同步讲义7三角恒等变换提升课

1、C3华罗庚数学为全国学生提供优质教育三角恒等变换方法与技巧技巧点拨4i三角恒等变换中角的变换的技巧聪明在于勤奋，天才在于积累5.观察条件及目标式三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换 中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之 统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧一、利用条件中的角表示目标中的角 例1已知COS n+ a =，求COS 5n- a的值.6 3 6、利用目标中的角表示条件中的角例2设“为第四象限的角，若 壮=甲，则tan 2a=三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例 3 已知 s

2、in 扌一x = -5, 0<x<n 求 COS 2 的值.4134n,COS 4+x四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角iV3例4 求函数f(x)=尹sin(x 20 ° cos(x+ 40 °的最大值.方法技巧2三角函数化简求值的“主角”变角”是化简的重要形式，是化简求值这三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而 场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招单角化复角1例1已知sin a= , a是第二象限的角，且tan（ a+ ®=寸3，贝U tan B的值为,点评将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合

3、形式如：a1 1=（a+® 3 a=（ a , a= （2 a® （ a®, a= -（ a+卩）+ （ a卩）,a= $（卩 + a ）（卩 a）等第二招复角化单角例2化简：驾宁+仇第三招复角化复角方法活用*例 3 已知 n< a<4 n o< 3<n，cos（n+ a=5 s“（子冗+ ®=寻，求 （a+ ® 的值.3三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧一、灵活降幕点评 常用的降幕技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2 0+ cos2 0

4、= 1进仃降幂：如cos4 0+ sin4 03 sin 702 - cos2101=(cos2 0+ Sin2 0)2 2cos2 Qsin2 0= 1 qsin22 0,等等.二、化平方式例2化简求值:113n：2 + 2cos 2心 ©，2n ).点评一般地，在化简求值时，遇到1 + cos 2 a、1 cos 2 a、1 + sin 2 a 1 sin 2 a常常化为平方式：2cos2 a 2sin2 a (sin a+ cos a2、 (sin a cos a)2.三、灵活变角n12 n例 3 已知 si ng o) = 3，贝U cos(s + 2 a)=.四、构造齐次弦

5、式比，由切求弦例4已知tan 0= 1 则 cos 20的值是2 1+ sin 2 0点评解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“ cos 20 ”化为关于sin 0和cos 0的二次齐1 + sin 2 0次弦式比.五、 分子、分母同乘以2nsin a求 cos acos 2 acos 4 acos 8 a- cos 2n % 的值例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 °技巧点拨4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y= Asin( wx+册+ B的形式求解sin4x+ cos4x + sin 2xcos2x例1求函数f(x)=的最值.2 sin 2

6、x例2求函数y= sin2x+ 2sin xcos x+ 3cos2x的最小值，并写出 y取最小值时x的集合.点评形如y = asin2cox+ bsinwxcos3x+ ccos2®x+ d（a, b,c,d 为常数）的式子，都能转化成y =Asin（2 3x+ © + B的形式求最值.二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y=加的值域.例4 求函数 y= sin x + 3的值域.cos x 4点评对于形如y= asin x+ b或y= asin x+ b的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求csi n x+ d ccos x+ d最值.三、转化为一元二

7、次函数在某确定区间上求最值 例5设关于x的函数y= cos 2x 2acos x 2a的最小值为f(a),写出f(a)的表达式.点评 形如y= asin2x+ bsin x + c的三角函数可转化为二次函数y= at2 + bt + c在区间1,1上的最值问题解决.例 6 试求函数 y= sin x+ cos x + 2sin xcos x + 2 的最值.点评 一般地，既含sin x+ cos x(或sin x cos x)又含sin xcos x的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值.注意以下结论的运用：设sin x+ cos x=t，则sin xcos x= *t2 1); s

8、in x cos x1=t，贝U sin xcos x = 2(1 t2).四、利用函数的单调性求解1 + sin x 3+ sin x ,例7 求函数y=-:的最值.2 + sin x例8 在Rt ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB= a，/ ABC = 0, ABC的 C3华罗庚数学为全国学生提供优质教育面积为P,正方形面积为 Q.求Q的最小值.Q点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性易错警不q巧妙解决.5行百里者半九十一一三角恒等变换一章易错问题盘点、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin a= -75, s

9、in B= 丄°, a和B都是锐角，求 a+ B的值.510错解 因为 a和 B都是锐角，且 sin a=_55，sin B=£°，所以 cos a= 25, cos B=sin( a+ B = sin ocos B+ cos asin B=.5、310 . 2,5、, . 10 _2x + X =5105102 -因为0氏0，2，则a+氏(0，n)所以a+ a 4或F温馨点评根据条件求角，主要有两步：1求角的某种三角函数值；2确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.二、忽视条件中隐含的角的范

10、围而致错例 2 已知 tan2 a+ 6tan a+ 7 = 0, tan2 B+ 6tan + 7 = 0, a、氏(0, n)且 a B 求 a+ B 的值.tan a+ ta n B= 6tan dan A 7错解由题意知tan a、tan B是方程x2 + 6x+ 7 = 0的两根，由根与系数的关系得:. tan( a+ b = tan a+tan B = J = 1.1 ta n atan B 1 7n5T 0< a< n, 0< n, . 0< a+ B<2 n, . a+ B= _或 a+ 戸 一 n44温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数

11、知识间及与其它知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误 三、忽略三角形内角间的关系而致错例 3 在厶 ABC 中，已知 sin A= 3, cos B = g，求 cos C.5133 4512错解由 sin A =，得 cos A= ±，由 cos B=t;，得 sin B =5513134 16 当 cos A = 一时，cos C = cos(A + B) = sin Asin B cos Acos B = 一5 ''65'4 56 当 cos A =一时，

12、cos C= cos(A + B)= sin Asin B cos Acos B =5 、 丿65'A + B + C= 180°这一隐含条件尤其是由温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现四、忽略三角函数的定义域而致错 例4判断函数f(x)=仃sin x cos x的奇偶性1 + sin x+ cos x错解1 + sin x cos xf(x)=1 + sin x + cos x丿c x x“c 2x1 +2si n2cos 212si ngx xc2x d1 +2singeos2cos g 1x xx2sin - co

13、s -+ sin-222丄x=tan ,x . x ,x22cos - sin -+ cos由此得f( x) = tan 2 = tan |= f(x)，因此函数f(x)为奇函数.温馨点评判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错五、误用公式 asin x+ bcos x= a2+ b2sin(x+ (0而致错例5 若函数f(x) = sin(x+ 0)+ cos(x 0), x R是偶函数，求B的值.错解/ f(x) = sin(x+ 0 + cos(x 0), / f(0) = sin 0+ c

14、os 0= , 2sin 0+ 才.n# f(x)= sin(x+ 0) + cos(x 0)是偶函数./ |f(0)|= f(x)max= 2. f(0) = . 2sin 0+ 4 = ± 2, sin 0+n = ±1, 0+ n= kn+ n, k Z.即 0= kn+n, k Z.4424温馨点评注意公式asinx+bcos x= r(a2+ b2)sinx+0的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数fx = sin x+ 0+ rcos x 0 x R的最大值不是2.6 平面向量与三角函数的交汇题型大全聪明在于勤奋，天才在于积累

15、7平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、C3华罗庚数学为全国学生提供优质教育模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解.一、平面向量平行与三角函数交汇例 1 已知 a = (2cosx+ 23sin x,1),b=(y, cos x),且a/b.若f(x)是y关于 x 的函数，贝Uf(x)的最小正周期为.点评解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解二、平面向量

16、垂直与三角函数交汇nn例 2 已知向量 a= (4,5cos a), b = (3, 4tan a), a (0, g)，若 a丄 b,贝V cos(2a+ 4) =.点评解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理三、平面向量夹角与三角函数交汇n例3已知向量 m= (sin 0, 1 cos 0)(0< « n 与向量n = (2,0)的夹角为-，贝U 0=.3点评解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解四、平面向量的

17、模与三角函数交汇例 4 若向量 a = (cos 0, sin 0), b= (J3, 1)，则 |2a b|的最大值为 .点评解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a|2= a2如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的 有界性求解.五、平面向量数量积与三角函数交汇n n例5若函数f(x) = 2sin(6x + §)( 2<x<10)的图象与x轴交于点A,过点A的直线I与函数的图象交于B、C 两点，贝U (6B + O)C) oA等于()A. 32B. 16C.16D.32点评 平面向量

18、数量积与三角函数的综合主要体现为两类:利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；（2）给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角7单位圆与三角恒等变换巧结缘聪明在于勤奋，天才在于积累11单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘、借助单位圆解决问题1ia | g例 1 已知 sin a+ sin g= -, cos a+ cos g= 3 求 tan (提示：已知 A(xi, yi), B(X2, y2)，则 AB中点的坐标为X1| X2y- + y2)2)点

19、评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能 显出它的价值.二、单位圆与恒等变换的交会例2已知圆x2 + y2= R2与直线y= 2x+ m相交于A、B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O 是坐标原点）的角为a, OB为终边的角为 g贝U tan（a+ g的值为.例3如图，A, B是单位圆O上的点，OA为角a的终边，OB为角g的终边，M为AB的中点，连 接OM并延长交圆O于点C.（i）若a=n， g= n，求点m的坐标；nn(2)设a= 0, 3 ), 3= 3，C(m, n),求y= m+ n的最小值，并求使函数取得最小值时B的取值.点评 借助单

20、位圆和点的坐标，数形结合，禾U用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化指点迷津48用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式asin 0+ bcos 0= a2+ b2sin(B+妨，其中角0所在的象限由a, b的符号确定，$的值由tan 0= b确定，它在三角函数中应用比较广泛a、求最值 例1 求函数y= 2sin x(sin x cos x)的最小值.、求单调区间1求函数y = 2cos2x+sin xcos x+ 1的单调区间三、求周期例3函数y= cos22x+ 4cos 2xsin 2x的最小正周期是()7tD.4nA.2 nB. nC._C3华罗庚数学为全国学生提供优质教育四、求参数的值例4