任意角的三角函数(第一课时)

1、复习回顾复习回顾 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？OabMPcsinc o sta nacbcab2 、为了方便我们以什么工具来研究角的？、为了方便我们以什么工具来研究角的？新课引入新课引入思考思考1 1：我们把锐角我们把锐角放到直角坐标系中，即使角放到直角坐标系中，即使角的顶点与原点的顶点与原点O O重合重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合. . 在角在角的终边上取一点的终边上取一点P P（a，b b）, ,设点设点P P与原点与原点的距离为的距离为r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分别如的值

2、分别如何表示？何表示？ybaP,oxbaP,oyxM22:barOPbMPaOM其中rbOPMPsinraOPOMcosabOMMPtan思考思考2 2：对于确定的角对于确定的角， 如果改变点如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？在终边上的位置，这三个比值会改变吗？为什么？为什么？PMsinMPOP cosOMOPtanMPOM OM P OMPMPOPOMOPMPOMMOyxP(a,b)思考思考3 3：为了使为了使sinsin，coscos的表示式更简的表示式更简单，你认为点单，你认为点P P的位置选在何处最好？此时，的位置选在何处最好？此时，sinsin，coscos分别等于什么？

3、分别等于什么？x xy yo oP(P(a，b b) )1 1sinbcosatanba，则若1 rOP以原点为圆心以原点为圆心, ,以单位长度为半径的圆叫以单位长度为半径的圆叫做单位圆做单位圆.P.P点就是角点就是角 的终边与单位圆的终边与单位圆的交点，锐角三角函数可以用单位圆上的交点，锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示点的坐标表示yoP),(bax1Msinbcosatanba0 , 1AOyxyxP ,任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 讲授新课讲授新课设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记

4、作 即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，记作 即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，记作 即 。 xytanxytan)0(x我们将它们统称为三角函数我们将它们统称为三角函数例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改为改为 呢呢? 356771sin62 73cos623367tan， xyoAB35 例例2 已知角已知角 的终边经

5、过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P5)4()3(220OP 解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ),(yxP400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 和和 0PP00M PxMP4, 30P0MOyxMyxP , 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离),(

6、yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.P定义推广：定义推广：练一练：练一练： (1)已知角已知角的终边过点的终边过点P(2a，- -3a)（a小小于于 零），求零），求的正弦、余弦、正切的正弦、余弦、正切. (2)已知角已知角600的终边上有一点的终边上有一点P(- -4，a)，求求a的值的值.思考思考4 4：1、三角函数是不是函数？2 、如果

7、是，那么函数有三要素，分别是什么？三角函数是以什么为自变量，以什么为函数值的函数？3 、它们的定义域分别是什么？ 1.正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，的坐标或坐标的比值为函数值的函数，三角函数三角函数定义域定义域3.使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.sincostanRR)(2Zkk 2. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量，以实数为函数值的函数三角函数可以看成

8、是以实数为自变量，以实数为函数值的函数.思考思考5：三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号（ ）（ ） （ ）xyosin（ ）（ ） （ ） （ ）xyocos（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）xyotan 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角.0tan 0sin 证明：证明： 因为式因为式 成立成立,所以角所以角 的终边可能位于第三的终边可能位于第三 或第四象限，或第四象限，也可能位于也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；0sin 又因为式又因为式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于第一或第

9、三象限的终边可能位于第一或第三象限. 0tan 因为式都成立，所以角因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 2500250cos（2）因为）因为 而而 是是 第一象限角，所以第一象限角，所以 tan( 672 ) 48tan)360248tan(0)672tan(48 （3）因为）因为 是第四象限角，

10、所以是第四象限角，所以 404sin练一练：练一练：(3)若若是第二象限角，则函数值是第二象限角，则函数值sin(cos) cos(sin)是是 号号.（1） 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号516cos)34sin()817tan(2(2)若角若角是第二象限角，且是第二象限角，且则则 是第是第 象限角；象限角；|cos|cos,22 思考思考6 6：如果角如果角与与的终边相同，的终边相同，那么那么sinsin与与sinsin有什么关系？有什么关系？coscos与与coscos有什么关系？有什么关系？tantan与与tantan有有什么关系？什么关系？结论结论: :终边相同的角

11、的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .思考7：如何将这个性质用一组数学公式表达？如何将这个性质用一组数学公式表达？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 思考思考8 8：在求任意角的三角函数值时，在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？上述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求可将求任意角的三角函数值，转化为求0 0 （或（或0 0360360) )范围内的三角函数范围内的三角函数值值. . 例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2）49cos)611tan( 解：解： （1） 224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）本课小结本课小结1. 内容总结：内容总结： 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在