函数与方程的思想是中学数学的基本思想

1、【教育类精品资料】 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 函数的思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析函数的思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想在解题中的应用主要表现在以下两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在以下两个方面： 是借助有关初等函数的性质

2、，解有关求值、解（证）不等式、解方程是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题上；以及讨论参数的取值范围等问题上； 是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。 的的值值，求求实实数数上上的的最最大大值值为为在在区区间间已已知知函函数数bb,b0)(bbxxxf2225149433)( b b 1关键是弄清什么时候取得最大值关键是弄清什么时候取得最大值

3、3)21()( 224bx3xf已已知知二二次次函函数数配配方方，得得由由21 xxy时时，即即当当2321121b-(1) bb211 2b所所以以253)21(| )(max 24bfxf矛矛盾盾与与2321 b 的的值值，求求实实数数上上的的最最大大值值为为在在区区间间已已知知函函数数bb,b0)(bbxxxf2225149433)( b b 1关键是弄清什么时候取得最大值关键是弄清什么时候取得最大值3)21()( 224bx3xf 已已知知二二次次函函数数配配方方，得得由由21 xxy时时，即即当当21021(2) bb2)23()( bbf所所以以 上上递递减减，在在bbxf 1 ,

4、)(25 的的值值，求求实实数数上上的的最最大大值值为为在在区区间间已已知知函函数数bb,b0)(bbxxxf2225149433)( b b 1关键是弄清什么时候取得最大值关键是弄清什么时候取得最大值3)21()( 224bx3xf 已已知知二二次次函函数数配配方方，得得由由21 xxy时时，即即当当23121(3) bb，所所以以254159)1(2 bbbf 上上递递增增，在在bbxf 1 ,)(22325 bb或或解解得得（舍舍去去）25 b综综上上可可得得 的的值值，求求实实数数上上的的最最大大值值为为在在区区间间已已知知函函数数bb,b0)(bbxxxf2225149433)( 1

5、2 ?,202 , 17)2()(bbx3xf2求求的的最最大大值值为为在在区区间间 2bx xy104或或答案：答案： b 的取值范围的取值范围恒成立，试确定恒成立，试确定正整数正整数的的对于大于对于大于已知不等式已知不等式anannna1321log121212111 的的取取值值范范围围关关键键是是确确定定nnn212111 nnnnf212111)( 构造函数构造函数 )()1(nfnf nnn212111 221121213121nnnnn221121 nn0 ,)(为增函数为增函数所以所以nf127)2()( fnf从而从而0111)()1(11111)(0)( , 1)(222

6、nnnnfnnnnnnnnfnfnf个个 的取值范围的取值范围恒成立，试确定恒成立，试确定正整数正整数的的对于大于对于大于已知不等式已知不等式anannna1321log121212111 ,)(为增函数为增函数所以所以nf127)2()( fnf从而从而 恒恒成成立立，正正整整数数的的对对于于大大于于要要使使nannna1321log121212111 ,127321log121 aa必须必须 11log即即 aa的的取取值值范范围围关关键键是是确确定定nnn212111 2511 a解得解得aa1log 03682542,0543322), 1155 xxxaaxxxxx、解解不不等等式式

7、的的取取值值范范围围求求恒恒成成立立不不等等式式、对对否否取取到到恒恒成成立立问问题题中中的的端端点点能能2 , 1 )()4(2 , 1 )()3()2 , 1()()2()2 , 1()()1( xfaxfaxfaxfa1 a1 a1 a1 a的的取取值值范范围围。，求求，如如果果；，求求证证：的的对对称称轴轴为为，函函数数如如果果和和的的两两个个实实数数根根为为设设方方程程，、已已知知二二次次函函数数bxxxxxxxfxxxxxxfarbabxaxxf22)2(1)(42)1()()0(1)(1210021212 特特征征去去等等价价转转化化。因因此此可可以以考考虑虑利利用用图图象象间间

8、，的的两两个个实实数数根根所所在在的的区区实实际际上上给给出出了了条条件件xxfxx )(42)1(21；，求求证证：的的对对称称轴轴为为，函函数数如如果果和和的的两两个个实实数数根根为为设设方方程程，、已已知知二二次次函函数数1)(42)1()()0(1)(0021212 xxxxfxxxxxxfarbabxaxxf2120)(, 1)1()()(xxxgxbaxxxfxg和的两根为则设 xyo24x1x2，及及由由420)1(21 xxa 0341601240)4(0)2(babagg，即即可可得得 043224043233aabaab即即1120 xab，所所以以两两式式相相加加得得的的

9、取取值值范范围围。，求求，如如果果和和的的两两个个实实数数根根为为设设方方程程，、已已知知二二次次函函数数bxxxxxxxfarbabxaxxf22)2()()0(1)(121212 2120)(, 1)1()()(xxxgxbaxxxfxg和和的两根为的两根为则则设设 1112441)2(22212 baaabxx，可可得得由由等价于等价于，所以，所以又又220112112xxxaxx 111220221baxx 111202212baxx或或的的取取值值范范围围。，求求，如如果果和和的的两两个个实实数数根根为为设设方方程程，、已已知知二二次次函函数数bxxxxxxxfarbabxaxxf2

10、2)2()()0(1)(121212 2120)(, 1)1()()(xxxgxbaxxxfxg和和的两根为的两根为则则设设 111220221baxx 111202212baxx或或 11120)0(0)2(2bagg即即 11120)0(0)2(2bagg或或4741 bb或或解得解得oxy-22x1x2x1x2总结总结1、函数考查一般是：一、给出函数利用图象和性质解决问题；二、构造、函数考查一般是：一、给出函数利用图象和性质解决问题；二、构造函数解决问题；函数解决问题；2、在解决函数问题时要多用图象和性质，特别是图象，利用它可以更直、在解决函数问题时要多用图象和性质，特别是图象，利用它可以更直观，更容易的解决问题；观，更容易的解决问题；3、二次函数并不一定是在、二次函数并不一定是在b/2a的时候取到最大值，要看所给区间是否的时候取到最大值，要看所给区间是否包括它；包括它；4、对于恒成立问题，要注意端