函数的连续性.

1、 2.5 函数的连续性函数的连续性宜良二中宜良二中 陈东陈东nnnn11 lim=0nq|1q=-12 limq = 1q=10-1q1(3)limC=CC、几类常见数列极限的求法：常数（ ）当 无限增大时，分母无限增大不存在 |或（ ） （ 为常数）一、承前启后，复习回顾nnnnnfn4 limfngngnfngn0fngn5a-1aa（ ）（ ）的存在性：若 （ ）的最高次数（ ）等于 （ ）的最高次数，则结果为最高次数比；若 （ ）的最高次数小于 （ ）的最高次数，则结果为 ；若 （ ）的最高次数大于 （ ）的最高次数，则极限不存在。（ ）若数列 不是常数列且极限存在，则数列 （ ） 的

2、极限与数列 极限相等。n1123nn11nnnaaqq 1,S=a +a +a +a +a 1-qaS=limS =lim=1-q1-q2、若无穷等比数列 的首项为 ，公比为 且 则把称为这个无穷等比数列的和；并且可知：（）fxx 3、函数 （ ）当时的极限1fxlim fxlim fx2lim fxlim fxlimfxlim fxlim fxlimfxxxxxxxxx（ ）先结合函数 （ ）的图象讨论（ ）及（ ）存在性；（ ）若（ ）及（ ）存在且值相等则（ ）的值也与之相等；若（ ）及（ ）存在但不相等或有一个不存在，则（ ）也不存在。( )limx( )0 xf xg x 的求解（分

3、式函数当自变量时的极限）其实质是“”型极限的求解；通常是分子分母同时除以变量的最高次数后再结合极限的四则运算法则求解；若分子的最高次数等于分母的最高次数，则结果为最高次数之比；若分子的最高次数小于分母的最高次数，则结果为 ；若分子的最高次数大于分母的最高次数，则结果不存在（极限不存在）。000 x00 x0fxxlim fx1xfxlim fx =fx2xfxfxfx)xx函数 （ ）在点处的极限（ ）的求解：（ ）一般地，若是连续函数 （ ）定义域内的取值，则：（ ） （ ）（ ）若把代入函数 （ ）的解析式时函数 （ ）无意义，则要先把函数 （ ）的解析式变形后再代入求极限（通常的变形方法

4、有：通分、约分、因式分解 。0fxxx4、函数 （ ）当时的极限5、数列极限的四则运算法则：、数列极限的四则运算法则： 如果：如果： aannlimbbnnlim那么：那么： babannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn注：注：1）可推广到有限个数列的极限运算；）可推广到有限个数列的极限运算； 2）由此可得：）由此可得： ， 。kknnaa)(limCaaCnn）（limbaxgxfxgxfbaxgxfxgxfxxxxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim000000bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果如

5、果，那么那么).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx 函数极限运算法则函数极限运算法则时”“0 xx6注意：把注意：把xx0换为换为x，极限的运，极限的运算法则仍然成立。算法则仍然成立。7123、几个需要注意的问题：（ ）若一个数列有无穷多项相加要求和的极限时要先求后再求极限，不能直接用运算法则求极限。（ ）运用运算法则求极限的前提是极限要存在。（ ）分段函数求分点处的极限应该先求单侧极限，通过判断单侧极限的存在性、是否相等来确定分段函数的极限。一种是连续一种是连续变化的情况变化的情况温度计另一种是间断的或跳跃的另一种是间断的或跳跃的 例如邮寄信件时的

6、邮费随邮例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。究函数连续与不连续的问题。4080120160 x克克y分分生活中的两种生活中的两种变化形式变化形式:二、观察分析，获取新知1、函数在某一点处的连续性、函数在某一点处的连续性如图：从直观上看，我们说一个函数在一点如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=xx=x0 0处连续是指这个处连续是指这个函数的图象在函数的图象在x=xx=x0 0处没有中断，所以以上图象处没有中断，所以以上图象(1) (1) 在点在点x x0 0处是连续处是连续

7、的的, ,而图象而图象(2)(3)(4)(2)(3)(4)在在x=xx=x0 0处是不连续的。处是不连续的。判 断 函 数 在 某 点 是 否 连 续 的 方 法 之 一 ：看 图 像 在 此 点 处 是 否 连 接 在 一 起 。oxy12) 1( 111)(2 xxxxxf.1处处没没有有定定义义在在 x 221)(xxxf11xx12oxy2.5（1）在）在x=1处有定义处有定义（2）5 . 2)(lim1 xfx2)(lim1 xfx（3） 不存在。不存在。)(lim1xfxyxo12 5 .01)(xxf11 xx（1）在）在x=1处有定义；处有定义；（2）函数在）函数在x=1处的左

8、右极限处的左右极限相等，即函数在相等，即函数在x=1处的极限存处的极限存在，且等于在，且等于2，但不等于，但不等于f（1）导致函数图象断开的原因：导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义2、函数在函数在 时极限不存在时极限不存在3 3、函数在、函数在 处的极限值和处的极限值和函数值不等函数值不等1x1lim( )20.5(1)xf xf1x 1x 一般地，函数一般地，函数f（x）在点）在点x0处连续处连续必须同时具备必须同时具备三个三个条件：条件：1、 存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。)(0 xf2、 存在。存在。)(lim0 xfxx3、 )()

9、(lim00 xfxfxxox0 xy定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处及其附近有定处及其附近有定义义，而且，而且 则称函数则称函数f(xf(x) )在在点点x=x0处连续，处连续，称称x x0 0为为函数函数f(xf(x) )的连续点的连续点. .)()(lim00 xfxfxx 例例 讨论下列函数在给定点处的连续性：讨论下列函数在给定点处的连续性：. 0,sin)()2( ;0,1)()1( xxxhxxxf点点点点解：结合图象可知解：结合图象可知:（1）函数）函数 在点在点x=0处没有定义，因而它在处没有定义，因而它在 点点x=0处不连续。处不连续。xxf1

10、)( （2）因为）因为, 0sin0sinlim0 xx.0sin)(处处连连续续在在点点 xxxh例如，函数例如，函数y=1+x2在闭区间在闭区间-1，1上连续，而函数上连续，而函数y=1/x在开区间（在开区间（0，1）内连续，在闭区间）内连续，在闭区间0，1上不连续，因上不连续，因为它在左端点为它在左端点x=0处不存在右极限。处不存在右极限。(2)(2)、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数f(xf(x) )在开区间在开区间(a,b(a,b) )内连续，在左端点内连续，在左端点x=ax=a处有处有 ，在右端点在右端点x=bx=b处有处有 ，就说函数，就说函数f(xf(x) )在在

11、闭区间闭区间a,ba,b 上连续。上连续。)()(limafxfax )()(limbfxfbx 2、函数的连续性：、函数的连续性：(1)(1)、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果f(xf(x) )在某一开区间在某一开区间(a,b(a,b) )内内每一点处都连续，就说函数每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（）在开区间（a，b）内连续，或说内连续，或说f（x）是开区间（）是开区间（a，b）内的连续函数）内的连续函数.3 3、闭区间上连续函数的性质：、闭区间上连续函数的性质：ox2x1baxy)(1xf)(2xf从几何直观上看，闭区间从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续曲线上的一条连

12、续曲线,必必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意意 ，这时我们说闭区间，这时我们说闭区间a,b上的连续函数上的连续函数f（x）在点）在点x1处有最大值处有最大值f（x1),在点在点x2处有最小值处有最小值f（x2）。）。 )()(),()(,21xfxfxfxfbax 性质性质1 1 最大值最小值定理：最大值最小值定理： 如果如果f f（x x）是闭区间）是闭区间aa，bb上的连续函数，那么上的连续函数，那么f f（x x）在闭区间）在闭区间aa，bb上有最大值和最小值。上有最大值和最小值。注注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上

13、取得。函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数如函数 在点在点x=1处有处有最大值最大值1,在在点点x=-1处有最小值处有最小值-1.)1 , 1()( xxxf 若令若令h(x)=f(x)+g(x),因为函数因为函数f(x)、g(x)在在x=x0处连处连续，所以函数续，所以函数h(x)在在x=x0处有定义处有定义,而且而且:)()()()(lim)(lim)()(lim)(lim0000000 xhxgxfxgxfxgxfxhxxxxxxxx 性质性质2 如果函数如果函数f(x)、g(x)在某一点在某一点x=x0处连续，那么处连续，那么函数函数 在点在点x0处都连处都连续。续。),(

14、)(xgxf ),()(xgxf )0)( ,)()( xgxgxf4、初等函数的连续性：、初等函数的连续性： 我们以前学习了许多初等函数我们以前学习了许多初等函数(幂函数、指数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等对数函数、三角函数等) ，由它们的图象可以看出，这些，由它们的图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值,它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质性质2，我，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义

15、域内仍是连续的。例如：二次函数数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数y=ax2+bx+c可以看作是由常数可以看作是由常数a乘以幂函数乘以幂函数x2的积，加上的积，加上常数常数b乘以幂函数乘以幂函数x的积，再加上常数的积，再加上常数c而得到的而得到的,它在其定它在其定义域内每一点都是连续的。义域内每一点都是连续的。 从而初等函数在其定义域内每一点的极限值就等于这一从而初等函数在其定义域内每一点的极限值就等于这一点的函数值，也就是说对初等函数而言，求极限就是求函点的函数值，也就是说对初等函数而言，求极限就是求函数值，使极限运算大大简化。数值，使极限运算大大简化。例例1:讨论下列函数在给定点或区间

16、上的连续性讨论下列函数在给定点或区间上的连续性:;20,22)()2( ;0,)0(1)0(11)()1(211，区区间间点点 xxxxfxxxeexfxx, 111lim, 0lim,1,0)1(11010 xxxxxeeexx时时当当解解：, 111lim11lim110110 xxxxxxeeee而而从而从而f(x)在在x=0处极限不存在处极限不存在,因此因此f(x)在在x=0不连不连续续.三、典型例题，理解新知221(2)( )(2),21xf xxxxx 故故f(x)在在x=2处无定义处无定义,从而从而f(x)在在x=2处不连续处不连续,因此因此f(x)在在0,2上不连续上不连续.事

17、实上事实上f(x)在在0,2)内是连续的内是连续的.说明说明1:考察分段函数在分界处的极限考察分段函数在分界处的极限,一般要分左、右极一般要分左、右极限进行讨论来确定限进行讨论来确定,判断函数在某点处的连续性判断函数在某点处的连续性,一般按这一般按这样的顺序样的顺序:一看定义一看定义,二看极限二看极限(注意左、右极限注意左、右极限),三看函数三看函数值值(观察在观察在x0处极限是否等于处极限是否等于f(x0).2:对于分式函数对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个要注意如果分子、分母约去一个或几个因式后因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数所得函数与原函数是否是同一个函数.延伸：设

18、延伸：设 问怎样选择实数问怎样选择实数a,能使能使f(x)在在R上是连续的上是连续的.,0( ),0 xa xxf xex, 1lim)(lim,)(lim)(lim0000 xxxxxexfaxaxf解解：.0)(),0()(lim)(lim)(lim,1,)0(000处处连连续续在在从从而而时时当当又又 xxffxfxfxfaafxxx.)(,0)(显显然然连连续续的的其其他他任任何何值值时时在在又又xfxxf .),()(,1上上是是连连续续的的在在时时因因此此，当当 xfa练习练习1:已知已知 ,试判断试判断f(x)在点在点x=0,x=1, x=2处是否连续处是否连续.210( )1

19、0222xf xxxxx .0)(),0()(lim, 1)0(, 1)1(lim)(lim, 1)1(lim)(lim020000处处连连续续在在即即而而解解： xxffxffxxfxfxxxxx同理同理f(x)在在x=1处连续处连续;处处不不连连续续。在在故故而而2)(, 4)(lim, 3)(lim22 xxfxfxfxx说明说明:此题也可以通过图象来判断此题也可以通过图象来判断.例例2:已知函数已知函数 ,判断此函数在定义域内是判断此函数在定义域内是 否连续否连续,若不连续若不连续,请求出其不连续点请求出其不连续点.( )lim1nnnxf xx解解:;01lim)(,1| nnnxx

20、xfx时时当当;)(,1lim,1不不存存在在不不存存在在时时当当xfxxxnnn ;21)(,211lim,1 xfxxxnnn时时当当. 1)(, 11)1(1lim1lim,1| xfxxxxnnnnn时时当当.)11( 1)1(21)11(0)( xxxxxf或或因此因此,f(x)的定义域为的定义域为)., 1()1,( 函数函数f(x)在在x=-1及及x=1处不连续处不连续.这是由于这是由于,当当x=-1时时,f(x)无意义无意义;而而x=1时时.)(lim, 0)(lim, 1)(lim111不不存存在在xfxfxfxxx 1:极限思想极限思想:利用极限思想把一个几何直观上的利用极

21、限思想把一个几何直观上的“连续连续” 抽象概括为一个纯数学概念抽象概括为一个纯数学概念连续连续,这样做既准确有入微这样做既准确有入微,还能进一步发展有关命题还能进一步发展有关命题.2:判断函数在某点判断函数在某点x0处连续的方法处连续的方法:第一步判断第一步判断x0是属是属 于定义域于定义域,第二步证明第二步证明 .)()(lim00 xfxfxx 3:判断函数在某点判断函数在某点x0处不连续的方法处不连续的方法:只要证明下列情只要证明下列情 况之一况之一,即可判断函数在某点即可判断函数在某点x0处不连续处不连续.至至少少有有一一个个不不存存在在。与与；的的定定义义域域；不不属属于于)(lim)(lim)5();(lim)(lim)4()()(lim)3();()(lim)2()()1(000000000 xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxx 四、归纳小结，形成方法4:若函数若函数y=f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,则必存在最大值则必存在最大值 和最小值和最小值;若若f(x)在在a,b上单调递增上单调递增,则则f(x)max=f(b), f(x)min=f(a);若若f(x)在在a,b上单调递减上单