常用概率分布

1、1第四章 常用概率分布2第一节 正态分布Normal Distribution3p定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为p其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布， 记为xN(,2)。相应的概率分布函数为正态分布(normal distribution)222)(21)(xexfxxdxexF222)(21)(4正态分布正态分布1.正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=；2.f(x) 在 x = 处达 到 极 大 ， 极大值 ； 3.f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+4.曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+) 区间上是下凸的，在-

2、,+区间内是上凸的21)(f5正态分布正态分布p正态分布有两个参数，即平均数和标准差6正态分布正态分布p分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，121)(222)(dxexPx7标准正态分布(standard normal distribution)p=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)p随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1)2221)(ueudueuuu22121)(8标准正态分布标准正态分布p对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换u=(x-) 将 其变换为服从标准正态分布的随机变量upu称为标准正态

3、变量或标准正态离差(standard normal deviate)9三、正态分布的概率计算三、正态分布的概率计算 设设u服从标准正态分布，则服从标准正态分布，则 u 在在u1,u2 ）何内取值的概率为：何内取值的概率为： (u2)(u1) 而而(u1)与与(u2)可由附表可由附表1查得。查得。 dueduedueuuuPuuuuuuu122221221212121212121)(10标准正态分布标准正态分布p正态分布的对称性可推出下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地计算有关概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu11-2

4、(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1)11计算计算p已知uN(0，1)，试求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =?12计算计算查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.3038913p关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：P

5、（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P (-2.58u2.58)=0.9914计算计算u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P(u2)=2(-2) =1- P（-2u2） =1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01 15由表42可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而

6、可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的 16双侧概率和单侧概率双侧概率和单侧概率p随机变量随机变量x落在平均数落在平均数加减不同倍数标准差加减不同倍数标准差区间区间之外的概率称为双侧概率之外的概率称为双侧概率(两尾概率两尾概率)，记作，记作。对。对应于双侧概率可以求得随机变量应于双侧概率可以求得随机变量x小于小于-k或大或大于于+k的概率，称为单侧概率的概率，称为单侧概率(一尾概率一尾概率),记作记作/2。例如，。例如，x落在落在(-1.96,+1.96)之外之外的双侧概率为的双侧概率为0.05，而单侧概率为，而单侧概率为0.025。P(x+1.96)=0.02517px落在落在

7、(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为之外的双侧概率为0.01，而单侧概率，而单侧概率P(x+2.58)=0.00518第二节 卡方分布Chi-square Distribution19定义定义p如果随机变量如果随机变量z zi i( (i i = 1, ., = 1, ., n n) )为相互独为相互独立，都服从标准正态分布，则定义：立，都服从标准正态分布，则定义： , , i i = 1, ., = 1, ., n n 变量变量 2 2服从自由度等于服从自由度等于n n卡方分布（卡方分布（chi chi square distributionsquare distribution）。）

8、。 iiz2220卡方分布曲线卡方分布曲线图图4-1 不同自由度下的不同自由度下的2分布分布图图4-2 2分布的分布的上侧和下侧分位数上侧和下侧分位数示意图示意图 21卡方分布特征卡方分布特征1.卡方分布于区间卡方分布于区间0，+ )，并且呈反，并且呈反J形形的偏斜分布。的偏斜分布。2.卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。时，曲线以纵轴为渐近线。3.随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当对称，当df 30时，卡方分布已接近正时，卡方分布已接近正态分布。态分布。 2

9、2第三节t分布23定义定义p如果如果zN(0,1), 2服从自由度等于服从自由度等于n的卡方分的卡方分布布, 则则为自由度为为自由度为n的的t分布分布pt分布的形状与正态分布相似分布的形状与正态分布相似nzt224t 分布分布不同自由度下的不同自由度下的t分布分布 t分布双侧分位数示意图分布双侧分位数示意图 25t 分布密度曲线特点分布密度曲线特点pt分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分分布密度曲线。布密度曲线。pt分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。时，分布密度函数

10、取得最大值。p与标准正态分布曲线相比，与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。越小这种趋势越明显。df越大，越大，t分布越趋近于标准正态分布。当分布越趋近于标准正态分布。当n 30时，时，t分布与分布与标准正态分布的区别很小；标准正态分布的区别很小；n 100时，时，t分布基本与分布基本与标准正态分布相同；标准正态分布相同；n时，时，t 分布与标准正态分分布与标准正态分布完全一致。布完全一致。26第四节F分布27定义定义28F分布图分布图 (2,6)(6,10)(10,20)29F分布有以下特征分布有以下特征pF分布

11、的平均数等于分布的平均数等于1，取值区间为，取值区间为0，+ )。pF分布曲线的形状仅决定于分布曲线的形状仅决定于df1和和df2。当。当df1=1或或2时，时，F分布曲线呈严重倾斜的反向分布曲线呈严重倾斜的反向J形，当形，当df1 3时，转为左偏曲线。时，转为左偏曲线。30第五节样本平均数的抽样分布31定义定义p样本变异性样本变异性(sampling variability)：简单随机样本平均数间存在差别。或抽样简单随机样本平均数间存在差别。或抽样误差误差(sampling error)p样本分布样本分布(sampling distribution)：指样本的概率分布。指样本的概率分布。32

12、样本平均数的分布样本平均数的分布p从从N个总体中随机抽取样本含量为个总体中随机抽取样本含量为n的样本，的样本，共抽共抽m次，求样本平均数的分布次，求样本平均数的分布(sample distribution for the mean)。p计算每个样本的平均数计算每个样本的平均数p列出每次抽样的平均数，并列出每个平均列出每次抽样的平均数，并列出每个平均数的频率数的频率直观观察直观观察33例题例题1p一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样本的样本平均数和方差本的样本平均数和方差12345611,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,622,1 2,2 2,3 2,4

13、2,5 2,633,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,644,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,655,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,666,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,634例题例题 2平均数平均数频率频率相对频率相对频率1.010.0281.520.0562.030.0832.540.1113.050.1393.560.1674.050.1394.540.1115.030.0835.520.0566.010.028总和总和361.00035样本平均数的分布样本平均数的分布 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.

14、036定理定理p情况情况1. 如果总体服从正态分布，平均数为如果总体服从正态分布，平均数为 ，方差为，方差为 2，样本含量为，样本含量为n，则样本为：，则样本为：n正态分布正态分布n平均数等于平均数等于 n方差等于方差等于 2/n，SQRT（ 2/n ）称为平均）称为平均数的标准差数的标准差(standard error of the mean), 或简称标准误或简称标准误37定理定理p情况情况2：当总本：当总本不是不是服从正态分布，平均数服从正态分布，平均数为为 ，方差为，方差为 2，样本含量为，样本含量为n，则样本为：，则样本为：n近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。与总体分布的形状有关。一