理论力学9—运动学综合举例

1、运动学综合举例例例1 半径半径r = 1m的轮子的轮子, 沿水平直线轨道纯滚动沿水平直线轨道纯滚动, 轮心具有匀加速度轮心具有匀加速度aC = 0.5 m/s2, 借助于铰接在轮借助于铰接在轮缘缘A点上的滑块点上的滑块, 带动杆带动杆OB绕垂直图面的轴绕垂直图面的轴O转转动动, 在初瞬时在初瞬时(t = 0)轮处于静止状态轮处于静止状态, 当当t = 3s时机时机构的位置如图。试求杆构的位置如图。试求杆OB在此瞬时的角速度和在此瞬时的角速度和角加速度。角加速度。 解解: 当当t=3s时时, 轮心轮心C的速度的速度0.5 31.5m sCCva t 轮子作平面运动轮子作平面运动, 瞬心在瞬心在D

2、点点, 则则23m sACvvrCOABvAvCaC45DvevrvA(va)23m sACvvrCOABvAvCaC45D取滑块取滑块A为动点为动点, 动系取在动系取在OB杆上杆上, 动点的速度动点的速度合成矢量图如图所示。合成矢量图如图所示。vevrvA(va)3 2cos45m s2eravvv3rad s4eOBvOA2 2mOA r = 1m轮作平面运动轮作平面运动, 取取C为基点为基点, 则则A点的加速度点的加速度tnACACACaaaa根据牵连运动为转动的加速度合成定理根据牵连运动为转动的加速度合成定理, 动点动点A的绝对加速度为的绝对加速度为tnaeerckaaaaarCOAB

3、aC45DaCa tACa nACackara tea ne于是可得于是可得tnntCACACeerckaaaaaaatACCara2n222.25m sCACCvaACr2922 m s4ckOBrav其中其中3 2m s2ervv3rad s4eOBvOA取如图的投影轴取如图的投影轴, 由以上加速度合成矢量式由以上加速度合成矢量式, 将将各矢量投影到各矢量投影到y 轴上得轴上得tnt()cos45CACACeckaaaaa ttn22()0.88m s2eckCACACaaaaarCOABaC45DaCa tACa nACackara tea ne于是于是, 杆杆OB的角加速度为的角加速度

4、为t20.880.31rad s2 2eOBaOA转向逆时针。转向逆时针。y例例2 图示平面机构图示平面机构, 滑块滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆滑动。杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接铰接, BD杆可沿水平导轨运杆可沿水平导轨运动。滑块动。滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动。图示沿铅直导轨向上运动。图示瞬时杆瞬时杆OA铅直铅直, 且与杆且与杆BE夹角为夹角为45, 求该瞬时求该瞬时杆杆OA的角速度与角加速度。的角速度与角加速度。 解：分析机构：解：分析机构：EOBAD45llvBvO点是点是BE的速度瞬心的速度瞬心EBEvvOElBEvvvBEOB作定轴转动作定轴转动BD作平动作平

5、动BE作平面运动作平面运动EOBAD45llvBvBEvl取滑块取滑块B为动点为动点, 动系与动系与OA杆固连杆固连, 由速度合成由速度合成定理定理aervvvvevreOAvvOBlaeBEvvlv在水平轴上投影在水平轴上投影在铅直轴上投影在铅直轴上投影r0v OA角速度角速度BEvaOAEOBAD45llv,BEOAvvll加速度分析加速度分析ntBEBEBEaaaaaBBEOA取取E点为基点分析点为基点分析B点的加速度点的加速度anBEatBE0Ean222( )22BEBEvaBEllvl2n/cos452BBEvaal EOBADllv2r,0,2BEOABvvllvvalaBBEO

6、Aane取滑块取滑块B为动点为动点, 动系与动系与OA杆固连杆固连, 分析滑块分析滑块B的的加速度加速度ateaaarntaeerCaaaaaCr20OAav2n2eOAvaOAl在在BD上投影上投影2tea2vaalt2e22OAavOBlOAaABACBEDvBaBvAq例例3 如图所示平面机构如图所示平面机构, AC杆铅直运动杆铅直运动, BD杆杆水平运动水平运动, A为铰链为铰链, 滑块滑块B可沿槽杆可沿槽杆AE中的直中的直槽滑动。图示瞬时槽滑动。图示瞬时, AB=60 mm 求该瞬时槽杆求该瞬时槽杆AE的角的角速度及角加速度。速度及角加速度。2210 3 mm/s10 3 mm/s5

7、0mm/s10 mm/s30AABBvavaqBACBEDvBvAq1. 求槽杆求槽杆AE的角速度。的角速度。 解解:本题为平面运动和点的复合运动综合问题。本题为平面运动和点的复合运动综合问题。动点滑块动点滑块B ,动系动系固连于槽杆固连于槽杆AE。va(vB)vrvAvBAaervvv式中式中va=vB, vr方向沿方向沿AE, 大小未知大小未知ve=vB为槽杆上与为槽杆上与B重合的重合的B点的点的速度速度, 大小和方向均未知。大小和方向均未知。再对作平面运动的槽杆再对作平面运动的槽杆AE , 以以A为基点为基点, 有有BAB AvvvBACBEDvBvAqva(vB)vrvAvBAaerv

8、vvva=vB, ve=vBBAB AvvvrBAB A vvvv将上式分别投影到将上式分别投影到vBA及及vr方向方向, 有有联合可得联合可得rcos60cos30BAvvv30 3 mm/sB Avr10 mm /sv 故槽杆故槽杆AE的角速度为的角速度为cos 30cos 60BAB Avvv 30.866 rad/s2B AAEvABAEBACBEDaBaAaa(aB)araAanBAaCatBA2. 求槽杆求槽杆AE的角加速度。的角加速度。aerCaaaa2Cr210 317.32 mm/sAEav再分析槽杆再分析槽杆AE , 以以A为基点为基点, B点的加速度点的加速度n2245

9、mm/s BAAEaABtnBAB AB Aaaaa动点滑块动点滑块B, 动系动系固连于槽杆固连于槽杆AE。AEBACBEDaa(aB)araAanBAaCatBAaerCaaaatnBAB AB AaaaaAEtnrCBAB AB Aaaaaaa投影到投影到atBA方向方向, 得得故槽杆故槽杆AE的角加速度的角加速度Ct30sin30cosaaaaABABt217.32 mm/s B Aat20.289rad/s BAAEaAB（逆时针）（逆时针）例例4 图示平面机构图示平面机构, 杆杆O1B和和OC的长度均为的长度均为r, 等等边三角形边三角形ABC的边长为的边长为2r, 三个顶点分别与杆

10、三个顶点分别与杆O1B、OC及套筒铰接及套筒铰接, 直角折杆直角折杆EDF穿过套筒穿过套筒A, 其其DF段置于水平槽内。在图示瞬时段置于水平槽内。在图示瞬时, O1B杆水平杆水平, B、C、O三点在同一铅垂线上三点在同一铅垂线上, 杆杆OC的角速度为的角速度为 0, 角加速度为零。试求此瞬时杆角加速度为零。试求此瞬时杆EDF的速度和的速度和加速度。加速度。0O1OCBAEDF0O1OCBAEDFvCvBC*vevavr解：三角板作平面解：三角板作平面运动运动, 在图示瞬时瞬在图示瞬时瞬心心C*和和B点重合。点重合。于是于是vB=0, 三角板的三角板的角速度为角速度为0012CvOCCCCB以滑

11、块以滑块A为动点为动点, 动系取在折杆上动系取在折杆上, 速度分析如图速度分析如图:ea0sin30sin300.5vvABr所以所以e00.5EDFvvrABC的边长为2rA020.5vrO1OCBAEDFaCaC三角板作平面运动三角板作平面运动, 以以C为基点为基点, 分析分析B点的加点的加速度如图所示。速度如图所示。tntnBBCBCBCaaaaa将各矢量向水平方向投影得将各矢量向水平方向投影得ntBBCaa2tn0BBCBvaar t0BCaBCanBCatBCatBanBO1OCBEDFaCaC再以再以C点为基点点为基点, 分析分析A点的加速度点的加速度, 有有tnACACACaaa

12、a将各矢量向水平方向投影得将各矢量向水平方向投影得anACAatACaear由牵连运动为平动的由牵连运动为平动的加速度合成定理有加速度合成定理有aerAaaaatnesin30cos30ACACaaat20ACarn220212ACarr于是可得于是可得tnerCACACaaaaan2e03cos304ACaar 即为折杆的加速度即为折杆的加速度习题分析习题分析1 图示曲柄连杆机构带动摇杆图示曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕绕O1轴摆动。在连杆轴摆动。在连杆AB上装有两个滑块，滑块上装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动，而滑块在水平槽内滑动，而滑块D则在摇杆则在摇杆O1C 的槽的槽内滑动。已知：曲柄

13、长内滑动。已知：曲柄长OA = 50mm，绕，绕O轴转轴转动的匀角速度动的匀角速度 = 10rad/s。在图示位置时，曲。在图示位置时，曲柄与水平线间成柄与水平线间成90角，角，OAB=60，摇杆与水，摇杆与水平线间成平线间成60角；距离角；距离O1D = 70mm。求摇杆的。求摇杆的角速度和角加速度。角速度和角加速度。(习题习题 9-23 )提示：这是刚体平面运动和点的合成运动的综合提示：这是刚体平面运动和点的合成运动的综合应用题。先分析杆应用题。先分析杆ABD（此瞬时作瞬时平移），（此瞬时作瞬时平移），求出杆上点求出杆上点D（即滑块）的速度和加速度；再以（即滑块）的速度和加速度；再以滑块滑

14、块 D为动点，动系固结于摇杆为动点，动系固结于摇杆 O1C，利用点的，利用点的合成运动理论求出牵连速度和牵连切向加速度，合成运动理论求出牵连速度和牵连切向加速度，由此即可求得摇杆的角速度和角加速度。由此即可求得摇杆的角速度和角加速度。解：解：（1）速度分析）速度分析杆杆ABD作瞬时平移，有作瞬时平移，有OAvvADm/s5 . 0Av选取动点：选取动点：reDavvvv)(大小大小方向方向0.5 O1D/O1D?60cosarvv m/s25. 0DOve111（）BvDvrvev滑块 D0AD 动系：动系： 杆O1D由由?60sinaevv m/s433. 0rad/s186. 6作速度平行

15、四边形如图示。avtnBABABAaaaa? 水平水平作加速度矢量图，向作加速度矢量图，向y方向投影得方向投影得?00sin 60tABAaa （2）加速度分析）加速度分析对杆对杆ABD，取，取A为基点，则点为基点，则点B的加速度为的加速度为2OA AB23tBAAaa2m/s310BatBAaAv1BvDvrvevavAatBAADaAB2rad/s3100（）AD()tnaDeerCaaaaaa选取动点：选取动点： 滑块 D杆O1DtnDAD AD Aaaaa大小大小方向方向? ?0再取再取A为基点，则点为基点，则点D的加速度为的加速度为2OA ADBaBAaAaAD大小大小方向方向 O1

16、DDO1由：由：?/O1Drv12 O1D211DO将上式代入下式，得将上式代入下式，得ADAD 动系：ADtneerCaaaatnAD AD Aaaa大小大小方向方向 05 AD O1DDO1?/O1D093. 3 O1D679. 2547.11DAa作加速度矢量图，向作加速度矢量图，向x方向投影方向投影得得CeDAAaaaa60sin60cos1322tteADACaaaa2m/s407. 411teaO D2rad/s95.62AaraneaCaxea（）1C60EBO1习题分析习题分析2 轻型杠杆式推钢机轻型杠杆式推钢机, 曲柄曲柄OA借连杆借连杆AB带动摇杆带动摇杆O1B绕绕O1轴摆

17、动轴摆动, 杆杆EC以铰链与滑块以铰链与滑块C相连相连, 滑块滑块C可沿杆可沿杆O1B滑动滑动; 摇杆摆动时带动杆摇杆摆动时带动杆EC推动钢材推动钢材, 如图所示。已知如图所示。已知OA = r, , O1B = 2l/3 (r = 0.2 m, l = 1 m), wOA = 0.5 rad/s, aOA = 0。在图示位置时。在图示位置时, BC = 4l/3。求。求: 3ABrOA OA 1(1) 滑块滑块C的绝对速度的绝对速度和相对于摇杆和相对于摇杆O1B的速的速度度; (2) 滑块滑块C的绝对加速的绝对加速度和相对于摇杆度和相对于摇杆O1B的的加速度。加速度。(习题习题9-28)C解

18、解: AB作平面运动作平面运动, 取取A为基点为基点, 分析分析B点的速度。点的速度。60EBO1BABAvvvOA OAvAvBvAvBA0.1m/sAOAvOA0.2 3m/scos303ABvv 110.1 3 rad/s2 /3BBvvO Bl 1解出解出1rad/s6BAABvAB0.1 3tan30m/s3BAAvvC取滑块取滑块C为动点为动点, 动系与摇杆动系与摇杆O1B固连固连, 分析分析C点点的速度如图。的速度如图。60EBO1vrvaveaervvvOA OA11120.2 3 m/seO CvOCl0.4 m/scos30eCavvv 1sin300.2 m/sravvC

19、60EBO1OA取取A为基点为基点, 分析分析B点的加速度。点的加速度。a nBAa tBAa nBa tBntnntBBABABAaaaaax向向BA方向投影得方向投影得tnncos30sin30BBBAaaan222112(0.1 3)0.02 m/s3BlaO B 1n222133( )m/s6180BAABaABrtnn21106 3(2)m/s9003BBBAaaa 11t21153 3rad/s300BO BaO B 负值表明摇杆的角加负值表明摇杆的角加速度为顺时针方向速度为顺时针方向, 如如图。图。a nAa nAC60EBO1aaOAa nea tenteearCaaaaax分

20、别向分别向x和和y轴投影得轴投影得其中其中tcos30aeCaaan222112(0.1 3)0.06 m/seaOCl 1222 0.1 30.20.04 3 m/sCerav 1取滑块取滑块C为动点为动点, 动系与摇杆动系与摇杆O1B固连固连, 分析分析C点的点的速度如图。速度如图。araCyncos60aeraaa t21153 3m/s150eaOC解得解得t2()/cos300.1584 m/saCeaaa n2cos600.1392 m/sreaaaa习题分析习题分析3 图示平面机构中图示平面机构中, 杆杆AB以不变的速度以不变的速度v沿水平方向运动沿水平方向运动, 套筒套筒B与杆与杆AB的端点铰接的端点铰接, 并并套在绕套在绕O轴转动的杆轴转动的杆OC上上, 可沿该杆滑动。已知可沿该杆滑动。已知AB和和OE两平行线间的垂直距离为两平行线间的垂直距离为b。求在图示。求在图示位置位置(g60,