图形的相似知识点总结及练习

1、图形的相似知识点总结及练习相似三角形基本知识点总结及练习 知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得ab、cd的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是ab:cdm：n例：已知线段ab=2.5m,线段cd=400cm，求线段ab与cd的比。2.比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6c

2、m,求线段d的长度。（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立例：已知5.合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。用符号语言表

3、示：ad/be/cf,abbc=deef,bcac=efdf,abac=dedf 2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。 （1） 是“a”字型（2） 是“8”字型 经常考，关键在于找几何语言：由debc可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.例：如图，在四边形abcd中，ad/bc,ef/bc,aggc=23，则dfdc=_。知识点三：相似形多边形1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这

4、两个多边形相似。（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。例1：下列判断正确的是（ ）a.两个矩形一定相似 。 b.两个平行四边形一定相似。c.两个正方形一定相似。 d.两个菱形一定相似。例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出报纸的长与宽的比吗？知识点四：黄金分割(1) 定义：在线段ab上，点c把线段ab分成两条线段ac和bc，如果，即ac2=ab×bc，那么称线段ab被点c黄金分割，点c叫做线段ab的黄金分割点，ac与

5、ab的比叫做黄金比。所以：0.618。 例：已知线段ab=10cm,点c是ab的 黄金分割点，且acbc ，求ac和bc的长。(2）黄金分割的几何作图：已知：线段ab.求作：点c使c是线段ab的黄金分割点.作法：过点b作bdab，使bd=12ab；连结ad，在da上截取de=db；在ab上截取ac=ae，则点c就是所求作的线段ab的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于5-12例：如图，abc中，a=36°，ab=ac，bd是角

6、平分线(1)求证：ad2=cd·ac；(2)若ac=a，求ad 知识点五：相似三角形1、 相似三角形（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如abc与def相似，记作abc def。相似比为k。（4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角

7、形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.三角形相似的判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)几何语言：在abc和def中如果<a=<d,<b=<e，那么abcdef判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。几何语言：（如上图）在abc和def f中如果<a=<d,且abde=acdf，那么abcdef判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。几何语言：（如上图）在abc和def中如果abde=acdf=bcef，那么abcdef例1：如图，（1）若_,则abcaef；（2）若e_，则abcaef

8、。直角三角形相似判定定理:.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 3.补充：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：cd²=ad·bd， ac²=ad·ab，bc²=bd·ba（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.例：如图，在rtabc中，acb=90°，cdab于d，(1)求证：ac2=ad·ab；bc2=bd·ba；(2)求证：cd2=ad·ad；(3)求证：ac·bc=ab

9、·cd4.相似图形中常见的基本图形：5.相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例. 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比). 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根任意两个相似多边形的周长比都等于相似比，面积比都等于相似比的平方。例1：已知abcdef，bd和eg是它们的对应中线，acdf=35，eg=10cm，求bd的长。例2：如果两个相似三角形的面积比为16:25，那么这两个相似三角形对应边的比是_。例3：如图，在abc中，点d、e分别是ab和ac上的点，de/bc,ad=3bd,sa

10、bc=48求sade相似的应用：位似（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）。位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。位似图形是特殊的相似图形，所以它

11、具有相似图形的一切性质。画位似图形的一般步骤： （1）确定位似中心（位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形 上）（2）确定原图形的关键点（通常是多边形的顶点）（3）确定位似比 （4）根据位似比，找出新图形的关键点，最后将各点顺次连接。坐标变换与图形的关系：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k（k0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，他们的相似比为k。例1：下列说法中正确的有（ ）（1）位似多边形一定是相似多边形。（2）相似多边形一定是位似多边形（3）两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为23，则两个多边形的面积之比为49。（4）两

12、个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。例2：若abc与def关于点o位似，其位似比是1:2，ao=5，则对应点a、之间的距离是 。例3：在平面直角坐标系中，已知a(6，3)、b(6，0)两点，以坐标原点o为位似中心，相似比为13，把线段ab缩短后得到线段a1b1，则a1b1，的长度等于 。历年中考试题练习一、选择题1、如图1,已知ad与bc相交于点o,ab/cd,如果b=40°,d=30°,则aoc的大小为（ ）a.60° b.70° c.80° d.120°bacdeabcdo图12、如图，已知d、e分别是的ab、 ac边上的

13、点，且 那么等于（ ） a1 : 9 b1 : 3 c1 : 8 d1 : 3、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ） abcd 第3题图 第4题图4、如上图，直角梯形abcd中，bcd90°，adbc，bccd，e为梯形内一点，且bec90°，将bec绕c点旋转90°使bc与dc重合，得到dcf，连ef交cd于m已知bc5，cf3，则dm:mc的值为 （）a.5:3 b.3:5 c.4:3 d.3:45、如图，在中，、分别是、边的中点，若，则等于（ ） a5 b4 第5题 a b c d e ac3 d26、已知，相似比为

14、3，且的周长为18，则的周长为（ ）a2b3c6d547、如图,rtabc中,abac,ab=3,ac=4,p是bc边上一点,作peab于e,pdac于d,设bp=x,则pd+pe=（ ）a. b. c. d. 8、 如图，在rtabc内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）a、 b、 c、 d、ehfgcba9、如图，abc是等边三角形，被一平行于bc的矩形所截，ab被截成三等分，则图中阴影部分的面积是abc的面积的 （ ） 10、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）（第10题）abcd二、填空题1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时， 第3

15、题图2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 3、如图，在rtabc中，c为直角，cdab于点d,bc=3,ab=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 . 4、两个相似三角形的面积比s1:s2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 5、如图4，已知abbd，edbd，c是线段bd的中点，且acce，ed=1，bd=4，那么ab= 第9题图图9、如图，要测量a、b两点间距离，在o点打桩，取oa的中点 c，ob的中点d，测得cd=30米，则ab=_米 11、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为_ _米 三、解答题1、如图，在abc中，bc>ac， 点d在bc上，且dcac,acb的平分线cf交ad于f，点e是ab的中点，连结ef.（1）求证：efbc.（2）若四边形bdfe的面积为6，求abd的面积. 2、如图，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg,ae与cg相交于点m，cg与ad