流固耦合响应中插值方法的研究

1、第25卷第S期 振动与冲击 Journal of Vibration and Shock Vol.25.No.S.2006 984-987流固耦合响应中插值方法的研究李维 李敏 皮懋宁(北京航空航天大学固体力学研究所 北京 100083)摘 要：在流固耦合分析中,插值方法主要用于流体和结构网格上各种参数的转化。本文对几种常用的插值方法进行研究,分析各种方法的适用范围及其优缺点,并对插值方法的发展提出了意见。关键词：插值，相交界面，流固耦合STUDY OF SURFACE INTERPOLATION METHODS IN CFD/CSD COUPLINGABSTRACT：In the analy

2、sis of fluid and structure simulation, interpolation methods are mainly used in the exchange of data between fluid and structure meshes. This paper discussed the advantages and disadvantages of several methods, and gave out some opinions about the development of interpolation methods.KEYWORDS：fluid

3、and structure simulation, interface,interpolation引 言流固耦合力学是流体力学与固体力学交叉而生成的一门力学分支，它的研究对象是固体在流场作用下的各种行为以及固体变形或运动对流场影响。流固耦合力学的重要特征是两相介质之间的交互作用(fluidsolid interaction)：固体在流体动载荷作用下会产生变形或运动, 而固体的变形或运动又反过来影响流场,从而改变流体载荷的分布和大小。 在流固耦合力学的分析中，流体计算关注与固体结构所接触表面周围的流动区域，而固体计算则关心作用在固体表面的载荷以及载荷对结构内部所造成的影响。因此，进行网格划分时，

4、固体结构和流体结构的网格密度将会不同，从而导致划分后的网格不能完全重合。此外，即使最初的网格划分一致，随着交互作用的不断变化，也不能保证相交界面上流体网格和固体网格完全重合，这就要求在计算中对流、固交界面上的参数进行转换。插值是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续函数通过全部给定的离散数据点。利用它可通过函数在有限点处的取值状况，估算出其他点处的近似值。因此，可通过该方法对流、固交界面上不同网格结点处的参数进行转换。本文将对流固耦合计算中常用的几种插值方法进行研究。1、 插值方法的发展上世纪五十年代，针对静气动弹性计算中所涉及的柔度影响系数矩阵，Alfred F. Schmitt提出了

5、基于最小二乘曲线拟合的插值法1在1964年，DONE G.T.S.提出了以两端铰支均质梁弯曲变形理论为基础的线样条插值法，并将它运用于平面问题的插值计算3。由于线样条插值法在每次的计算中要求插值结点位于同一条直线上，为解决这个问题，Robert L. Harder和Robert N. Desmarais提出了以无限大均质板弯曲变形理论为基础的平面样条插值法，又称为 (IPS) 2。利用这种方法进行计算时，插值结点可以任意分布，并且有较高的精度5。但是，IPS方法的外插精度低，在对大曲率变形进行插值时存在很大的误差。为了提高计算精度，在随后的研究中又提出了很多插值方法，例如Kari Appa.提

6、出的有限表面插值法Finite-Surface Splines(FSS) 3由Hardy R. L.提出的多重二次曲面双调和法 (MQ) 4，由Mutri V.和Valliappan S.提出的等参逆变换插值法 (IIM) 5，用于CAD等工业设计软件中的非均匀B样条插值 (NUBS)6等。下面将对常用的平面插值方法(IPS、FSS、MQ、IIM、NUBS)进行介绍，并对其优缺点进行分析。2、 插值方法研究假设流、固交界面上固体网格结点处的位移向量为，载荷向量为，流体网格结点处的位移向量为，载荷向量为，通过插值可得: (1)其中矩阵为插值矩阵。根据虚功原理可知： (2)将(1)(2)式合并之后

7、可得： (3)通过以上的步骤可将求解不同网格上参数的问题转化为求解插值矩阵问题。下面将对几种常用的插值方法进行分析：2.1 无限平板样条插值法(IPS) 无限平板样条插值法以只承受弯曲、无限大均质板的弯曲变形为基础，通过求解板的控制微分方程，并进行线性叠加来得到板的垂直位移：其中表示点的垂直位移，为插值结点的个数，为作用在点上的未知集中载荷，和为待定系数，是单位宽度板的弯曲刚度；， 。采用无限平板样条进行计算时，插值结点可以任意分布，但是至少要有三个不共线的已知位移点用来确定插值平面。插值函数处处可微，且在远离已知点处的插值结果近似为线性。该方法在对存在大曲率的平面进行插值时，精度较低，文献5

8、中提出可以通过将集中载荷转化为均布载荷来减小误差。2.2 有限表面插值法(FSS)有限表面插值法利用一系列三角形或者四边形等截面弯曲板单元来虚拟一个平面，用来代替所给定的插值平面，并规定该平面通过所有给定的插值结点。由于这些已知条件需要通过单元的变形来满足，因此在计算中应该选取合适的形函数，并最终利用这些形函数所建立出的虚拟平面将结构点和气动力点联系起来。其控制方程为：其中，表示单元内部任意一点处的方向位移以及沿，方向的转角，是形函数，是该点所在单元的位移及转角。采用有限表面样条进行计算时，虚拟面上的结点可以不与结构点或者气动点重合，但虚拟面上结点的数目不大于结构点的数目。利用该方法进行计算时

9、，能够方便的模拟固体结构和流体模型的不断变化，同时该方法也可以推广到三维的曲面计算。2.3 多重二次曲面双调和方法(MQ)多重二次曲面法是用来描绘不规则曲面的一种插值技术，经常用于地形学的插值计算中。此方法利用以二次函数为基函数所建立的曲面来描述整个对象，其中最常用的是圆形双叶双曲线。由于描述该方法的控制方程恒有解，因此又称该方法是双调和的。其控制方程为：其中是位置的变形，是待定系数，是在计算中给定的常数。多重二次曲面法控制方程中的常数用来控制基函数所描述的形状：当很大时，基函数所描述的是较为平坦的外形；而当较小时，基函数所描述的则是近似圆锥的外形。对于任意的值，插值方法都是相容和稳定的。而当

10、不为0时，多重二次曲面法可以构造出一个能够保持单调性和凹凸性的无限可微函数。采用多重二次曲面法进行计算时，已知位移点的数目不受限制，但为了保证计算的精度，要求至少有三个已知位移点。此外，可通过以下方法改善计算精度：允许基函数中值发生变化；在插值范围较大时，应对变量进行比例上的缩放；可以将区域进行重叠计算。2.4等参元逆变换插值法(IIM)等参单元的核心是坐标变换，即把整体坐标系中的不规则单元用局部坐标中的规则单元来表示，使单元描述归于统一的格式，从而简化整个的分析过程。逆变换是指从局部坐标系转换到整体坐标系下的变换。IIM方法利用等参单元在对坐标和位移向量进行插值时采用相同形函数这一特性，建立

11、插值过程，提高计算精度。三维等参元中的坐标变换为：，方向相同。其中为等参元的形函数，为单元结点的坐标，为单元结点的数目。等参元逆变换方法是一个一对一的映射，即从一个局部坐标到一个整体坐标，或者是从局部变形曲面到整体变形曲面，而且可以通过这种方法的逆变换实现从整体到局部的推导。在逆变换的过程中会引入非线性方程组，它可通过迭代的方法进行求解。等参元逆变换方法只能用于二维曲面的插值，而且只适用于内插。当所要求的插值点位于已知区域之外时，需要建立虚拟的网格来将所求点包括在内，然后通过已有的线性、二次或者三次样条外插得到所需结果，所得结果精度要比内插的精度低。2.5非均匀B样条插值法(NUBS)样条函数

12、常常用来描述三维空间中的曲线，由此可以建立一个包含两个样条函数的向量来描述三维空间中的一个曲面。针对气动弹性中的插值计算，文献11提出采用B样条多项式对曲面进行混合计算。用来描述平面的样条函数向量为：其中表示任意点处的曲面变形，为待定系数，用来保证插值函数在控制点处的值与给定的数据吻合，而与分别是描述和方向变形的样条函数。非均匀B样条插值法要求必须有四条已知曲线和四个已知数据点，而且允许已知点部分重合。对于在计算中由于退化而不能保证连续性的点，该方法会保证该点处的平滑过渡，也就是说该方法保证数据点的连续性。此外，对网格进行比例缩放时会造成数据点的偏差，甚至于丢失。以上的插值方法在运用的过程中都

13、会有一定的限制条件(表1)，针对不同的插值对象其精度也不同。通过研究发现，MQ方法精度较高，且适用的范围较广，但是对于存在间断面的结构，各种插值方法的精度均存在问题。表1、插值方法使用中的限制条件插值方法限制条件IPS至少有三个以上不重合的已知点FSS虚拟面上结点的数目不大于结构点的数目MQ不限制已知点的数目，但为描述插值曲面至少需要三个已知点IIM只能用于二维内插NUBS必须有四条曲线和四个不重合的已知点3、插值方法的展望目前，插值方法已经在流固耦合响应中得到了广泛应用，并取得了很多的成果。但每一种方法都不是万能的，对于不同的对象应该选取合适的插值方法，以得到最好的计算结果。此外，对于以下方面还有待提高：i、 现有的插值方法针对的主要是以梁和板单元所构造的模型，对于以壳单元构造的模型插值精度较低；ii、 三维的流固耦合问题中，流体单位划分为三维网格，而固体单元划分为二维网格，这将导致网格的不匹配，从而造成插值结果精度较低；iii、 对类似机翼-操纵面这种有明显间断面的结构进行插值时，精度较低。参考文献 1 施密特，阿尔弗雷德楼甲最小二乘矩阵插值的灵活性影响系数，期刊航空科学。1956,10月 ，第二卷，23页。2和德马雷，采用表面样条插值，美国航空航天研究所杂志， 1972年，第2期第二卷，189-191页。3