习题答案二维随机变量及其概率分布

1、第三章二维随机变量及其概率分布习题一一、(1)于任意实数x, y，有0乞F (x, y) <1lim F (x, y) =0,x .(2) F(x,y)对x, y分别是单调不减的；(3) 对于任意实数x, y有 F(：，y)二F (x,n) = lim F (x, y) =0,yF（：,：）xlimF(x,y1y > :F(一-二)lim F(x, y) = 0,x_y-(4) F (x, y)对任意x, y分别是右连续的；(5) 对任意xi x2, y1乞y2有F(X2,y2)- F(Xi,y2)- F(X2, % ) Fg yj _ 0,二、FX (x)二 P(X 一 x)二

2、P(X 一 x,Y 一 ：)= F (x, ：) = lim F (x, y)yj-bcFY(x) = P(丫 乞 x) = P(X 二血,Y 乞 y) = F ( ：, y) = lim F (x, y) xj-hc习题二匕0123P0. 250. 250. 250. 25012345P0. 030. 090. 150. 210. 240. 28随机变量与不独立.二、解：X的取值为1, 2, 3, Y的取值为2, 3, 4,故（X,Y）的联合分布率为x'Y、234P.116161612201616133001616Pj1613121151、解：由一 1得 c= 61212301130

3、-12160001/31/125/1200Pj7/121/31/12习题三卫-1I ?24-：-：1 x1、解：因为.二二p(x, y)dxdy = ：0dx 0 cy(1 - x)dy = c 0(1 - x)所以c=24;pX(x)=m)dT24y(严0 _ x _ 1其它r2x2(1-x)00 _ x _1 ；其它 ；p丫(y) = J：p(x,y)dx=Jy24y(1 -x)dx0岂y_其它一12y(1_y)=q00乞y乞1其它二、解：（1）be -beLoLc p(x,y)dxdy=0 1 +x2:dy1 1 y20 (1二 2Ax2)(1y2)dxdyF(x,y)二 P(X 乞 x

4、,丫 空 y)二y二 p(u,v)dudvx 0,y0f arctanxarctany其它二2y0Fx(x)界()a如xx 00x _02丄°FyW) =F( ：, y)二arcta ny y 0 ji0_0.5x三、解：（1） Fx（x）二F（x,：）pmF(x,y)x _ 0其它，FyW)y _o其它(2)p(x, y)二；：2f.:x.:y0.25。皿(5)0x _ 0,y _ 0其它Px（X）二4=cJP(x, y)dy-_0.5x0.5e0x _0其它pY(y) = FY(y)= <0.5eJ5y0y _ o其它(3)P(X _0.1,Y _0.1)二be -be梟p

5、(x,y)dxdy = e四、解：（1）区域D的面积为2 2x_x2S(D)二 0 0 dxdy =从而 p(x,y)= “40乞X岂2, 0乞y岂2x x20其它(2) Px(x)二 Hp(x, y)dy 二2x 丄2 3dy 0xE240其它弓(2x-x2)00乞x乞2其它0兰y兰1 =其它身斤刁0兰y兰1 卫其它2x_x2 P(X _Y)二 p(x,y)dxdy 二x d习题五一、解：习题1 , 2, 3都不独立.二、解：习题1 , 4不独立；习题2, 3独立.三、解：Px(X)1 20 f a PY(y)其它p(x,y)二 Px(x)pY(y)二0 x ： 2, y _ 0其它(1)

6、P( -仁：x :：: 1,0 :：: Y :：: 2) = P(-仁：X :：: 1) P(0 :：: Y :：: 2)。11dx0ed“1（1e，）；(2) P(X Y 1)=P(Y .1 _X) =1 _P(Y 乞1 _X)11_x 11亠0dx0产细亠区习题六、解：X,Y均为离散型随机变量，（X,Y）是二维随机变量，且kkP(X Y =k)二為 P(X =i)P(Y =k-i)aQkk =0,1,2,i =0i=0、解:P(x)0 ： ： x : 1其它p(x,y) = p(x)p(y)j 0cxc1,0<yc1：0其它Z 的分布函数为 FZ(z)=P(X Yz)： I l p(

7、x, y)dxdyxy戈当 z 乞0, F(z) -0;当z 2, F(z) =1ZZ*12当 0 ： z 辽1, F(z) = 0 dx 0 dy =子1112当 1：z 乞2, F(z)=1 - dx p(x, y)dy =1-一(2 z)2 z) “2z 0 ： x _ 1故 p(z) =F (z) =<2 z 1 ex 兰20 其它2Zy3xdxdy 0 ： z _ 1三、解:F(z)= p(x,y)dxdy =x4y <z0 y1 x1 - dx 3xdy 1 ： z 乞 2z _xJ 2c z0 ： z : 12-)0 乞 z ： 24其它9 2 -z83Pu =F (

8、z) = ：(10复习题一、1. （a）2. （c）3. （d）4解：（X,Y）关于X,Y的边缘分布律分别为X012Pi1/15+p1/5+q1/2Y-11Pj4/15+p1/2+p由因为X与Y相互独立的充分必要条件为对于一切i, j都有P Pj = Rj，解得 p - 10, q = 15 本题选(b).5.（ a）6.（d）7解：（X,Y）关于X的边缘概率密度1/ 1- dvPx(x) = Jf (x,y)dy =< 匕12 兀0|x|E1f1-x2, |x P1=< JI|X|>1 io|x| 1类似地，关于Y的边缘概率密度为PY(y)(x,y)dx0|y|叮|y| 1

9、但 Px(x)PY(y)二2 . (1 - X)(1 - f) n0|x|乞 1,|y| 乞 1-f (x, y)其它0所以X与Y不独立，选(c).& Paxmb,Y : c = F(b, c-0)-F (a-0,c-0)(b) Px : a,Y :：: b二 F(a 0,b -0)(c) P0 : Y : b二 F( ：,b 0) F( ：,0)(d) Px _a,Y : b = F( ：,b0) F(a0,b 0)、解：(X,Y)的所有可能取之为(i, j)(i, j =0,1,2,3,4,5,i pi 5)由于抽取是有放回的，各次抽取相互独立，再一次抽取中的概率为P=(紂(紆(訝

10、亠(i门5)对于取定的i,j，以上这样的事件出现的总数为i j5!C5C5I = (i, j =0,1,2,3,4,5,i + j 兰5)i! j!(5 -i - j)!因X二i二5次独立重复试验中，事件A恰好出现I次，则X B(5,磊)，故P(X 二 i) =C5(w)i(w)5，(0,1, 2, 3,4, 5)类似地，关于Y地边缘分布律为PY = j =C?(紆保)5-j，(j =0,1, 2,3, 4, 5)即 YB(5,£)三、解：(1)当 x<0 或 x>0 时，fX(X)=0当0 _ x _ 1时2fx (x) = . (x2 1 xy)dy = 2x2 3

11、x所以 f X (x)= <：22x02 x 0 _ x _ 1其它当y<o或y>2时,fY(y) -0；当0乞y乞2时fY(y)13 xy)dx所以fY(y)0 _ y _2其它注意到f(2,2) =3,fx(；)fY(；) = 7A f(2,2)、0故X域Y不独立.(2) PX Y _ 1=1 20dx匚(X2 吃 xy)dy=453二 R3(x,y)=沽(2_ XiA x2宀22I。其它x2四、(1) 1=(x,y)dxdy 二 C(R - . x2 y2)dxdy =:fly2 1(2 )当 R=2 时,2 2 1是 P(x y五、由题中的条件知(X,Y)的联合概率密度为:de 0x 0, y 0其它F(x,y)二 Fx(x)FyW)r,.-3x、_-4x、-(1 e )(1 e )x