第八章压杆稳定

1、材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章 压杆稳定材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定构件的承载能力：构件的承载能力：强度强度刚度刚度稳定性稳定性 工程中有些构工程中有些构件具有足够的强度、件具有足够的强度、刚度，却不一定能刚度，却不一定能安全可靠地工作。安全可靠地工作。 木杆木杆 (a) (b) 横截面积横截面积 1cm 1cm 2cm 2cm 1cm 1cm 2cm2cm 杆长杆长 0.03m 1.4m 承载重量承载重量 6KN 0.1KN 问题提出：问题提出：

2、为什么截面积相同的杆件为什么截面积相同的杆件承载能力相差承载能力相差6060倍？倍？问题的提出问题的提出第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 房屋支撑结构房屋支撑结构第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定飞机起落架飞机起落架第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定第八章第八章

3、 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定第八章第八章 压杆稳定压杆稳定工程中的受压构件工程中的受压构件 材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章 压杆稳定材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念8-2 细长压杆的临界力细长压杆的临界力8-3 临界应力临界应力 临界应力总图临界应力总图8-4 压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算8-5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-1 压杆稳定的概念第八章第八章 压杆稳定压杆稳定一、

4、刚体平衡的概念一、刚体平衡的概念1. 1. 不稳定平衡不稳定平衡2. 2. 稳定平衡稳定平衡3. 3.中性平衡中性平衡（临界平衡、随遇平衡）（临界平衡、随遇平衡）稳定的平衡状态稳定的平衡状态二、压杆的稳定性二、压杆的稳定性当载荷较小时当载荷较小时：材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-1 压杆稳定的概念与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与不稳定问题。与不稳定问题。临界临界平衡状态平衡状态使细长杆保持微曲平衡状态的压力极限值称为使细长杆保持微曲平衡状态的压力极限值称为压杆的压杆的临界临界力力Fcr 。当载荷

5、达到当载荷达到某一特定值时某一特定值时：材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-1 压杆稳定的概念二、压杆的稳定性二、压杆的稳定性不稳定平衡状态不稳定平衡状态当载荷超过临界力时：当载荷超过临界力时：材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-1 压杆稳定的概念二、压杆的稳定性二、压杆的稳定性细长杆件承受轴细长杆件承受轴向压缩载荷作用向压缩载荷作用时，将会由稳定时，将会由稳定平衡状态到不稳平衡状态到不稳定平衡状态而发定平衡状态而发生失效，这种失生失效，这种失效称为效称为丧失稳定丧失稳定性（或失稳）性（

6、或失稳）(failure by lost stability)，又称，又称为为屈曲失效屈曲失效(failure by buckling)。 三、其它构件的稳定性问题三、其它构件的稳定性问题 除压杆外，受压力作用的薄壁构件也存在稳定性问题除压杆外，受压力作用的薄壁构件也存在稳定性问题8-1 压杆稳定的概念材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定三、其它构件的稳定性问题三、其它构件的稳定性问题三、其它构件的稳定性问题三、其它构件的稳定性问题材料力学材料力学 长沙理工大

7、学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定薄壁圆筒容器：薄壁圆筒容器：承受均匀外压的失稳承受均匀外压的失稳材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定三、其它构件的稳定性问题三、其它构件的稳定性问题 上述各种关于平衡形式的突然变化平衡形式的突然变化，统称为稳稳定失效定失效，简称为失稳或屈曲失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。 由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位

8、。材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-1 压杆稳定的概念1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。8-1 压杆稳定的概念材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-1 压杆稳定的概念第八章第八章 压杆稳定压杆稳定25四、压杆的临界压力四、压杆的临界压力临界状态临界状态临界压力临界压力: : Fcr过过 度度对应的对应的压力压力

9、五、理想压杆五、理想压杆材质均匀材质均匀理想直杆（无初始曲率）理想直杆（无初始曲率）压力沿杆件轴线作用，压力沿杆件轴线作用，无偏心无偏心要使构件不发生失稳，必须使构件的载荷小于临界力要使构件不发生失稳，必须使构件的载荷小于临界力Fcr问题：问题：如何确定压杆的临界力如何确定压杆的临界力Fcr? ?材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式第八章第八章 压杆稳定压杆稳定一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力: : F)(xMxww 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，图， 从挠曲线入

10、手，求临界力。从挠曲线入手，求临界力。材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-2 细长压杆的临界力第八章第八章 压杆稳定压杆稳定M (x) = Fw (x)22d( )dwM xFwxEIEI 0dd222wkxw2FkEI 假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力: :8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式常微分方程常微分方程材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系8-2 细长压杆的临界力第

11、八章第八章 压杆稳定压杆稳定0dd222wkxw常微分方程常微分方程通解为：通解为：sincoswAkxBkx若若A = 0，则则 y0，与直杆处于微弯状态矛盾，只能与直杆处于微弯状态矛盾，只能0sinkl于是得：于是得：), 2, 1, 0(nnkl2222nFklEI由式由式 得：得：222,0,1,2nEIFnl积分常数A、B应满足边界条件边界条件0,(0)0 xw x0B 0?A 那么，临界压力取多大？那么，临界压力取多大？22crEIFl8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式欧拉公式,()0 xlw xlsin0Akl 1: 为什么失稳问题说的是细长压杆？为什么失稳问题说的是细长压杆？第

12、八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-2 细长压杆的临界力8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式挠曲线近似微分方程在什么时候成立： p当 l 短时，Fcr ， p时，则为强度问题，非稳定性问题2: 惯性矩惯性矩 I 取大值还是取小值？为什么？取大值还是取小值？为什么？2min2crEIFl22crEIFl3： A为中点的横向位移，为什么A取任意值都可能满足条件？欧拉公式的精度如何？3: 为什么为什么n取取1？ 取取0或或2、3、4.是否合理？是否合理？ 第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-2 细长压杆的临界力8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式n=1n=2n=3n=4材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大

13、学 力学系力学系8-2 细长压杆的临界力第八章第八章 压杆稳定压杆稳定二、其它支座条件下细长压杆的临界力二、其它支座条件下细长压杆的临界力: :8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式： l：为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波

14、的长度，称为为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度有效长度(effective length)； ： 为反映不同支承影响的系数，称为为反映不同支承影响的系数，称为长度系数长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后的正弦半波长度），可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。欧拉公式 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。ll两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰

15、支一端铰支两端固定两端固定ll127 . 05 . 0约束情况约束情况长度系数长度系数压杆形状压杆形状材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-2 细长压杆的临界力8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-2 细长压杆的临界力 欧拉公式49123minm1017. 410121050I2min21()crIEFl48minm1089. 3zII2min22()crIEFl 例例 求下列细长压杆的临界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa.图(a)图(b)解：

16、图(a)图(b)kN14.67)5 . 07 . 0(20017. 422kN8 .76)5 . 02(200389. 0225010FLFL(4545 6) 等边角钢yz8-3 临界应力 临界应力总图第八章第八章 压杆稳定压杆稳定1、临界应力临界应力：压杆上外力达到临界压力时横截面上的应力。22()crcrEIFAlA中令 ，AIi )(ai 为截面对中性轴的。引入li ：称为压杆的柔度柔度（或长细比长细比）。无量纲量，反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。（a）式改写为：22Ecr一、临界应力一、临界应力2、对细长杆：对细长杆：22Eli22E欧拉公式的另一种表

17、达形式欧拉公式的另一种表达形式2()41()4diDi圆空心圆材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-3 临界应力 临界应力总图二、欧拉公式的适用范围和经验公式二、欧拉公式的适用范围和经验公式成立前提条件成立前提条件： pPcrE222PE取cr= P时的柔度值为P，则有PPE因此，欧拉公式的适用范围为P P的压杆称为大柔度杆，或细长杆。只有大柔度杆才能用欧拉公式求解。材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-3 临界应力 临界应力总图1、细长压杆细长压杆：直接利用欧拉公式求cr235=20620

18、0pQEGPaMPa例如：钢，；先求P，与材料性质有关。299.100PpE即，对用Q235钢制成的压杆，只有当 100时，才可用欧拉公式求临界应力。材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-3 临界应力 临界应力总图1、压杆的分类、压杆的分类：按柔度的不同，压杆分 大柔度压杆大柔度压杆 中柔度压杆中柔度压杆 小柔度压杆小柔度压杆 大柔度压杆（细长杆）大柔度压杆（细长杆）： cr P 222pcrpEE柔度应满足，临界应力 中柔度压杆（中长杆）中柔度压杆（中长杆）： P cr s 临界应力采用经验公式计算临界应力采用经验公式计算：211crcra

19、bab直线公式： 抛物线公式： 小柔度压杆（粗短杆）小柔度压杆（粗短杆）： s ,强度问题强度问题sp柔度应满足 cr = s 由于由于 P cr s ，对直线形式，临界柔度，对直线形式，临界柔度ssab材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定三、临界应力总图三、临界应力总图scrbacr22EcrcrPsosP8-3 临界应力 临界应力总图（细长杆）（细长杆）（中长杆）（中长杆）（粗短杆）（粗短杆）弹性屈曲弹性屈曲弹塑性弹塑性屈曲屈曲强度强度失效失效三、临界应力总图三、临界应力总图8-3 临界应力 临界应力总图材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理

20、工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定li2ppEssab如中柔度如中柔度压杆，误压杆，误用了欧拉用了欧拉公式计算公式计算出临界应出临界应力，与实力，与实际的临界际的临界应力比哪应力比哪个大？个大？材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定两根直径均为两根直径均为d的压杆，材料都是的压杆，材料都是Q235钢，钢，但二者长度和约束条件各不相同。试：但二者长度和约束条件各不相同。试：d =160 mm， E =206 GPa ,两两根杆的临界载荷。根杆的临界载荷。哪一根压杆哪一根压杆的临界载荷比较大？的临界载荷比较大？ 8-3 临界应力 临界

21、应力总图材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定分析两根压杆的临界载荷分析两根压杆的临界载荷4dAIili 从临界应力总图可以看出，对于从临界应力总图可以看出，对于材料相同的压杆，长细比越大，临界材料相同的压杆，长细比越大，临界载荷越小。所以判断哪一根压杆的临载荷越小。所以判断哪一根压杆的临界载荷大，必须首先计算压杆的长细界载荷大，必须首先计算压杆的长细比，长细比小者，临界载荷大。比，长细比小者，临界载荷大。 crcrabFFddilam204m51 0 5 9m18m4.bldid8-3 临界应力 临界应力总图材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理

22、工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定d =160 mm， Q235钢，钢， E =206 GPa ,确定两根杆的临界载荷确定两根杆的临界载荷 首先计算长细比，判断属于哪一类压杆：首先计算长细比，判断属于哪一类压杆： Q235钢钢 p=101二者都属于细长杆，都采用欧拉公式。二者都属于细长杆，都采用欧拉公式。2020m1250.16mad1818m112 50.16m.bd8-3 临界应力 临界应力总图对于两端固定的压杆，就有对于两端固定的压杆，就有2-32229crcr22160mm 10206GPa 104112.54EdFAkN10213N1021336.对于两端铰支的压杆，

23、就有对于两端铰支的压杆，就有2-32229crcr22160mm 10206GPa1041254EdFAkN102.60N106236 .材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-4 压杆的稳定性计算 本章前面几节所讨论的压杆，都是理本章前面几节所讨论的压杆，都是理想化的，即压杆必须是直的，没有任何初始想化的，即压杆必须是直的，没有任何初始曲率；载荷作用线沿着压杆的中心线；由此曲率；载荷作用线沿着压杆的中心线；由此导出的欧拉临界载荷公式只适用于应力不超导出的欧拉临界载荷公式只适用于应力不超过比例极限的情形。过比例极限的情形。 实际工程中的压杆大都

24、不满足上述理想实际工程中的压杆大都不满足上述理想化的要求。因此，实际压杆的设计都是以经化的要求。因此，实际压杆的设计都是以经验公式为依据的，这些经验公式是以大量实验公式为依据的，这些经验公式是以大量实验结果为基础建立起来的。验结果为基础建立起来的。 稳定计算常用方法稳定计算常用方法安全因素法安全因素法折减因素法折减因素法材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-4 压杆的稳定性计算 安全因素法安全因素法nst安全因素法稳安全因素法稳定性计算过程定性计算过程44求压杆柔度求压杆柔度，判定为哪一类压杆，判定为哪一类压杆求求cr求工作安全因素求工作安全

25、因素n，和规定的稳定，和规定的稳定安全因素安全因素nst比较比较材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-4 压杆的稳定性计算 折减因素法折减因素法根据与许用应力进行比较，引入：折减因素折减因素，随柔度增大而变小折减因素法折减因素法折减因素法折减因素法校核稳定性校核稳定性步骤：步骤：45求压杆柔度求压杆柔度，查表查表计算工作应力，进行比较，满足则安全计算工作应力，进行比较，满足则安全材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-4 压杆的稳定性计算稳定性设计稳定性设计（stability design）

26、一般包括：）一般包括：确定临界载荷确定临界载荷稳定性安全校核稳定性安全校核 当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性当外加载荷、杆件各部分尺寸、约束以及材料性能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。能均为已知时，验证压杆是否满足稳定性设计准则。 设计压杆的横截面尺寸设计压杆的横截面尺寸此时需用逐次逼近法，只能用折减因素法进行设计此时需用逐次逼近法，只能用折减因素法进行设计 当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类当压杆的材料、约束以及几何尺寸已知时，根据三类不同压杆的临界应力公式，确定压杆的临界载荷。不同压杆的临界应力公式，确定压杆的临界载荷。 材料力学材料力学 长沙理工大学长沙

27、理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-5 提高压杆稳定性的措施 提高压杆稳定性的措施，从考虑压提高压杆稳定性的措施，从考虑压杆的临界应力与哪些因素有关入手杆的临界应力与哪些因素有关入手.材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-5 提高压杆稳定性的措施 对于细长杆，其临界载荷与杆长平方成反比。因此，减小压对于细长杆，其临界载荷与杆长平方成反比。因此，减小压杆长度，可以显著地提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过杆长度，可以显著地提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过改变结构或增加支点可以达到改变结构或增加支点可以达到减小压杆长度

28、、提高压杆承载能力减小压杆长度、提高压杆承载能力的目的。的目的。 图示的两种桁架，其中的、杆均为压杆，但是左图中、图示的两种桁架，其中的、杆均为压杆，但是左图中、杆的长度大于右图中、杆的长度。所以，左图中桁架的承杆的长度大于右图中、杆的长度。所以，左图中桁架的承载能力，要远远高于右图中的桁架。载能力，要远远高于右图中的桁架。 材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-5 提高压杆稳定性的措施支承的刚性越大，压杆长度系数支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，值越低，临界载荷也就越大。例如，将两端铰支的细长杆，临界载荷也就越大。例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将增加数倍。变成两端固定约束的情形，临界载荷将增加数倍。 材料力学材料力学 长沙理工大学长沙理工大学 力学系力学系第八章第八章 压杆稳定压杆稳定8-5 提高压杆稳定性的措施 当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件时，压当压杆两端在各个方向上都具有相同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时如果只增加截面某杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时如果只增加截面某个方向的惯性矩（例如，增加矩形截面高度），并不能提高个方向的惯性矩（例如，增加矩形截面高度），并不能提高压杆的承载能力。最经济的办法是将截面设计成中空的，并压杆的承载能力。最经济的办法是将截