空间向量与空间角

1、空间向量与空间角2空间角角的分类定义范围异面直线所成的角设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.(0，90直线与平面所成的角直线与它在这个平面内的射影所成的角.0，90二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.0，180空间角的向量求法 1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错答案：C2设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于()A45 B3

2、0C90 D60解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，1,0)，答案：D3向量a(0，1,3)，b(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为_ 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值求异面直线所成的角，可以先建立空间直角坐标系，求出直线AM与NC的方向向量的坐标形式，再利用向量的夹角公式计算即可 异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D结结论论：coscos,CD AB |题题型型一：线线角一：线线

3、角归纳归纳 题后感悟题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的角？如何用坐标法求异面直线所成的角？方法一方法一(1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角所成的角方法二方法二 ：利用异面直线角的定义。：利用异面直线角的定义。2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD

4、中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值直线与平面所成角的范围： 0,2ABOn结结论论：sincos, n AB |题题型型二：线面角二：线面角归纳归纳如图，已知正三棱柱如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是各棱长都是4，E是是BC的中点，动点的中点，动点F在侧棱在侧棱CC1上，且不与点上，且不与点C重重合合(1)当当CF1时，求证：时，求证：EFA1C；(2)设二面角设二面角CAFE的大小为的大小为，求求tan 的最小值的最小值 例例3第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 试试高考题：2014辽宁高考（18题）。已知：

5、和 所在平面互相垂直，AB=BC=BD=2，ABC= DBC= ，E,F分别是AC,DC的中点求证：EFBC.求二面角E-BF-C的正弦值ABCBCD0120ABCD变式训练3 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值 题后感悟如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小 4.底面为平行四边形的四棱锥底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，中，ABAC，PA平面平面ABCD，且，且PAAB，E是是PD的中点，求平面的中点，求平面EAC与平面与平面ACD夹角的余弦夹角的余弦值值 解析：方法一：如右图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设PAABa，ACb，变式训练5小结：小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n