清华大学微积分多元连续函数

1、微积分B2教材和参考书教材和参考书第第1010章章 多元函数微分学多元函数微分学10.1 多元连续函数多元连续函数10.1.1 多元函数的多元函数的概念概念 多元函数微积分是一元函数微积分的直多元函数微积分是一元函数微积分的直接推广，但是内容要丰富得多，也要有意思接推广，但是内容要丰富得多，也要有意思得多得多. 包括多元函数微分学、重积分、曲线积包括多元函数微分学、重积分、曲线积分、曲面积分、向量分析、场论等内容分、曲面积分、向量分析、场论等内容.在学在学习过程中，应该注意把握基本概念之间的联习过程中，应该注意把握基本概念之间的联系，在此基础上熟练运用运算法则进行运算系，在此基础上熟练运用运算

2、法则进行运算.二元函数二元函数 设设 2.D 若若 ( , )x yD!z与之与之 对应对应,称称 D为函数的定义域为函数的定义域. 通常记函数为通常记函数为 f ,二元函数记为二元函数记为 ( , ).zf x y三元函数三元函数 设设 3.D 若若 ( , , )x y zD!u与与 之对应，之对应，,fD域为域为 则称这种对应规则为二元函数则称这种对应规则为二元函数.记其定义记其定义( , , ).uf x y z记记则称这种对应规则为三元函数则称这种对应规则为三元函数.显函数与隐函数显函数与隐函数 显函数：形如显函数：形如 ( , )zf x y隐函数：形如隐函数：形如 ( , , )

3、0F x y z 10.1.2 n中的简单拓扑学知识中的简单拓扑学知识 内积与范数内积与范数 |(,) .xxx范数的定义：范数的定义： 2(,)( , )2 ( , )( , )0 xty xtyx xt x yty yCauchy-Schwarz不等式不等式: 2( , )( , )( , )0 x yx xy y2|(, ) (, ) | | | |xyxy xxy yxyxxyy三点三点不等式：不等式： | |xyxy距离距离的定义：的定义： ( , ) |.d x yxy| (|).xyxy点列点列收敛收敛的定义的定义 设设0|1,2,.,.nnmxmx若若 00(,),mNmN d

4、 xx 则称则称mx记作记作: 0lim.mmxx记记(1)( )(,.,),nmmmxxx则：则： 0limmmxx1,2, in ( )( )0lim.iimmxxCauchy收敛准则收敛准则: mx收敛的充分必要条件是：收敛的充分必要条件是： 收敛于收敛于0,x(,).mkd xx0,Nm kN邻域：邻域： 10.1.3 开集、邻域和区域开集、邻域和区域 设设0,nx 集合集合 0 | ( ,)x d x x称作称作 0 x的的 邻域邻域,内点：内点： 设设0.nx nA，若若0使得使得0()UxA，开集：开集： 设设.nA若若,xA x都是都是A的内点，则的内点，则 称称A为开集为开集

5、. 例例: 22( , )|1,x yxy,n.聚点：聚点： 设设0.nx nA，若若000(),xUxA xx 则称则称0 x是是A的聚点的聚点.0 x可以属于可以属于A，也，也则称则称是是A的内点的内点(必有必有0 xA！). 0 x可以不属于可以不属于A，属于，属于A不见得是聚点！不见得是聚点！0().Ux记作记作:闭集：闭集： 设设nA，若若A的所有聚点都属于的所有聚点都属于A，则，则称称A为闭集为闭集. 例：空集例：空集 ，.n边界点与边界：边界点与边界：设设0.nx nA，若若0,0()Ux中既有属于中既有属于A的点，又有不属于的点，又有不属于A的点，的点， 则称则称 0 x为为A

6、的边界点的边界点. 边界点的集合称为边界，记做边界点的集合称为边界，记做. A在在 n中，开集的余集是闭集，闭集的中，开集的余集是闭集，闭集的 余集是开集余集是开集.例例 AA闭（聚点或为闭（聚点或为 内点，或为边界点）内点，或为边界点）. 连通集：连通集： 若若A中任意两点中任意两点P, Q都可以用在都可以用在A中中的一条连续曲线连接起来的一条连续曲线连接起来, 则称则称A为连通集为连通集. ABCC开区域与闭区域：开区域与闭区域： 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域, 开开 区域与其边界的并集称为闭区域区域与其边界的并集称为闭区域. 10.1.4 多元函数的极限多元函数的极限 多元函

7、数极限的定义：多元函数极限的定义： 设设0 x是函数是函数( )f x的定义域的定义域fD 的一个聚点，的一个聚点， A是常数是常数.|( )|,f xA 则称当则称当 0 xx时，时， ( )f x以以A为极限为极限. 记作记作 0lim( )xxf xA或者或者 00lim( , ).xxyyf x yA例例1：222( , ),xyf x yxy证明：证明：先设先设3351(,),(,).2222xy( , )(1,2)( , )4/5.limx yf x y则则0 000()fxDUxx ：若若0, 要要2224|,5xyxy 即即2222|4410|,5()xyxyxy只要只要22|

8、2()5|,xyxy 即即|2 (1)(2)2 (2)4 (1)|,x xxyy yyx只要只要|2 (1)|/4,| (2)|/4,|2 (2)|/4,|4 (1)|/4,x xxyy yyx只要只要|(1)|/12,|(2)|/6,|(2)|/20,|(1)|/40,xyyx只要只要22(1)(2)/40.xy 22|2222444|xxxxyyyyxy即即例例2：证明：证明：0, ，则，则22( , )|xyf x yxy)0 , 0(),(yx00lim( , )0.xyf x y要要|( , )0|,f x y 即即22,|xyxy只要只要2(|),|xyxy只要只要 2222|,x

9、yxy只要只要22222,xyxy只要只要222/2,xy只要只要22/2.xy 例例3：2222( , )xyf x yxy)0 , 0(),(yx解：解：考虑两条不同的路径：考虑两条不同的路径：,2yx yx22220lim0,xxxxx22220(2 )3lim,(2 )5xxxxx 所以所以222200limxyxyxy不存在！不存在！ 连续函数：连续函数： 设点设点0.fxD若若00()fUxD，00( )(),limxxf xf x则称则称( )f x在在0 x 点连续点连续. 开区域内连续函数：开区域内连续函数： 设设D是开区域是开区域. 若函数若函数 f 在在D的每个点上都连续

10、，的每个点上都连续，闭区域上连续函数：闭区域上连续函数： 设设D是闭区域是闭区域. 若函数若函数 f 在在D的每个内点上都连续的每个内点上都连续,00lim( )(),xxf xf x点点满足满足0 x即即 000()fxDUx 0|( )()|,f xf x则称则称 f 在闭域在闭域D上连续上连续. 且对于且对于D的每个边界的每个边界则称则称 f 在在D内连续内连续.例例4：初等函数：初等函数 (6种基本初等；四则运算；复种基本初等；四则运算；复合合)连续连续. 例例5：二元函数：二元函数 1sin(0)( , )0(0)xyyf x yy在在( , )x y点满足点满足 |( , )| |

11、,f x yx( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x yf在在)0 , 0(点连续点连续. 00 x 时时 ， 0( , )(,0)lim( , )x yxf x y不存在，不连续！不存在，不连续！ 22,( , )(0,0);( , )0, ( , )(0,0).xyx yxyf x yx y例例6：二元函数：二元函数 222200(2 )21,.(2 )52limlimxxxxx xxxxx所以在所以在)0 , 0(点不连续点不连续. 闭区域上连续函数的性质：闭区域上连续函数的性质： 最大、最小值定理最大、最小值定理 连续，连续， 则存在则存在,P QD使得使得 m

12、ax( )( ),min( )( ).x Dx Df xf Pf xf Q设设( )f x在有界闭区域在有界闭区域D上上一致连续定理一致连续定理 设设( )f x在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续,则则00, x tD 有有 ( , )|( )( )|.d x tf xf t介值定理介值定理 设函数设函数( )f x在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续,.P QD则对于介于则对于介于( ),( )f Pf Q之间的任何值之间的任何值, 存在存在 ,D使得使得( ).fm到到n的连续映射的连续映射 m到到n的映射的映射 若若mxD ，!ny与之与之对应对应, 称称D为映射为映射f 的定义域

13、的定义域,映射的极限映射的极限 设设0 x是是fD的聚点的聚点. 00() fxDUxx 则称则称A为为 ( )f x在在 0 xx时的极限时的极限, 记作记作0lim( ).xxf xAm到到n的连续映射的连续映射 若若 00()fUxD，且，且 00lim( )()xxf xf x，则称，则称f在在0 x点连续点连续. 则称对应关系为映射则称对应关系为映射,( ),yf x记作记作.fD记作记作( )( )f xUA，0, 0若若定理定理: 记记1( )( ),( ).nf xf xfx则则1,nff都连续都连续. 例例7:f ：32,012( )() .321f xx则则 f 连续连续.

14、 则则 ( )f xAx是是 mn的连续映射的连续映射. f 连续连续一般地，一般地，设设A是是 n m矩阵矩阵,莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646.7.1-1716.11.14)德国数学家、物理学家和哲学家等数理逻德国数学家、物理学家和哲学家等数理逻辑的创始人辑的创始人.生于莱比锡，卒于汉诺威生于莱比锡，卒于汉诺威.1661年入莱比年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何.1666年年获法学博士学位获法学博士学位.1673年当选为英国皇家学会会年当选为英国皇家学会会员员.1676年任汉诺威图书馆馆长年任汉诺威图书馆馆长.1700年当选为巴黎科年当选为巴黎科学院院士，促成组建了柏林科学院并任首任院长学院院士，促成组建了柏林科学院并任首任院长.他他的研究领域涉及到逻辑学、数学、力学、地质学、法的研究领域涉及到逻辑学、数学、力