计算方法的一般概念(3)课件

1、*)()(xxxxxExErbAx ni, 3 ,2)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx& 参考参考教材教材 (Text Book) 计算方法计算方法 邓建中邓建中 刘之行刘之行 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析数值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ） David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社（机械工业出版社) Numerical Analysis (Seventh Edi

2、tion) 数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社） 数值分析数值分析 李庆扬等李庆扬等 清华大学出版社清华大学出版社 数值分析数值分析 冯果忱等冯果忱等 高等教育出版社高等教育出版社学习方法学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题做一定量的习题5.注意与实际问题相联系注意与实际问题相联系iiijjijiilxlbx11nnn

3、nnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni, 3 ,2 3 误差 1 数值计算的研究对象与特点 2 数值问题与数值方法第1章 计算方法的一般概念本章要点:绝对误差(限)和相对误差(限)有效数字位数及其与误差的关系数值问题的性态与误差的关系数值算法设计原则以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:总体设计模型的细化详细设计主要为算法设计程序设计计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题，并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法 1 计算机数值方法的研究对象与特点数值问题：输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述即： 输入与输出的都是数值的数学问题

4、如求解线性方程组bAx 求解二次方程02cbxax是数值问题一、数值问题2 数值问题与数值算法求解微分方程0)0(32yxy不是数值问题xxy3,2函数但输出的不是数据而是输入的虽是数据将其变成数值问题，即将其“离散化”xxy32即将求函数nnxxxxyxyxy2121),(,),(),(改变成求函数值二、数值方法数值方法:是指解数值问题的在计算机上可执行的系列计算公式在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有:开方、极限、超越函数、微分、积分等等要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等

5、价运算xe超越函数应化为! 212nxxxenx的计算应化为的导数函数)()(xyxyhxyhxyxy)()()(如求根公式aacbbx2422,1应化为公式aacbsqrtbx2)4(22,1研究数值方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、及插值、拟合等问题寻找行之有效的数值方法三、数值算法数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确

6、算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程例1. 给出等差数列1,2,3,10000的求和算法解:0, 0. 1SN取记数器置零SNSNN,1. 2，否则转若2,10000. 3NSN,. 4 输出一、误差的种类及来源模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似

7、的,即有误差截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 3 误差过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.! 3! 2132xxxex! 7! 5! 3sin753xxxxx! 4! 3! 2)1ln(432xxxxx如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差Taylor展开舍入误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差14159265. 3414213562. 12 166666666. 061! 3

8、11415927. 34142136. 12 16666667. 0! 31数值计算中误差是难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是截断误差和舍入误差经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象.二、误差和误差限定义1. 称的一个近似值为为准确值设,*xxx*exx*,.x为近似值 的绝对误差 简称误差知道的往往是未知甚至是无法因为准确值 x*exx因此往往也无法求出*,exx而只能知道绝对值的某个上界 即*| |exx*x数值称为 的绝对误差限或误差限,定义2. 称的一个近似值为为准确值设,*xxx*rexxexx*.x为

9、近似值 的相对误差*rxxex的相对误差限为近似值*xrelativeerror*|rx绝对误差限相对误差限往往未知*rexxexx*|rx代替相对误差代替相对误差限例1.*2.718 281 82,2.718 28,.reee已知其近似值为求 的绝对误差限和相对误差限解:eeE*绝对误差82001000. 082001000. 0|E002000. 06102*62 10*|re28718. 2102628718. 2102661071. 0*r和并不是唯一的例2.,7 ,5 ,3求绝对误差限位数的近似值经四舍五入取小数点后若解:65592141. 359141. 3*142. 3*7592

10、141. 3*|*407000. 065002000. 004000000. 03105 . 05105 . 07105 . 0可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位有4位有效数字有6位有效数字三、有效数字定义3. .,*位有效数字有简称有效数字位时具有近似则称用位一位非零数字共有的第而该位数字到单位超过某一位数字的半个其绝对误差的绝对值不的近似值作为若nxnxxnxxx65592141. 359141. 3*142. 3*7592141. 3*有8位有效数字1415. 3*只有4位有效数字例3.求下列四舍五入近似值的有效数字个数.218.0*1x18002.0*2

11、x180.2*3x0.218*4x2*51018.2x6*51000218.0 x3个3个4个4个3个5个例4.个近似值有设395. 3x0 . 4*1x9 . 3*2x4*3x|*1xx |95. 30 . 4|05. 010.5 10|*2xx |95. 39 . 3|05. 0|*3xx |95. 34| 05. 0都具有两个有效数字即*2*1,xx?*3字吗也至少具有两个有效数x实际上只1有个10.5 1010.5 10例5.:1000效数字位数的下面两个近似值的有判断 x9 .999*1x1 .1000*2x3109999. 041010001. 0|*11xxE1 . 000.5

12、10|*22xxE1 . 0位有效数字有所以3*1x位有效数字却有而4*2x从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字00.5 10四、误差的传播与估计为二元函数设),(21xxfy ,21*2*1的近似值分别为xxxx的近似值为相应的 yy*),(*2*1*xxfy 即的绝对误差分别为*2*121,xxEE的绝对误差限分别为*2*121,xx的相对误差限分别为*2*1*2*1,xxrr的相对误差分别为*2*1*2*1,xxEErr2*22*222*22*11*2122*11*212)()()(! 21xxxfxxxxxxfxxxf),(

13、*2*1xxf2*21*1ExfExf),(21xxf),(*2*1xxf)()(*22*2*11*1xxxfxxxf的误差的关系的误差与考察*2*1*,xxy展开式为处的在点函数Taylorxxxxf),(),(*2*121)(*yE),(21xxf的绝对误差为*y),(*2*1xxf2*21*1ExfExf为的绝对误差限*y)(*yE2*21*1ExfExf2*21*1ExfExf2*21*1xfxf)(*yEyr的相对误差*)()(yyEyEr*2*2*1*1yExfyExf*22*2*2*11*1*1xExfyxxExfyx*2*2*2*1*1*1rrExfyxExfyx)(*yyr的

14、相对误差限)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx)(*yr)(*yE2*21*1xfxf2*21*1ExfExf*2*2*2*1*1*1rrExfyxExfyx)(*yEr*2*2*2*1*1*1rrxfyxxfyx)(*yr绝对误差增长因子相对误差增长因子思考:试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律数据误差影响的估计数据误差影响的估计( )yf x xx dyxyy dxy1.421 1 13.50.4yx 2111.41 10.4(1 1.4)21yx五、数值方法的稳定性与算法设计原则例7.101dxexeIxnn计算定积分0,1,2,7n 解:nI101xndexe1

15、01xnexe101dxexenxn11nnI,0I如果先计算721,III然后再计算,*00II 的近似值为假设计算出)(*0IE误差为)(*1*11IEII的误差为的近似值则2)(*2*22IEII的误差为的近似值! 3)(*3*33IEII的误差为的近似值! 7)(*7*77IEII的误差为的近似值5040误差放大 5千倍!nIInn11但如果利用递推公式,7I先计算!570千分之一误差的的误差只有II因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则1. 四则运算中的稳定性问题(1) 防止大数吃小数这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算11nnnII公式nIIn

16、n11公式误差会放大误差不会放大4012. 04697. 04896. 04987. 01234. 01041234. 01044697. 0 ,4896. 0 ,4987. 01234. 0104吃了将小数大数而如果将小数放在前面计算1234. 0104012. 04697. 04896. 04987. 041236. 0104在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.(2) 作减法时应避免相近数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失01. 0cos1510999958. 4xcos12sin22x201. 0sin22510999958333. 4由于在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、有理化等等(3) 避免小数作除数和大数作乘数由误差传播的估