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2t4.2傅立叶级数傅立叶级数周期奇函数只含正弦项周期奇函数只含正弦项tnbtfnn11sin)(1011.sin).(2TndttntfTb000naaFn为虚数jbFFnnn24.2傅立叶级数傅立叶级数例例3：周期锯齿波是奇函数周期锯齿波是奇函数.)3sin

13、312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t04.2傅立叶级数傅立叶级数半周期重叠对称半周期重叠对称l 半周期对称半周期对称l平移半个周期与原波形完全重合平移半个周期与原波形完全重合l 波形不变波形不变)2()(Ttftf4.2傅立叶级数傅立叶级数半周期重叠对称波形半周期重叠对称波形 实际周期为实际周期为T/2，实际角频率为，实际角频率为2 0，基波，基波和谐波频率均为和谐波频率均为 0的偶数倍，只有偶次谐的偶数倍，只有偶次谐波分量。波分量。0T/2-T/2A4.2傅立叶级数傅立叶级数半周期重叠对称的傅氏级数半周期重叠对称的傅氏级数, 3 , 1 0

14、, 4 , 2,cos)(4200nntdtntfTaTn, 3 , 1 0, 4 , 2,sin)(4200nntdtntfTbTn4.2傅立叶级数傅立叶级数奇谐函数奇谐函数 ：)2()(1Ttftfl沿时间轴移半个周期；沿时间轴移半个周期；l沿时间轴反转重合；沿时间轴反转重合；l 波形不变；波形不变；l半周期对称半周期对称4.2傅立叶级数傅立叶级数奇谐函数奇谐函数 的波形的波形：f(t)T1/2-T1/20t4.2傅立叶级数傅立叶级数奇谐函数的傅立叶级数奇谐函数的傅立叶级数 奇谐函数的偶次谐波的系数为奇谐函数的偶次谐波的系数为0dtttfTaT.cos)(4201111dtttfTbT.s

15、in)(4201111a20 , b202nnnjbaF4.2傅立叶级数傅立叶级数例例4：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量分量周期偶函数，奇谐函周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次数，只含基波和奇次谐波的余弦分量谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量次谐波的正弦分量4.2傅立叶级数傅立叶级数含有直流分量和正弦分含有直流分量和正弦分量量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余含有直流分量和余弦分量弦分量4.2傅立叶级数傅立叶级数五、傅里叶有限级数五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则如

16、果完全逼近，则 n= ;实际中，实际中，n=N, N是有限整数。是有限整数。如果如果 N愈接近愈接近 n ，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小若用若用2N1项逼近，则项逼近，则)sincos()(1110tbtaatSnNnnN4.2傅立叶级数傅立叶级数误差函数和均方误差误差函数和均方误差 误差函数误差函数 均方误差均方误差)()()(tStftNN)(21)()(222022nnNNbaatftE4.2傅立叶级数傅立叶级数例例5: 对称方波对称方波, 是偶函数且奇谐函数是偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项。只有奇次谐波的余弦项。2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(1511

17、3112ttttfEE/2-E/2T1/4-T1/4t4.2傅立叶级数傅立叶级数对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=2 N=32105.0EE )3cos31(cos2112ttES2202. 0EE )(cos212tES)5cos513cos31(cos21113tttES2301. 0EE -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立叶级数傅立叶级数有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如: N=11)11cos1115cos513cos31(

18、cos211119ttttES-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.814.2傅立叶级数傅立叶级数由以上可见由以上可见： N越大，越接近方波越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真波形将会失真 有吉伯斯现象发生有吉伯斯现象发生)(limtfSNN4.2傅立叶级数傅立叶级数典型周期信号的傅立叶级数典型

19、周期信号的傅立叶级数周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号4.2傅立叶级数傅立叶级数1. 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号22)2(0)2()(1ttEtf4.2傅立叶级数傅立叶级数ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSa4.2傅立叶级数傅立叶级数2.周期矩形脉冲的傅立叶级数周期矩形脉冲的傅立叶级数)cos()2(TE )cos()(2TE )2(TE )(11111111111111tnnSaEtnTn