利用零点分段法解含多绝对值不等式

1、实用文案标准文档利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法一一零点分段讨论法.一、步骤通常分三步：找到使多个绝对值等于零的点.分区间讨论，去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为 n+ 1段进行讨论.将分段求得解集，再求它们的并集.二、例题选讲例1求不等式|x + 2| + |x 1| > 3的解集分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间,再分别讨论而去掉绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式.解:叶 2| =%:(Xx 2 (x2)2)，|X11 =(x 1)(x 1)故可把全体实数x分为三个部分：x

2、v 2，2 WX v 1，x >1.所以原不等式等价于下面三个不等式组:x 2(I )，或(n)x 2 1 x 32 x 1，或(川)3x 2 1 x 3不等式组（I ）的解集是x|x v 2,不等式组（n）的解集是，不等式组（川）的解集是x|x > 1.综上可知原不等式的解集是x|xv 2或x> 1.例 2 解不等式 |x 1| + |2 x|>3 x.解：由于实数1 , 2将数轴分成(0, 1, (1 , 2 , (2 ,+ )三部分，故分三个区间来 讨论. 当xwi时，原不等式可化为一(x 1) (x 2) >x + 3，即x v 0 故不等式的解集是 x|

3、xv 0. 当1 v XW2时，原不等式可化为(x 1) (x 2) >x + 3,即卩xv 2 故不等式的解 隹阜 集是 . 当x>2时，原不等式可化为(x 1) + (x 2) >x + 3，即x > 6 .故不等式的解集是x|x > 6.综上可知，原不等式的解集是x|xv 0或x> 6.例3已知关于x的不等式|x 5| + |x 3| v a的解集是非空集合，求a的取值范围.解：T x = 5 时，|x 5| = 0 ; x = 3 时，|x 3| = 0 .当xW3时，原不等式可化为一 x+ 5 x+ 3 v a，即a> 8 2x，由xW3，所

4、以一2x 6，故 a > 2 .当3 vx<5时，原不等式可化为一 x+ 5 + x 3 v a，即a>2 .当x> 5时，原不等式可化为 x 5 + x 3 v a，即卩a> 2x 8 > 10 8 = 2，故a >2 . 综上知a > 2 .无理不等式与绝对值不等式考试目标主词填空1. 含有绝对值的不等式 |f(x)|< a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是一a<f(x)<a. |f(x)|> a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)< a. |f(

5、x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x).2. 无理不等式对于无理不等式的求解,通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解其基本类型有两类: f(x) g(x)g(x) 02 或 g(x) 0f(x) g(x) f(x) 0 一 f(x) g(x)f(x) 0 g(x) 0f(x) g(x)3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解5.三角不等式|a| |b|w|a土b|w|a|+| b|,此不等式可推广如下：|ai+ a2 + a3+ -+an|弓ai|+| a2|+| a3|+ -+| an

6、|当且仅当ai ,a2,a3,an符号相同时取等号题型示例点津归纳【例1】解无理不等式. X 1 >2;(2) . x 1 >2 x 4;(3) x 1 <2 x+1.x 10【解前点津】(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组：x 14(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论x 1 0x 1【规范解答】(1)化原不等式为：x 5.x 1 4x 5x 10(2)化原不等式为：2x 40或4)2x 102x 4 0x 2或 x 14x217x 170 x 22 x或1 x 2817 i.178(x 1)(2x(3)化原不等式为两个不等式组

7、x 102x 10x 1(2x 1)2x 11x24x2 3x 0【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多 精力【例2】解下列含有绝对值的不等式：(1) |x2-4| Wx+2;(2) |x+1|>|2 x- 1|;(3) |x - 1|+|2 x+1|<4.【解前点津】可直接去掉绝对值符号，转化为一(x+2) <x2- 4 w(x+2);(2)两边平方,1去掉绝对值符号;(3)当x=1, 时,有x 仁0及2x+仁0,故可分段讨论，去掉绝对值符号2【规范解答】(1)

8、原不等式可化为：-x2 x 20 x 2 或 x 1(x+2) <x2 4 Wx+2x2 x 6 02 x3故原不等式的解集为1,3 U 2.化原不等式为 |x+1|2>|2x 1|2(2x 1)2 (x+1)2<0.(2x 1+ x+1) (2x 1 x 1)<03x (x 2)<00< x<2.1令x 仁0 得x=1,令2x+仁0 得x=.212时，原不等式可化为:(X 1) (2x+1)<41X 23x 41当X ,1时，原不等式可化为：一(X 1)+(2 x+1)<4.21<x <1.2X 14当X (1,+ 8)时，原

9、不等式可化为：(x 1)+(2 x+1)<4,故由1 X -.3x 43综上所述知4 43,3为原不等式解集【解后归纳】解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段？分几段？这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.【例3】 若不等式 X ax 3的解集是(4,m),求a,m的值.【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y= x (x>0)及y= ax+ - (x>0)的图像.若y= x的图像位于y= ax+ -图像的上方，则与之对应的x的取值范围就是不等式的解 .2

10、3【规范解答】 设y1= x，它的图像是半条抛物线；y2= ax+ (x>0),它的图像是经过点23(0, 3),斜率为a的一条射线不等式.x axI的解即当yi= x的图像在Iy2= ax+ 2 (x>0)的图像上方时相应的的取值范围，因为不等式解集为x ax 1 得：.4 4a -2 2(4, m),故方程一 x21 a .84,将x=4代入再求方程.x x 1的另一个解，得X=I6,即m=36.8 2【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像， 且图像必 须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集【例 4 】解不等式 |log2X| +

11、 |IO g2(2 x)| >1.【解前点津】 从x的可取值范围入手，易知0< x<2,当x分别在0,1及(1,2)上取值时, 可同时去掉两个绝对值符号【规范解答】-.x>0且2 x>0故0<x<2时不等式才有意义当x 0,1时，因log2X<0,lo g2(2 x)>0,故此时原不等式为2 xIog2x+lo g2(2 x)>1Io g2>lo g22x2 x 2x2Ox.0x13当x (1,2)时,因为log2X>0,lo g2(2 x)<0,故此时原不等式为Io g2X lo g2(2 x)>1Iog2&

12、gt;lo g22x 2(2 x)2 4故原不等式的解集为0,23 3从而转化为分式不等式【解后归纳】本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号组.5.2.3无理不等式的解法、引入：1、无理不等式的类型:、f(x) . g(x)型g;x; o定义域f(x) g(x)、f (x) g (x)型g(x) f(x) f(x)oo 或g(x)2g(x)f(x),f(x) o、f(x) g(x)型g(x) of(x) g(x)2、典型例题: 例1、解不等式 3x 4 x 3 o6«仪旺ul6L L l xlcxl'v¥>KS，寸匡CXIX 寸 X9XCXI'>

13、;¥>KSo匡xo 寸ICXIX"IXr¥>KS£ 匡实用文案三、小结：四、反馈练习：解下列不等式1 .,2x 3、3x 5 5x 62. 3x 3、x 3 3x x 33. 、4 J x 2 x4. (x 1) . x2x 20标准文档第6课无理不等式与绝对值不等式习题解答1. C对a=3进行检验，考虑不等式的几何意义.2. C利用x>0,化简另一个不等式.3. D由 0< . x 3 <10< x- 3<13< x<4.1 J74. B由 4 x2>0 且 x+1>0 且 4 x2&l

14、t;( x+1) 22< x<2.5. B 分别画出：y=心2 x2，与y=2x+a的图像，看图作答.6. B|x a|<s,|y a|< &|x y|=|( x a)(y a)|<x a|+|y a|<e+e=2e,当 |x y|<2 e 时不能推出 |x a|< e 且y a|< e.7. A 若 0< a< b< c,且 Ig a<lg b<lg c,又因为 |lg a|>|lg c|>|lg b |>0, ac 1 (a+ c)= ac+1 a c=(c 1) (a 1)<

15、;0, ac+1< a+ c.8. B 因 x>0,当 log 2x<0 时，不等式成立，此时 0< x<1;当 log 2x>0 时,|2x+log 2x|=2 x+|log 2x|.9.B, 4 x-，当 0< x<2时，不等式成立，另由x2x02x04 x21 02<3 x 0.4 x2110. 由(|x| 1) (|x| 3)<01<| x|<3 x ( 3, 1) U (1,3).11. 由 x >0 知,x x 2 <0,( 2)(“'匚+1) <00 <Vx <20 &l

16、t;x<4.12. 考察 y= 1 x2 ,y=x+ a 的图像，即直线 y=x+ a 在半圆 x2+ y2=1( y >0)上方a ( . 2 ,+g).3x0 亠 x30,、13. (1)化原不等式为：或1< x<3或x>3 x>1.x 3(3 x) 3x0x1x 10(2)化原不等式为：2J 2J 21 2x20x2 2 2 2 (x 1)2 1 2x23x2 2x 0原不等式解集为:¥ I 。，乎14.原不等式等价于x 2x15 x 2x 355 2x 3 111解之:x< 7或<XW5或x>5,故原不等式解集为:(s，-7) U (- ,+ a).3315. 由 a (a x)>0x <a.aa(1) 当x> 时,a 2x<0,不等式成立，故<