二元函数的连续性

1、16.3 16.3 二元函数的连续性二元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 二元函数的连续概念二元函数的连续概念 复习一元函数连续概念 ( ),lim( )( )xaf xxaf xf a在点处连续0,0,( , ),:( )( )xU af xf a 有与一元函数连续类似地，从几何直观，引入二元函数连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 连续的定义连续的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 的可去间断点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 :证明( , )(0,0) lim( , )x yy mxf x y22( , )(0,0) limx yy mxxy

2、xy21mm(0,0)f ( , )(0, 0).f x yymx在沿着直线是连续的机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 讨论函数222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy在(0,0)的连续性解解取ykx2200limxyxyxy22220limxy kxkxxk x21kk其值随k的不同而变化， 极限不存在故函数在(0,0)处不连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.:由上节例证明( , )(0,0)x y当点沿着任何直线趋于原点时,( , )f x y0(0,0),f(0,0)f 在点沿任何方向都连续,( , )(0,0)lim( , )x yf x y但不存在,

3、(0,0)f 在点不全面连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 讨论函数3322, ( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在(0,0)处的连续性解 取cos ,xsiny( , )(0,0)f x yf33(sincos)2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , )(0,0)2f x yf故函数在(0,0)处连续.( , )(0,0)lim( , )(0,0),x yf x yf0,2当 时220 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的增量函数的增量 000. (,), (3, ),P xyP x yD定设义00,xxxyyy 记

4、0,P称为自变量在 的增量 则0000(1). (,)( , )(,)ff xyf x yf xy 0000(,)(,)f xx yyf xy 0fP称为函数 在点 的全增量.0(2). ,yy固定000000(,)(,)(,)xf xyf xx yf xy 0fPx称为函数 在点 关于 的偏增量.000000(3). (,)(,)(,)yf xyf xyyf xy 0fPy称为函数 在点 关于 的偏增量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 000,0,0 ( , )( )lim(,)0 xyx yDf PPf xy .在1点题连命续00( ,2)f x yxx.一元点命函数题连续000lim

5、(,)0.xxf xy 00(3, )f xyyy命.一元函题数点连续000lim(,)0.yyf xy 000( , )(,)f x yP xy.在点命题4连续00( ,)f x yxx点连续00(, )f xyyy点连续命题4的逆命题不真.3见例,x yf自变量有微小变动时 因变量 变动也很小机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 连续函数的性质连续函数的性质 与一元函数的连续性质一样，我们有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也连续。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 :证明0fQ 在点连续,000,0,uuvv当时,有:00( , ),f u vf u v0P又与在点 连续,00

6、0,0,xxyy对上述当时,有:000( , )(,)uux yxy000( , )(,)vvx yxy0000,:( , ),( , )(,),(,)fx yx yfxyxy从而 有00( , ),f u vf u v000( , ),( , )(,)fx yx yP xy在连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二. . 二元初等函数及其连续性二元初等函数及其连续性 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内

7、的区域或闭区域事实上，连续的一元函数也都是连续的多元 由多元函数连续的运算法则，以及基本初等 函数的连续性，即得。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 50011lim.xyxyxy 求解解001 1lim(11)xyxyxyxy 原式001lim11xyxy 1.200000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 讨论下列例函数的连续性sin, 01). ( , ); 0, 0 xyyyf x yy:解0,y 当时sin

8、( , )xyf x yy连续0,y 当时00,( , ),0 xf x yxR 研究在点的连续性.0( ). 0,ix 如果则0( , ),0 0lim( , )x yxyf x y0( , ),0 0sinlimx yxyxyy0,x0( , ),0 0lim( , )x yxyf x y0( , ),0 0lim0 x yxy0,0( , ),0lim( , ),x yxf x y故不存在初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 0( ). 0,iix 如果此时( , )(0,0)f x yf0 sin, 0 0, 0 xyyyy, 0 0, 0 xyy,x( , )0,0lim( ,

9、 )(0,0)x yf x yf0,( , )0,0f x y即在连续.综上所述,00( , ),00)f x yxx 在点间断(;其余点连续.0( , ),0f x yx在不连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222, 0(2). ( , ) (0). 0, 0pxxyxyf x ypxy:解00( ). (,)0,0,ixy当时00( , )(,)f x yxy在连续初等函数00( ). (,)0,0,iixy当时cos ,sin ,xryr令则( , )0,00,x yr ( , )(0,0)f x yf而2cosprr21cospr210p 当时,1,2p 即时211( ,

10、)(0,0)pf x yfr( , )0,0,lim( , )(0,0),x yf x yf因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0,0)f在连续.210,p 当时1,2p 即时0,选取0,0,yx即射线 ( , )(0,0)f x yf则21cospr211pr11, 2p 1, 2p( , )0,0lim( , )(0,0),x yf x yf(0,0).f即 在不连续,综上所述(0,0),在点1;2pf当时, 连续1,;2pf当时不连续.f而其它点 皆连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三. . 一致连续性一致连续性 复习 zfD在区域 上连续00,0,0,:PDPDP P 只

11、要有0( )()f Pf P: zfD在区定域义上一致连续000,0,:P PDP P只要有0( )()f Pf P机动 目录 上页 下页 返回 结束 四四. . 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 1. 有界性与最值性有界性与最值性 :.fD先证 在证上有界明,若不然 则,n 正整数,nPD必: , 1,2,nf Pnn使lim,nnf P ,nPD ,nP为有界点列 由魏尔斯托拉斯定理, ,knnPP存在收敛子列机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim.knkPP设,D由 为闭域0,PD从而,fD又在 上连续0P在 连续, 于是,有:0limknkf Pf P,矛盾f

12、D 是 上的有界函数.fD再证, 在 上能取到最大,最小值. inf(), sup().mf DMf D设, , ( )QDf QM即证使:, ()QDf Qm同理证使:, ( ),PDf PM 反证 设有:( )0.Mf P机动 目录 上页 下页 返回 结束 1( ),( )F PMf P记FD则 在 上连续,FD由前面的证明知, 在 上有界,sup(), ( ),Mf Df PM而且0, ()PDMf PM即使:10, nPDn取使:1 (), (1,2,)nMf PMnn, lim(),nnf PM于是lim()nnF P ,FD与 在 上有界矛盾fD故 在 上能取到最大值./机动 目录

13、 上页 下页 返回 结束 2. 一致连续性一致连续性 ,):(用聚点定理来证证反证明fD设 在 上连续而不一致连续, 0,0则0,P QDP Qf Pf Q 0且但是1,n取,nnP QD1,nnP Qn且 ,nnf Pf Q0但是1,2,n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,D为有界闭域 ,knnDPP 中点列存在收敛子列0lim,knkPPD设,kknnnQPQ在中取出与下标相同的子列则0,kknnPQ1kn k 0,limlimkknnkkQP0P,D0,:fP由 在 连续 得limkknnkf Pf Q00f Pf P00,kknnf Pf Q0与.矛盾.fD故 在 上一致连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 介值性与零点定理介值性与零点定理 oxyD2P1P:证明12,P PD不妨设为 的内点,D为区域 则可用有限段都12,DPP在 中的折线连结 和如果有某一个连结点所对应0,的函数值为,则定理得证机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyD2P1P,否则,必存在某直线段12fMM在它的两端点与的函数值异号,120,0,f Mf M设111222( ,),(,),M x yMxy其中12:M M则直线段的方程为121121(),(),xxt xxyyt yy01,t 12,:M Mf在直线段上可表示为121121( )(),() ,g tf xt xxyt