qg13-2拉普拉斯变换21-22

1、积分变换积分变换第第第2-2-2-1 1 1页页页电子教案常用函数傅氏变换对：常用函数傅氏变换对：(t)u(t) j1)(e - t u(t) j1g(t) 2Sa 1 12()(t-t0)0tje0jte02() 复复 习习积分变换积分变换第第第2-2-2-2 2 2页页页电子教案习题习题1.2-10 求函数求函数的的Fourier变换。变换。 cos sinf ttt解：解：利用正弦函数的利用正弦函数的Fourier变换，即变换，即000sinj()()Ft cos sin1sin22j(2)(2)2FFf tFttFt 积分变换积分变换第第第2-2-2-3 3 3页页页电子教案非周期函数

2、的频谱非周期函数的频谱在频谱分析中在频谱分析中, 傅氏变换傅氏变换F( )又称为又称为f(t)的的频谱函数频谱函数, 而它的模而它的模|F( )|称为称为f(t)的的振幅频谱振幅频谱(亦简称为频谱亦简称为频谱).我们定义我们定义( )sind( )arctan( )cosdf tt tf tt t 相角频谱相角频谱:积分变换积分变换第第第2-2-2-4 4 4页页页电子教案傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1. 线性性质线性性质 f1(t) + f2(t) F1() + F2() 若若 f1(t) F1()， f2(t) F2()则则2. 位移性质位移性质时移：时移：若若 f (t) F() 则

3、则00()e( )jtf ttF频移：频移：若若 f (t) F() 则则00e( )()jtf tF积分变换积分变换第第第2-2-2-5 5 5页页页电子教案3. 微分性质微分性质时域微分：时域微分：若若 f (t) F() 则则 )()()()(Fjtfnn)()(Fjtf频域微分：频域微分：若若 f (t) F() 则则 (jt)n f (t) F(n)() (jt)f (t) F() 积分变换积分变换第第第2-2-2-6 6 6页页页电子教案4. 积分性质积分性质时域积分：时域积分：若若 f (t) F() 则则 )()0()(1)(FFjdftxxFtfjttfd)()(1)()0(

4、频域积分：频域积分：积分变换积分变换第第第2-2-2-7 7 7页页页电子教案习题习题1.3-11(2) 若若，利用，利用Fourier变换的性质变换的性质, 2g ttf t解：解：由线性性质和频域微分性质，有由线性性质和频域微分性质，有 2212jF g tFtf tF tf tFf tdFFd FFf t求函数求函数g(t)的的Fourier变换。变换。积分变换积分变换第第第2-2-2-8 8 8页页页电子教案卷积的概念卷积的概念函数函数f1(t)与与f2(t)的的卷积卷积, 记为记为f1(t)*f2(t)为为1212( )( )( )()df tftfft(1) 卷积满足交换律卷积满足

5、交换律)()()()(1221tftftftf(2) 卷积满足分配律卷积满足分配律)()()()()()()(3121321tftftftftftftf(3) 卷积满足结合律卷积满足结合律)()()()()()(321321tftftftftftf积分变换积分变换第第第2-2-2-9 9 9页页页电子教案卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积定理若若 f1(t) F1()， f2(t) F2()则则 f1(t)*f2(t) F1()F2() f1(t) f2(t) F1()*F2()21频域卷积定理频域卷积定理积分变换积分变换第第第2-2-2-101010页页页电子教案习题习题1.4-4 若若，

6、证：证：由由Fourier变换的定义，有变换的定义，有 1112121112112111211121212121*2j tjtj tjtF f tftf t ft edtFedft edtFft edt dFFdFF 11FFf t，证明，证明 22FFft F f1(t) f2(t) = F1()*F2()21积分变换积分变换第第第2-2-2-111111页页页电子教案傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用象原函数象原函数(方程的解方程的解)象函数象函数微分微分,积分积分方程方程象函数的象函数的代数方程代数方程Fourier逆变换逆变换Fourier变换变换解代数方程解代数方程积分变换积分变换第第

7、第2-2-2-121212页页页电子教案习题习题1.5-1 求微分方程求微分方程，解：解：设设 1j XX x tx tt的解。的解。t F x tX 对方程两边取对方程两边取Fourier变换，并利用变换，并利用Fourier变换的变换的时域微分性质和时域微分性质和-函数的函数的Fourier变换结果，可得变换结果，可得所以，所以， 11Xj积分变换积分变换第第第2-2-2-131313页页页电子教案第二章第二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1 2.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念2.2 2.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质2.3 2.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换2.4

8、2.4 卷积卷积 2.5 2.5 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用积分变换积分变换第第第2-2-2-141414页页页电子教案 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变

9、换推广到复频域来解在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。决这些问题。 傅氏变换的局限傅氏变换的局限积分变换积分变换第第第2-2-2-151515页页页电子教案2.1 2.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念1. 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换若函数若函数f(t)满足满足Fourier积分定理的条件，则有傅里叶变换积分定理的条件，则有傅里叶变换j( ) ( )( )edtFf tf ttF1j1( ) ( )( )ed2tf tFFF几乎所有的实用函数几乎所有的实用函数(t)乘上乘上u(t)再乘上再乘上e- t后得到的后得到的(t)u(t) e-

10、 t傅氏变换都存在。傅氏变换都存在。tf(t)Otf(t)u(t)etO积分变换积分变换第第第2-2-2-161616页页页电子教案对函数对函数 (t)u(t)e t( 0)取傅氏变换，可得取傅氏变换，可得j(j)000( )( ) ( )eed( )ed( )edj ,( )( ) ( )( )j( )( )edtttststGt u ttf ttf ttsf tt u tsF sGF sf tt其中若再设则得s表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。只能描述振荡频率，而只能描述振荡频率，而不仅能给出重复频率，还可以不仅能给出重复频率，还可以关键在于引入衰减因子关

11、键在于引入衰减因子e- t，可适用于更多函数信号。，可适用于更多函数信号。积分变换积分变换第第第2-2-2-171717页页页电子教案定义定义 设函数设函数f(t)当当t 0时有定义时有定义, 而且积分而且积分0( )ed()stf tts是一个复参量0( )( )ed(2.1)stF sf tt在在s的某一域内收敛的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数称此式为函数f(t)的的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式简称拉氏变换式), 记为记为F(s)=L L f(t)F(s)称为称为f(t)的的拉氏变换拉氏变换(或称为或称为象函数象函数)。

12、而而f(t)称为称为F(s)的的拉氏逆变换拉氏逆变换(或或象原函数象原函数)，记为，记为f(t)=L L 1F(s) 也可记为也可记为 f(t)F(s)。积分变换积分变换第第第2-2-2-181818页页页电子教案若函数若函数f(t)满足满足:1） 在在t 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续2） 当当t时时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数的增长速度不超过某一指数函数, 即存在即存在 常数常数M0及及c 0, 使得使得|f(t)| Mect， 0 tc上一定存在，右端的积分在上一定存在，右端的积分在Re(s) c1c上上绝对收敛而且一致收敛，并且在绝对收敛而且一致收敛，并

13、且在Re(s)c的半平面内，的半平面内， F(s)为解析函数。为解析函数。2. 拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理MMectf(t)tO则则f(t)的拉氏变换的拉氏变换积分变换积分变换第第第2-2-2-191919页页页电子教案使使 f(t)拉氏变换存在的拉氏变换存在的Re(s)c的取值范围称为的取值范围称为F(s)的收敛域。的收敛域。3. 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域（ROC：The Region of Convergence）收敛边界收敛边界j0c 收敛域收敛域积分变换积分变换第第第2-2-2-202020页页页电子教案例例1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数的拉氏变换0

14、100)(tttu0de)(ttustL解解 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有这个积分在这个积分在Re(s)0时收敛时收敛, 而且有而且有011ede01 ( )(Re( )0).ststtssu tss 所以 LjO积分变换积分变换第第第2-2-2-212121页页页电子教案例例2 求指数函数求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换的拉氏变换(k为实数为实数)。()00 ( )e e dedktsts k tf tttL()()0011ede1e (Re( ).s k ts k tkttsksksksk所以 L这个积分在这个积分在Re(s)k时收敛时收敛, 而且有而且有其实其实k为复

15、数时上式也成立为复数时上式也成立, 只是收敛区间为只是收敛区间为 Re(s)Re(k)解解 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有积分变换积分变换第第第2-2-2-222222页页页电子教案例例3 求求 f(t)=sinkt (k为实数为实数) 的拉氏变换。的拉氏变换。0jj0(j )(j )00(j )(j )0022sinsined1(ee)ed2jjeded2j112jjj112jjstktktstsk tsk tsk tsk tktkttttteeskskkskskskL解解 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有0)s (Re积分变换积分变换第第第2-2-2-232323

16、页页页电子教案同理可得同理可得220)j(0)j(0)j(0)j(0jj0j1j121j1j121dede21de)e(e21decoscoskssksksekseksttttktkttkstkstkstksstktktstL0)s (Re积分变换积分变换第第第2-2-2-242424页页页电子教案满足拉氏变换存在定理条件的函数满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在在t=0处有界时处有界时, 积分积分0 ( )( )edstf tf ttL中的下限取中的下限取0+或或0 不会影响其结果。但如果不会影响其结果。但如果f(t)在在t=0处处包含冲激函数时包含冲激函数时, 就必须明确指出是就必须明

17、确指出是0+还是还是0 , 因为因为)(de)(de)()(de)()(0000tfttfttftfttftfstststLLL4. 拉普拉斯变换的积分下限拉普拉斯变换的积分下限0- -积分变换积分变换第第第2-2-2-252525页页页电子教案当当f(t)在在t=0处有界时处有界时, 则则当当f(t)在在t=0处包含了冲激函数时处包含了冲激函数时, 则则)()(, 0de)(00tftfttfstLL即)()(, 0de)(00tftfttfstLL即为了考虑这一情况为了考虑这一情况, 需将进行拉氏变换的函数需将进行拉氏变换的函数f(t), 当当t 0时有定时有定义扩大为当义扩大为当t0及及

18、t=0的任意一个邻域内有定义的任意一个邻域内有定义. 这样这样, 原来的拉原来的拉氏变换的定义氏变换的定义但为了书写方便起见但为了书写方便起见, 仍写成仍写成(2.1)式的形式。式的形式。00de)()() 1 . 2(de)()(ttftfttftfststLL应为积分变换积分变换第第第2-2-2-262626页页页电子教案例例 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 (t)的拉氏变换。的拉氏变换。000 ( )( )ed( )ed( )ede1ststststttttttttL冲激函数的冲激函数的筛选性质筛选性质5. 周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 )0)(Re(de)(e11)(0s

19、ttftfTstsTL一般地，以一般地，以T为周期的周期函数为周期的周期函数f(t)，即，即f(t) =f(t+T)，当，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有在一个周期上是分段连续时，则有积分变换积分变换第第第2-2-2-272727页页页电子教案证明证明：TstskTTsuskTTkTusukTtTkkstdtetfedueufeduekTufdtetf000)(1)(T)()()()(但 0)1(T)1(T2T00)()()( )(L kTkk-stTkk-stT-stT-st-stdtetfdtetfdtf(t)edtf(t)edtetftf01( )1 t Tss Tf t edt

20、e0000 L ( ) e( )( )TskTstkTstskTkf tf t edtf t edte0)s (Re积分变换积分变换第第第2-2-2-282828页页页电子教案例例 求周期性三角波求周期性三角波btbtbbtttf220)(且且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)2tanh1e1e111)e1 (e11de)(e11)(22222202bssssttftfbsbsbsbsbstbsL解解 222020)e1 (1de)2(dede)(bsbbstbstbststtbttttf0)s (Re积分变换积分变换第第第2-2-2-292929页页页电

21、子教案常用函数拉氏变换对：常用函数拉氏变换对：(t)u(t) s1e kt ks1 122kskktsinktcos22kss积分变换积分变换第第第2-2-2-303030页页页电子教案2.2 2.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1. 线性性质线性性质若若a a, 是常数是常数 L L f1(t)=F1(s), Re(s) c1 ,L L f2(t)=F2(s), Re(s)c2 则有则有 L L a af1(t)+ f2(t)=a aF1(s)+ F2(s) L L 1a aF1(s)+ F2(s)=a af1(t)+ f2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出。此线性性质根据

22、拉氏变换的定义就可得出。例例f(t) = (t) + u(t)1 + 1/s， Re(s) 0 Re(s) max(c1,c2) 积分变换积分变换第第第2-2-2-313131页页页电子教案2. 微分性质微分性质若若f(t) F(s) 则则f (t) sF(s) f(0) f (t) s2F(s) sf(0) f(0) f(n)(t) 11( )0( )(0)Re( )nnniiis F ssfsc 若初值为零，若初值为零，f(0)=f(0)= =f (n-1) (0)则则 f(n)(t) snF(s) 此性质可以使我们有可能将此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化的微分方程转化为为F

23、(s)的代数方程。的代数方程。时域微分性质时域微分性质积分变换积分变换第第第2-2-2-323232页页页电子教案00000d|d( )( )eded( )e( )( )de(0)( )ed ( )(0)( )( )(0) (Re( )bbbaaastststststu vuvv uftfttf tf tf tfsf ttsf tfftsF sfsc 即LLL积分变换积分变换第第第2-2-2-333333页页页电子教案解解 由于由于 f(0)=1, f (0)=0, f (t)= k2cos kt, 则则22cos(Re( )0)sktsskL例例 利用微分性质求函数利用微分性质求函数f(t)

24、=cos kt 的拉氏变换。的拉氏变换。L -k2cos kt=L f (t)= s2L f(t)- sf(0)- f (0) 即即-k2L cos kt= s2L cos kt- s移项化简得移项化简得积分变换积分变换第第第2-2-2-343434页页页电子教案所以所以 L L m!=L L f(m)(t)=smL L f(t) sm 1f(0) sm 2f (0) . f(m 1)(0)1! !1!(Re( )0).mmmmmsmtss而所以LLL例例 利用微分性质利用微分性质, 求函数求函数f(t)=tm的拉氏变换的拉氏变换, 其中其中m是正整数。是正整数。解解 由于由于 f(0)= f

25、 (0)= . =f (m-1) (0)=0, 而而f (m) (t)= m!即即L m!=smL tm积分变换积分变换第第第2-2-2-353535页页页电子教案s域微分性质域微分性质若若L f(t)=F(s), 则则F (s)=L -t f(t), Re(s)c. 和和F (n) (s)=L (-t)n f(t), Re(s)c.000dd( )( )edddd( )ed( )eddstststF sf ttssf tttf tts 证明证明 因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以 调换次序调换次序例例 t u(t) ?2d11( )ds ss

26、积分变换积分变换第第第2-2-2-363636页页页电子教案例例 求函数求函数f(t)= t sin kt 的拉氏变换。的拉氏变换。2222222)(2ddsinsinkskskskskttkskktLL根据上述微分性质可知因为解解2222222222222222222)()(21)(2ddcoskskskskssksksskssskttL同理可得积分变换积分变换第第第2-2-2-373737页页页电子教案3. 积分性质积分性质时域积分性质时域积分性质若若L L f(t)=F(s)(1)(1d)(),()0()()(,0)0(),()(,d)()(00sFstfsttfthshthsthhtf

27、thttfthttLLLLL即有由上述微分性质且则有设)(1d)(0sFsttftL则)(1d)(dd000sFsttfnttnttt 次L证明证明积分变换积分变换第第第2-2-2-383838页页页电子教案000( )d( )ed d1( )( )eded( )( ),dd)d( )(dstssststsnsssnsF ssf ttsf tf tttttf ttf tssF sfsttF sst 次即一般地 有LLLs域积分性质域积分性质若若L L f(t)=F(s)，则，则积分变换积分变换第第第2-2-2-393939页页页电子教案例例 求函数求函数 的拉氏变换。的拉氏变换。tttfsin

28、)(sssssttss1arctanarctan2arctand11sin2解解11sin2st此公式常用来计算某些积分。此公式常用来计算某些积分。 000( )d,(2.10),0( )d( )d ,f ttstf ttF sst如果积分存在 按式 取则有202001sin ,1sin1ddarctan |12tsttssts则有L积分变换积分变换第第第2-2-2-404040页页页电子教案作业作业 2.1-1(1)(2)2.2-1(1)(2)积分变换积分变换第第第2-2-2-414141页页页电子教案若函数若函数f(t)满足满足:1） 在在t 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段

29、连续2） 当当t时时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数的增长速度不超过某一指数函数, 即存在即存在 常数常数M0及及c 0, 使得使得|f(t)| Mect， 0 tc拉普拉斯变换的存在定理拉普拉斯变换的存在定理MMectf(t)tO则存在则存在f(t)的拉氏变换的拉氏变换复复 习习积分变换积分变换第第第2-2-2-424242页页页电子教案周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 )0)(Re(de)(e11)(0sttftfTstsTL一般地，以一般地，以T为周期的周期函数为周期的周期函数f(t)，即，即f(t) =f(t+T)，当，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有在一个周期上是分段连续时，则有积分变换积分变换第第第2-2-2-434343页页页电子教案常用函数拉氏变换对：常用函数拉氏变换对：(t)u(t) s1e kt ks1 122kskktsinktcos22kss积分变换积分变换第第第2-2-2-444444页页页电子教案习题习题 2.1-1(1)(2) 求求Laplace变换变换0( )( )e dst