频域稳定性判据

1、4.4 频域稳定性判据频域稳定性判据奈氏判据奈氏判据对数判据对数判据稳定性裕量稳定性裕量4.4.1 奈氏判据奈氏判据(1)奈氏稳定判据奈氏稳定判据n奈氏曲线逆时针包围奈氏曲线逆时针包围(-1(-1，jOjO) )点的圈数点的圈数N N等于开环传递函数在右半等于开环传递函数在右半ss平面的极点平面的极点数数P PR R，则系统稳定。，则系统稳定。n如果开环系统稳定，即如果开环系统稳定，即P PR R=0=0，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围，则闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围(-1(-1，j0)j0)点，即点，即N=0N=0。如果。如果N N不等于不等于0 0，则闭环系统不稳定。右

2、半，则闭环系统不稳定。右半ss平面不稳定闭环极点平面不稳定闭环极点数数Z ZR R可由下式求出，即可由下式求出，即 ZR=PR-N 为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率为简单起见，使用奈氏判据时，一般只画出频率从从0 0变化到变化到时的开环幅相频率时的开环幅相频率特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为特性曲线即可，这时奈氏判据表达式可改写为 ZR=PR-2N4.4.1 奈氏判据奈氏判据(2)应用奈氏稳定判据注意事项应用奈氏稳定判据注意事项n要仔细确定开环右极点的数目要仔细确定开环右极点的数目P PR R，特别注意，虚轴上的开环极点要按左极点处理。，特别注意，虚轴上的开环极点要按左极点处

3、理。n要仔细确定开环奈氏曲线围绕点要仔细确定开环奈氏曲线围绕点(-l(-l，j0)j0)的圈数的圈数N N。n当开当开环传递环传递函数含有函数含有积积分分环节环节1/s(1/s(即含有落在原点的极点即含有落在原点的极点) )时时，其开，其开环环奈氏曲奈氏曲线线不和不和实轴实轴封封闭闭，难难于于说说明明在零附近在零附近变变化化时时的奈氏曲的奈氏曲线线的的变变化，以及它化，以及它们们是否包是否包围围了了临临界点界点(-1(-1，j0)j0)，如如图图中中实线实线所示所示。为为此此，可以作可以作辅辅助助圆圆( (如如图图中虚中虚线线所示所示) )，这这就很容易看出就很容易看出图图中曲中曲线线是否包是

4、否包围临围临界点界点(-1(-1，j j0)0)。辅辅助助圆圆的作法是以无的作法是以无穷穷大大为为半径，从半径，从G(j0)H(j0)G(j0)H(j0)端端实实轴轴起起顺时针补顺时针补画无画无穷穷大大半径半径9090圆弧至圆弧至G(0G(0+ +)H(0)H(0+ +) )。 4.4.1 奈氏判据奈氏判据(3)“穿越穿越”概念概念n确定开环奈氏曲线围绕点确定开环奈氏曲线围绕点(-l(-l，j0)j0)的圈数的圈数N N在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰在频率特性曲线比较复杂时，不易清晰地看出，为此引出地看出，为此引出“穿越穿越”的概念。的概念。n“穿越穿越”，即奈氏曲线，即奈氏曲线G(j)H

5、(j)G(j)H(j)穿过点穿过点(-1(-1，jOjO) )左边的实轴左边的实轴(-1(-1，-)-)。若奈。若奈氏曲线由上而下穿过点氏曲线由上而下穿过点(-1(-1，j0)j0)左边的实轴时，称左边的实轴时，称“正穿越正穿越”( (相角增大相角增大) )，用，用N N+ +表示；若奈氏曲线由下而上穿越时，称表示；若奈氏曲线由下而上穿越时，称“负穿越负穿越”( (相角减小相角减小) )，用，用N N- -表示。穿过表示。穿过点点(-l(-l，j0)j0)左边实轴一次，则穿越数为左边实轴一次，则穿越数为1 1，若奈氏曲线始于，若奈氏曲线始于( (图图5 5，5a)5a)或止于或止于( (图图5

6、 5 5b)5b)点点(-1(-1，jOjO) )以左的实轴以左的实轴(-1(-1，-)-)上，则穿越数为上，则穿越数为l/2l/2。n正穿越一次，对应着奈氏曲线正穿越一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)G(j)H(j)绕点绕点(-1(-1，jOjO) )转动转动+2+2角度；负穿越角度；负穿越一次，对应着奈氏曲线一次，对应着奈氏曲线G(j)H(j)G(j)H(j)绕点绕点(-1(-1，jOjO) )转动转动-2-2角度。角度。n据此，奈氏判据可改写成：当据此，奈氏判据可改写成：当从从0 0变化到变化到时，若开环幅相频率特性曲线时，若开环幅相频率特性曲线G(j)H(j)G(j)H(j)，在点，

7、在点(-1(-1，j0)j0)以左以左实轴实轴上的正穿越次数减去上的正穿越次数减去负负穿越次数等穿越次数等于于P PR R/2/2(N(N+ +-N-N- -= = P PR R/2)/2)，则闭环稳定，则闭环稳定，否，否则不稳定。则不稳定。 开环奈氏图不和实轴封闭开环奈氏图不和实轴封闭例题例题4.4四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图四个单位负反馈系统的开环幅相频率特性如图a ad d所示。并已知各系统开环不稳定特征根的所示。并已知各系统开环不稳定特征根的个数个数P PR R，试判别各闭环系统的稳定性。，试判别各闭环系统的稳定性。解：解：图图a a、b b两个系统的开环幅相特性曲线不包围

8、两个系统的开环幅相特性曲线不包围(-1(-1，j0)j0)点，且又知两个系统的点，且又知两个系统的P PR R=0=0。故由奈。故由奈氏判据判定氏判据判定(Z(ZR R =O) =O)，图，图a a、b b系统的闭环稳定。系统的闭环稳定。 图图c c系统系统N=-1N=-1，P PR R=0=0，Z ZR R=P=PR R-2N=2-2N=2，故由奈氏判，故由奈氏判据可判定据可判定(Z(ZR R0)0)，其闭环系统不稳定。，其闭环系统不稳定。 图图d系统系统N=1，PR=2，ZR=PR-2N=2-2=0，故由，故由奈氏判据可知，闭环稳定。奈氏判据可知，闭环稳定。由此例可见，系统开环稳定，但各部

9、件以及受由此例可见，系统开环稳定，但各部件以及受控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环控对象的参数匹配不当，很可能保证不了闭环的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控的稳定性；而开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。制装置，完全能调试出稳定的闻环系统。 例题例题4.4若系统的开环传递函数若系统的开环传递函数为为 ，试用奈氏判据，试用奈氏判据判别其闭环系统的稳定性。判别其闭环系统的稳定性。解：画出开环系统幅相频率特性图，如图解：画出开环系统幅相频率特性图，如图所示。所示。 由图可知，由图可知，N=-1。 而由而由G(s)H(s)表达式可知，表达式可知，PR=0。根据。

10、根据奈氏判据有奈氏判据有 ZR=PR-2N=0-2(-1)=2 所以系统不稳定。所以系统不稳定。 1125 . 4ssssHsG4.4.2 对数判据对数判据(1)概念概念n幅值穿越频率：幅值穿越频率：对对数幅数幅频频特性曲特性曲线线L()L()和横和横轴轴相相交的交的交点处的频率称为交点处的频率称为幅值穿越幅值穿越频率频率。n相位穿越频率：相位穿越频率：对对数数相相频频特性曲特性曲线线()()和和-180-180线交点处的频率称为相位线交点处的频率称为相位穿越穿越频率频率。4.4.2 对数判据对数判据(2)对数稳定判据对数稳定判据n对开环稳定的系统，在对开环稳定的系统，在从从0 0变化到变化到

11、+时，在时，在L()0L()0的区间，若相角的区间，若相角()()不不穿越穿越-180-180线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。线，则系统稳定，如图所示，否则，系统不稳定。n对开环不稳定的系统对开环不稳定的系统(P(PR R0)0)，在，在从从0 0变化到变化到+时，在时，在L()0L()0的区间，若相频的区间，若相频特性曲线特性曲线()()在在-180-180线上正负穿越次数之差为线上正负穿越次数之差为P PR R/2(N/2(N+ +-N-N- -= P= PR R/2)/2)，则系统稳，则系统稳定，否则系统不稳定。定，否则系统不稳定。例题例题4.5图图a a所描述的系所描述的系

12、统统，开，开环环不不稳稳定定(P(PR R=2)=2)，在在L()0L()0时时，()()曲曲线线 N N+ +-N-N- -=1-2=-lP=1-2=-lPR R/2/2，故知，故知闭环闭环不不稳稳定。定。图图b b所示系所示系统统，开，开环环不不稳稳定定(P(PR R=2)=2)，在，在L()0L()0时时，()()曲曲线线 N N+ +-N-N- -=2-1=l=P=2-1=l=PR R/2/2，故知，故知闭环稳闭环稳定。定。图图c c所示系所示系统统，开，开环稳环稳定定(P(PR R=0=0) )，在，在L(m)0L(m)0的区的区间间，()()曲曲线线 N N+ +-N-N- -=l

13、-1=0=P=l-1=0=PR R/2 /2 ，故知闭环稳定。，故知闭环稳定。 4.4.3 稳定性裕量稳定性裕量(1)在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳在设计一个控制系统时，不仅要求系统是稳定的，而且要求系统距临界点有一定的稳定性储备，即具备适当的相对稳定性。定性储备，即具备适当的相对稳定性。事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点事实上线性系统的临界稳定是不存在的，非但如此，即使系统处于稳定区域的临界点附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于：附近，实际系统也可能是不稳定的，其原因在于：n建立数学模型时，忽略了次要因

14、素。建立数学模型时，忽略了次要因素。n列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。列写元件运动方程时，采用了线性化的方法。n系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。系统参数如质量、惯量、阻力、放大系数、时间常数、容积模数等难于精确获得。n若用实验方法建立数学模型，因仪器精度、数据处理、实验方法等方面的原因造成的误差。若用实验方法建立数学模型，因仪器精度、数据处理、实验方法等方面的原因造成的误差。n在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。在控制系统工作中有些参数如液体容积模数、温度等发生了变化。由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是

15、必要的，这样才能保由此可见，使系统工作在距离临界稳定有一定程度的稳定储备是必要的，这样才能保证系统实际上的稳定性是可靠的。证系统实际上的稳定性是可靠的。从奈氏判据可知，当从奈氏判据可知，当P PR R=0=0，开，开环环奈氏曲奈氏曲线线离离临临界点界点(-1(-1，j0)j0)越越远远，则闭环稳则闭环稳定性越好定性越好，稳稳定定储备储备越大，反之越差。它通越大，反之越差。它通过过开开环环奈氏曲奈氏曲线对临线对临界点的靠界点的靠近程度近程度来来表征，定量表表征，定量表示为相角储备和幅值储备。示为相角储备和幅值储备。 4.4.3 稳定性裕量稳定性裕量(2)相角储备相角储备n如图如图a所示，开环稳定

16、的奈氏图上，奈所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与单位圆的交点氏曲线与单位圆的交点C与原点与原点O的连的连线与负实轴的夹角线与负实轴的夹角称为相角储备。称为相角储备。n相角储备表明在幅值穿越频率相角储备表明在幅值穿越频率c上，使上，使系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞系统达到不稳定边缘所需的附加相位滞后量。后量。n =180+(c) n若若0(图图a、b)，则系统稳定；若，则系统稳定；若0(图图c、d)，则系统不稳定。，则系统不稳定。n越小，稳定性越差，一般取越小，稳定性越差，一般取=3060为宜。若为宜。若过大，则系统灵敏度降过大，则系统灵敏度降低。低。 4.4.3 稳定性裕量稳定性裕量(3

17、)幅值储备幅值储备Kgn如图如图a所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲所示，开环稳定的奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值储备。n幅值储备表明在相角穿越频率幅值储备表明在相角穿越频率g上，使系统上，使系统达到不稳定边缘所需的附加幅值量达到不稳定边缘所需的附加幅值量,即即 以分贝表示时，以分贝表示时，n若若|G(j)H(j)|0dB，则系统，则系统稳定；否则稳定；否则Kg(dB)6dB，即即Kg2。 jHjGKg1 jHjGKKgglg20lg204.4.3 稳定性裕量稳定性裕量(4)采用稳定储备作为设计准则的注意事项采用稳定储备作为设计准则的注

18、意事项n稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线稳定储备在奈氏图上，是开环奈氏曲线G(j)H(j)对临界点对临界点(-l，j0)靠近程度的度量，因此仅靠近程度的度量，因此仅用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对稳定性，必须两者同时给出。用相角储备或幅值储备皆不足以说明系统的相对稳定性，必须两者同时给出。n对开环稳定的系统而言，当对开环稳定的系统而言，当G(j)H(j)曲线不包围临界点曲线不包围临界点(-1，j0)，亦即其相角储备，亦即其相角储备和幅值储和幅值储备备Kg(dB)为正值，系统稳定。为正值，系统稳定。n对开环不稳定的系统而言，只有当对开环不稳定的系统而言，只有当G(j)H(j)曲线包围

19、临界点曲线包围临界点(-1，j0)时系统才有可能稳定，时系统才有可能稳定，故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离故这类系统，若闭环稳定，其幅值储备和相角储备可能为正值，也可能为负值，这要选取离(-1，j0)点最近的储备值。点最近的储备值。n对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备对最小相位系统而言，其开环相角和幅值有一定的对应关系，要求相角储备=3060，即意味着在幅值穿越频率即意味着在幅值穿越频率c处，对数幅值曲线处，对数幅值曲线L()的斜率应大于的斜率应大于-40dB/dec，通常要求为，通常要求为-20dB/dec，如果

20、此处斜率为，如果此处斜率为-40dB/dec，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在，则即使系统能够稳定，相角储备也偏小。如果在c处处的对数幅值曲线斜率降至的对数幅值曲线斜率降至-60dB/dec，系统就不稳定了。由此可见，一般，系统就不稳定了。由此可见，一般I型系统稳定性好，型系统稳定性好，型系统稳定性较差，型系统稳定性较差，型及其以上系统就难于稳定了。型及其以上系统就难于稳定了。 4.4.3 稳定性裕量稳定性裕量(5)影响系统稳定性的主要因素影响系统稳定性的主要因素n系统开环增益（放大系数）系统开环增益（放大系数）w由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角

21、储备，由奈氏判据或对数判据可知，降低系统开环增益，可增加系统的幅值储备和相角储备，从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。从而提高系统的相对稳定性。这是提高相对稳定性的煨简便方法。n积分环节积分环节w由系统的相对稳定性要求可知，由系统的相对稳定性要求可知，型系统型系统(1(1个积分环节个积分环节) )的稳定性好，的稳定性好，型系统稳定性较型系统稳定性较差，差，型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过型以上系统就难于稳定。因此，开环系统含有积分环节的数目一般不能超过2 2。n系统固有频率和阻尼比系统固有频率和阻尼比 w在开环增益确定的条件下，系统固有频

22、率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能在开环增益确定的条件下，系统固有频率越高、阻尼比越大，则系统稳定性储备便可能越大，系统的相对稳定性会越好。越大，系统的相对稳定性会越好。 n延时环节和非最小相位环节延时环节和非最小相位环节w延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，延时环节和非最小相位环节会给系统带来相位滞后，从而减小相角储备，降低稳定性，因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。因而应尽量避免延时环节或使其延时时间尽量最小，尽量避免非最小相位环节出现。例题例题4.6设控制系统的开环传递函数为设控制系统的开环传递函数为 ，试求当，试求当k=10和和k=100时的相角储备时的相角储备和幅值储备和幅值储备Kg(dB)，并判断系统的