抛物线的几何性质

1、抛物线的几何性质教学目标：1掌握抛物线的几何性质；能根据几何性质确定抛物线的标准方程 2能利用工具作出抛物线的图形提高综合解题能力教学重点及难点：1抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用2 几何性质的应用，解题思路分析教学过程：第一课时抛物线的几何性质I 复习回顾简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)练习：已知抛物线 y2= 2px的焦点为F，准线为I,过焦点F的弦与抛物线交于 A、B两点，过 A、B分别作AP丄I, BQ丄I, M为PQ的中点，求证： 略证：过F作FN丄AB交准线I于N，连结AN、BN , 则 Rt APM 也Rt AMF, |PN|=|FN|,同理，|QN|

2、=|FN|, 从而|QN|=|PN|，于是有，M与N重合，故 MF丄AB 说明：F点在以PQ为直径的圆上，故/ PFQ为直角。10在抛物线y2= 2x上方有一点 M ( 3,), P在抛物线上运3动，|PM|=d-,p到准线的距离为d2,求当di +d2最小时，P的坐标。 注：连MF，与抛物线交点即为所求。(2, 2)这一节，我们根据抛物线的标准方程y2 2 px( p 0)来研究它的几何性质n 讲授新课1.范围当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别，无渐近线).2对称性抛物线关于x轴对称我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴3顶点抛物线和

3、它的轴的交点叫抛物线的顶点即坐标原点4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示由抛物线定义可知，e=1.说明：对于其余三种形式的抛物线方程要求自己得出它们的几何性质，这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程 根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。 抛物线没有渐近线垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。下面，大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图

4、形由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数 p 解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2、2 )，所以可设它的标准方程为：2y 2px(p o).因为点M在抛物线上，所以(2、.2)2 2p 2，即2p 2,因此所求方程是y 4x.F面列表、描点、作图:x01234y022.83.54说明：利用抛物线的对称性可以简化作图步骤;抛物线没有渐近线；2抛物线的标准方程 y 2 px( p 0)中2 p的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于x轴直线与抛物线两交点的线段例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源

5、位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置 分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程，关键是选择建立恰当的坐标系，并由此使学生进一步认识坐标法解:如图825,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标 系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口 直径设抛物线的标准方程是y22 px( p0) 由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，代入方程得245302 p 40 p44545所以所求抛物线的标准方程是y2 竺x,焦点坐标是(竺，0).28说明：此题在建立坐标系后，要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的 类型,再求

6、出方程中的参数p.为使大家进一步掌握坐标法，我们来看下面的例 3:例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2 2px(p 0)上,求这个正三角形的边长.分析:观察图8 26,正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共 的对称轴，则容易求出三角形的边长.解:如图826,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为(xi, yi),(x2,y2),则:yi2 2pxi,y； 2px2,又OA OB ,所以 x； y2 x； y|.即X：2X22 22px1 2 px2 0,( x-i x2) 2p(x1 x2) 0(X1X2)(X1x22p)0X10,

7、X20,2 p 0,x1x2由此可得，力y2，即线段AB关于x轴对称，因为x轴垂直于 AB，且/ Aox =30 ,所以吐 tan30Xi2x1 h, y12 寸3p, AB 2y14®'3p.2p说明:这个题目对学生来说，求边长不困难，但是他们往往直观上承认抛物线与三角形 的对称轴是公共的，而忽略了它的证明.教学时，要提醒学生注意这一点，通过这一例题，可 以帮助学生进一步掌握坐标法.课堂练习：课本P123 1,2. 3,4.课堂小结通过本节学习，要求大家掌握抛物线的几何性质，并在具体应用时注意区分抛物线标 准方程的四种形式及求解抛物线标准方程的方法，进一步掌握坐标法的应用，

8、并了解抛物线知识在生产生活实际中的应用.课后作业：习题8.6 1,2,3,4, 5 , 6.第二课时 习题课（定义、性质应用）I 复习回顾上一节，我们一起学习了抛物线四种标准方程对应的几何性质，现在作一简要的回顾（学生回答略）这一节，我们将组织研究抛物线的标准方程及其几何性质的应用n 讲授新课例1已知A、B是抛物线y2 2px（p 0）上的两点，且OA丄0B（0为坐标原点）, 求证：A、B这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值； 求证：直线 AB过定点；求线段 AB中点M的轨迹方程。2 2 证明：设 A、B 坐标分别为（x“ y!）, （x2, y2）,则 yi2p% , y 2px?,

9、ym,2 yi y22 px1 2 px24 p2xix224p y2,yi y24p2为定值；Xi X2yi y24p2也是定值。2yi2Y2(yiy2)(yiy2)2 pxi2px22p(XiX2),又xiX2 ,y2 yXiX22p ,yi y2 ' AB的方程为:yi北(X Xi)-(xyi y222p)- yyiy22yiyiy2yi2p xi y2yiy2yiy24p2yi y2 OA丄 0B,. x-|x2 yi y20 即 xix22p (x 2p) 直线 AB 过定点(2p,0). yiy2 yi2 2pxi, y2px2, yi2 y222 p(xix?),2即(y

10、i y2)2y"22P(Xi X2)，设 M (x,y)则 yi y2y,Xix?2x,又 OA丄 OB, yi y2xix22 2器yiy24p2 4y2 8p24 pxpx 2Py2 p(x 2p)（点差法）y2yiX2Xi2p，设Myi y2（x,y）,又直线 AB过定点（2p,0）,有2p 22y yP(x 2p)。2A(a,0)是抛物线y 2px( p0）对称轴上的一个定点，过A作抛物线的弦PQ,求证：P, Q这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值。证明：当PQ不垂直于x轴时，可设过A点的直线为yk(x a)，代入 y22 px得 k2x2 2(k2a p)x k2a

11、20设P、.2 2Q坐标分别为(为，yj, (x2, y2),则xix2 ka2（定值）2yi22px , y22px2，而 yi, y2 异号,2 px1 2 px2.4p2a22pa当PQ垂直于x轴时,x1x2a，故 xix2.22- Yi Y2. Yi Y24p2xix2.,4p2a22 pa综上所述，命题得证。说明：亦可由yk(x a)a （或设x my2a ),代入y2px得y2 2-py 2pa k0，从而得ym2 pa ；若A为焦点，则有2yi y2p ， X1X22p。注意PQ垂直于x轴时的情况不要忘记讨论。1111|FA|FB|ppX1X222X-|X2说明： | AB |

12、Xi X2 p ;2(X1X2)Xi X2 p2弊X2p) p例3已知AB是过抛物线y22 px( p 0)的焦点的弦，求证: A、B这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值； 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；1 1为定值。|FA| |FB|证明：易由上题得出；设A、B坐标分别为(为，y!), (x2, y2),则pp| FA | X!,| FB | X2;所以，22设 |FA|=m, |FB|=门,由厶 BFPBAQ 得，LFP-1|AQ|AB|c112mp np 2nmm n p|FB|，二由定比分点坐标公式,可得| AB|mp(n pn / (m m2mp npc1122nm21

13、 -m n pm第三课时 习题课(与弦长有关及最值问题)、与弦长有关的问题例1已知抛物线y22px(p 0)的焦点弦AB所在的直线的倾斜角为，求证:IABI 黑。证明：抛物线 y22 px( p 0)的焦点是(-,0),2准线I的方程是：x90时，直线AB的方程为：y tan(x 2，代入y2 2px得，x2 tan2 p(tan22)x-p2ta n24设 A(Xi, yj, B(X2，y2)则 Xi- I AB | | AF | |BF |XiX2(i ；tanpxix2p2)Pp 2 p cot2,X222p2 p(1 cot ) J ;sin当 90时，| AB |2p2p2 “sin

14、 902p。2 sino例2已知抛物线y4x截直线y2x b所得的弦AB的长为3 5 , P是其对称轴上一点，若 Sa pab=39 ,求P点的坐标。解：将y 2x b代入y2 4x得,(2x b)24x即 4x24(b i)x b20设 A( X, yj, B(X?, y2)则X21 b, x1x2b24- | AB |2 5(x1 x2)25( Xi X2)24xix25(1 b)2 b2 5(1 2b)(3.5)2 b4，直线方程为y=2x- 4,即2x设 P (a,0),则 Spab= 1 3 5 |2a一°一4 139|a-2|=13, a a=15 或 a=-11,2亦

15、P ( 15, 0)或(-11, 0)。说明：若直线y kx b的倾斜角为，贝U2、/2-|x1x2 11 y1y2 1I AB I .(1 k )(X1X2)-。| cos | sin练习：经过y28x的焦点F作与对称轴成的直线与抛物线相交于 A、B两点，求|AB|。3利用弦长公式或2032|AB|= 4 (X X2)433例3已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F，点P在抛物线上，/ xFP=，将|PF|表示成的函数。解：设抛物线的准线为 I，作PP1丄I于P1, PH丄x轴，则| FH | | PF |cos注意FH为有向线段的数量，于是,| PF | RP QF FHp | PF

16、| cos ,- | PF | P -,1 cos说明：该方程可看作抛物线的极坐标方程。二、最值问题x上，点Q在圆(x 3)2 y2解:圆(x3)22y1的圆心01 (3, 0),设2p( y1 ,y1),则2z 2亠、224亠z252 1111|PO1 |(y13)y1y15y19 (y12)-4411.11 d-|PO1|> ,|PQ|min| P01min11,221上，求例1点P在抛物线y2PQ的最小值。5 -10此时 P&TorPp 二°)。2 2 2 2例2已知A (0, -1), B (3, 2), P是抛物线y3x21上任一点，求 PAB面积最小值及此时

17、 P点的坐标。1,x解：设 P ( x1,3x121)，直线 AB : y xP到直线AB的距离为d，| 治_32_1)_1 |1厂122| x1 3x12 |2|3(xi.21i|2312 . 2当x11 1 2 ( SPABUq | AB|dmin32(3 1) 22312 22312 22381 13.此时，P( ,).6 12另法:作与AB平行且与抛物线相切的直线l:ym,代入抛物线的方程 y 3x21,得3x21 x m,即 3x2 x(1 m)"=0,即 1-4 >3(1-m)=0,得 mU,切线1211120,I11两平行线间的距离d121|2312 2 ,1 1 2-sPAB)min=-|AB|d 护(3 1)2312、23、2223231 、时，等号成立。6例3定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2 x上移动，求AB中点到y轴 的距离的最小值。解：设F是抛物线y2 x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD , M到