北师版数学高二-1平面直角坐标系学案

1、高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版 MATHEMATICS第一章坐标系精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标（有序数组）、曲线与方程建立了联 系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐 标系下的方程也有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同 的坐标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点 内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.【学习目标】1. 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2通过具体例子，了解在平面直角

2、坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的 方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程 刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐 标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.【学习计划】内容学习重点建议学习时间平面直角坐标系坐标系的选择；直角坐标系下的伸缩 变换2课时极坐标系极坐标的概念1课时点的极坐标与直角坐

3、标的互化1课时直线和圆的极坐标方程1课时曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1课时圆锥曲线统一的极坐标方程1课时柱坐标系和球坐标系两种坐标系的概念2课时§1平面直角坐标系歹自主预习课前预习区1. 坐标系(1) 坐标法：根据儿何对象的特征,选择适当的坐标系，建立它的方程,通过方 程研究它的性质及与其他儿何图形的关系.(2) 坐标法解决儿何问题的“三步曲”：笫一步，建立适当坐标系，用坐标和方 程表示问题中涉及的21迥元素，将儿何问题转化成代数问题；第二步，通过代 数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成儿何结论.2. 平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与

4、坐标(有序实数对),曲线与方程建立 联系，从而实现数与形的结合.3. 平面直角坐标系中的伸缩变换(1) 平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐拯 伸缩变换，这就是用代数方法研究儿何变换.(2) 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x, y)是平面直角坐标系中任意一2>0点，在变换企_ 工 的作用下，点Pg刃对应到点P0称聲为“>0平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【思维导图】平血育角/标系A点< »坐标 曲线"方程坐标和方程的变化伸缩变换【知能要点】1回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2了解建立坐标系的方法和原

5、则.3.坐标伸缩变换卩：1#=如“>0尹讲练互动 !课堂讲练区题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐 标系的创建，在代数和儿何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地 用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位 置它使儿何概念得以用代数的方法来描述，儿何图形可以通过代数形式来表 达，这样便可将抽象的代数方程用形象的儿何图形表示出来，乂可将先进的代 数方法应用于儿何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常 需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆Oi与圆02的半径

6、都是1, IOQ2l=4, 过动点P分别作圆Oi、圆。2的切线PM、PN（M、N分别为切 点），使得ipmi=3ipni,试建立适当的坐标系，求动点P的 轨迹方程.分析 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的 坐标，由几何关系式：PM = y2PN , EI1IPMI2 = 21PM2 ,结合图形由勾股定理转化为IPOil2 - 12 = 2（IPO2I2卩）.设P（x , y）,由距离公式写出代数关系式,化简整 理可得.解 以06的中点O为原点，302所在的直线为兀轴，建立如图所示的平面直 角坐标系,则 01(-2, 0), 6(2, 0).山已知IPMI=V2IP;

7、VI,得IPM|2 = 2I/W|2.因为两圆的半径均为1,所以IPO1|2-1=2(IPO2|2-1). 设 P(x, y),则(兀+2)2+护_1=2,即(x-6)2+y2 = 33,所以所求轨迹方程为（x6）2+尸=33（或疋+）21"+3 = 0）【反思感悟】本题求点的轨迹,考查建坐标系和数形结合思想,利用勾股定 理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.冷变式迁移1.一种作图工具如图所示Q是滑槽A3的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处较链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽A3滑动，HDN=ON =1, MN=3当栓子£在滑槽A3内作往复运动时，带

8、动"绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画岀的曲线记为C.以O为原点，A3所在的直线 为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.试求曲线C的方程.图精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版解 设点 D(人 O)(I/IW2), Ng 为)，y),依题意,MD=2DN,且I爾=I脚=1,所以tXy y) = 2(XQt9 yo),(x0/) 2+yo=l911U+yS=l tx=2xo2t9 即且 /(r2to)=O.J=_2yo,由于当点D不动时，点N也不动，所以f不恒等于0, 于是t=2xo,故xo=£ yo=2-代入易+刃=1,可得召+£=1，

9、即所求的曲线c的方程为看+£=1【例2】如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-l, 3), B(-3, -2), C(4, -2), D(3, 4),求四边形ABCD的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标点的坐标还可 以表示点到坐标轴的距离（点, b）到x轴的距离为,到y轴的距离为01）,从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD分割成两个三角形和一个梯形,其中3E的长度等于3到y轴的 距离减去A到y轴的距离,AE的长度为A到x轴的距离加上B到x轴的距离, 依此类推可以求出DF , CF , EF的长度,从而求出四边形ABCD的面积.解 作AE丄BC,

10、DF丄BC.垂足分别为E、F.Sbe=BEAE=2X5厂 CFDF 1X65=5; Smdf= 5= 5=3:(AE+DF)EFS祸形AEFD =所以四边形ABCD的面积为5 + 22 + 3 = 30.【反思感悟】本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形 中的垂直关系，将原图形分割求得面积.羚变式迁移2. 直角梯形的上、下底边分别为12和15,两腰分别为3羽和6,选择适当的 坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D为原点，CD边所在直线为x轴，建立平 面直角坐标系，则 A(0, 3羽)，5(12, 3羽),C(15, 0), D(0, 0), IBDI =

11、3y/19.平面儿何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换,学习中可结合坐标间的题型二坐标伸缩变换精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版对应关系理解在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐 标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线, 而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版(l)5x+2y=0； (2)疋+于=1分析 根据变换公式,分清新旧坐标即可.解(l)lll伸缩变换得X 2>x

12、f 9精心校对版本高中数学打印版将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5V+3/=O. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线.x2xf将| o :代入x2+/=i,l)=3y11-匸1一9,2得到经过伸缩变换后的图形的方程是计4经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】伸缩变换要分清新旧坐标,直接利用公式即可,变换后的新坐标 用X，)俵示.为变式迁移3伸缩变换的坐标表达式为,:；.曲线C在此变换下变为椭圆宀討求曲线C的方程.解设P(x, y)为曲线C上任意一点.v/2把代入+怙=1,得*+尸=1故曲线C的方程为界+尸=1矿=4丫【例4】求满足下列图形变换的伸缩变换：山曲线4疋+9尸

13、=36变成曲线+严分析 求满足图形变换的伸缩变换,实际上是求出其变换公式,将新旧坐标分 清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆 或椭圆.解 设变换为仁一/可将其代入第二个方程, ly “>o，得岛2+“2于=与4x2+9y2 = 36比较，将其变为芬+知=1,即討+护=1,比较系数得精心校对版本高中数学打印版即将椭圆4/+9护=36上的所有点横坐标变为原来的£纵坐标变为原来的*, 可得到圆xr2+y2=i.【反思感悟】对于图形的伸缩变换问题,只要搞清新旧坐标,区别XQ和八y比较公式中的系数即可.羚变式迁移4.在同一平面直角坐标系中，将曲线壬一36护

14、一8_¥+12=0变成曲线A-,2-y2-4V + 3=0,求满足图像变化的伸缩变换.解 x2-36/-8x+12=0 可化为精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版严_卩2_4疋+3=0可化为精心校对版本高中数学打印版(y-2)2-y2=i.比较两式得北一 2=牛,yf=3y.故所求伸缩变换为:精心校对版本高中数学打印版3=3yh课堂达标全当堂达标区 1 已知一条长为6的线段两端点A、3分别在x、y轴上滑动，点M在线段 上，且AM：MB= ：2,求动点M的轨迹方程.解(代入法)设 A(a, 0), 3(0, b), M(x, y),VL4BI = 6, :.a2+b2

15、= 36.f1a+2X0 240=3y X=jTM分A3的比为*,<1+2将式代入式，化简为看+£=】2已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60。的方 向埋设一条地下管线m但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W. 根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周圉100米范圉划为禁区.试问： 埋设地下管线川的讣划需要修改吗？解解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线加的相对位置，如图所 示，y /皿以A为原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐 标系，则4(0, 0), 3(1000, 0).111 W位于A的西北方向及

16、IAW1=4OO,得W( 2002, 20丽,由直线加过8点且倾斜角为90°-60°=30°,得直线加的方程 是1 000 = 0.于是，点W到直线加的距离为1一200迈一羽20血+1 00012= 100（5边一&）1136>100,所以，埋设地下管线加的汁划可以不修改.3阐述山曲线y=tanx得到曲线y=3tan 2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解y=tanx的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的*,得到），=tan2x,再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线）=3tan2儿设心",变换公式为仁” 将其代入y-3t

17、an 2Z得教材链接 禅钱解惑区1 在平面直角坐标系中，圆心坐标为（2, 3）, 5为半径的圆的方程是什么？2 在平面直角坐标系中，以（方）为圆心，厂为半径的圆的方程是什么？ 答（x a）2 + （y b）2 = r 我国1990年至2000年的国内生产总值如表12（单位：亿元）表1一2年份19941995199619971998生产总值43 80057 73367 79574 77279 553年份19992000200120022003生产总值82 05489 40495 933102 398116 694选择适当的平面直角坐标系，根据表12画出统计图，与同学交流，观察各自的 特点.答统计

18、图100 (XX)90 (XX)80 00070 00060 00050 ()0040 0001994 1995 1996 1997 1998 1999 2(XM) 2(X)1 2002 2003精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版从表中统计数据可看到,我国的生产总值年年增长,1994- 1997年增长较快, 1997-2001年放慢了增长速度,2001年之后又以较快的速度增长.1观察例3（2）中y=sin x的图像与中y=2sin 3x的图像，讨论它们的关系？ 答y = 的图像和y = 2sin的图像可以通过伸缩变换相互得到：纵坐标不变V = sin x的图像厂 得T = s

19、i" 3x的图像横坐标缩短为原来的扌横坐标不变得y = 2sin 3a的图像. 纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y = 2sin 3x的图像得y = sin 3x的图纵坐标缩短为原来的*纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得v = sin x的图像2 试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数）心心）与函数y = /（A）（其中0，/0）图像之间的关系为：纵坐标不变，横坐标缩短为原来的+得到 的图像'纵坐标不变，横坐标伸长为原来的少倍得到=/（/）的图像W横坐标不变，纵坐标伸长为原来的“倍横坐标不变纵坐标缩短为原来的丄得到它们的图像可以通过伸缩变换相互得到.【规律

20、方法总结】1建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方 程.2利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.xf=）jc （A>0）,4在伸缩变换，（的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为ly=Q （>o）双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.课时作业课后叽固区精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版一、选择题2ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是（一1, 2）、（3, 0）、（5, 1）,则点D的坐标是（）A.(9, -1)C(l, 3)B

21、.(-3, 1)D.(2, 2)解析 由平行四边形对边互相平行,即斜率相等,可求出D点坐标设D（x ,2 - 0 v- 1-1 - x 3-5X ='，故 D（1 , 3）厂3答案C2.要得到函数y=sin（4.r-）的图像，只需将函数）=sin4x的图像（）A.向左平移令个单位B.向右平移令个单位C.向左平移扌个单位D.向右平移扌个单位解析由y = sin! 4x= sin 4（x 問得，只需将y = sin 4x的图像向右平移令个单位即可，故选B.答案Bv*.5 y3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 7/ 后，曲线C变为曲线* + b =3y4/2=1,则曲线C的方程为（）A.

22、25/+36y2= 1B.9x2+ 100y2= 19gCl Ox+24）= 1D.5p2+）2= 1x9 = 5x 1解析将"1代入a"2 + 4/2=1 ,=3y得25a2 + 36- = 1，为所求曲线C的方程.答案A4 将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是（）A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析设圆的方程为（Xa）2 + （y - h）2 = r ,1 v x1v变换为（2 , “不为零）.答案D二、填空题5.AABC中，B(-2, 0), C(2, 0), 'ABC的周长为10,则A点的轨迹方程为 解析 V AABC的周长为10 ,：

23、.AB + AC + BC= 10.其中BC = 4 ,即有 AB + L4CI = 6>4.A点轨迹为椭圆除去长轴两端点，2« = 6 , 2c = 4./. = 3 , C = 2 , Z?2 = 5.'A点的轨迹方程为y + y = 1 0HO).jc y2答案g+寸=1©工0)U6在平面直角坐标系中，方程”+尸=1所对应的图形经过伸缩变换 / 后V =3y的图形所对应的方程是,2 ,2解析代入公式，比较可得丁+寸".,2 ,2答案i"=2xl.y=cosx经过伸缩变换 J后曲线方程变为b=3y解析由”代入 y = cos X 中得：

24、多r = cos*，即：yF 3cos*d答案 #=3cosA8. 台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为 h.解析 以A为坐标原点，AB所在直线为兀轴，建立平面直角坐标系，则3(40,0),以点3为圆心，30为半径的圆的方程为(x-40)2 + y2 = 3O2 ,台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线3 =A-，与圆3相交于点M , W，点B到直线3 =A-的距离d = = 20y2.求得IMNI =- d2 = 20(km),MN故希=1 ,所以城市B处

25、于危险区的时间为lh.答案1三、解答题9. 已知"BCD,求证：LACI2+IBDI2=2(L4BI2 + L4DI2).证明 法一 坐标法 以A为坐标原点O, AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,则 A(0, 0),设 B(a, 0), C(b, c),则AC的中点4号，牙)，由对称性知D(b“,=a2, AD)r = (b-a)2-c2,L4CI2=Z?2+c2,BD2 = (b-2a)2+c2,L4 C 卩 + /DP=4/+2,+2c?4ah= 2(2a2+b2+c22ab)fAB2+AD 卩= 2R+/?2+c2-2db, L4 Cl2 + 1加卩=2(L4B|

26、2+L4DI2).法二 向量法 在"BCD中，AC=AB-AD,两边平方得花AC2=AB2+AD2+2ABAb,同理得反 = 1丽卩=巫2+荒2 + 2弘荒，以上两式相加，得L4CI2 +1 丽卩=2(屈卩 + 匾卩)+ 2BC- (AB+BA)= 2(IA&I2 + L4DI2),即 L4 C 卩 + IBD 卩=2(L4BI2+L4DI2).(X 1)210. 通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆一+(v+2) 2=1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.X9 = X 1 9(x1 ) 2 (y + 2) 2x'

27、;2解 先通过平移变换，丄c把椭圆n+=1变为椭圆G+ly=x+2949于=1.再通过伸缩变换；把椭圆着+于=1变为单位圆严+y" 2=1.由上I 2xM=| (x 1),y,=2 0+2)h习题解答 1规范对照区习题1 - 1 (第7页)A组1 山两点式写直线的方程为35x+36y41 =0.2直线?+寸=一2与x轴、y轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(-12, 0)、 (0, _8)、 3解/ABC是以ZA为直角的直角三角形，且佔平行于x轴，AC平行于y轴./. ZA的平分线的斜率为1,所在直线方程为兀一)，+1=0.BC所在直线的方程为4x+3y29=0,xy+ 1 =0, ,

28、4x+3y29=0.267337- -精心校对版本高中数学打印版精心校对版本高中数学打印版ZA的平分线的长为呼, 4解 法一 由两点式耳出直线A3的方程为3x+y6=0. 将点 C(4, 6)代入方程 3X4+(6)6=0,点C在直线上，'A、B、C在同一条直线上.法二 *.* kAB = 3, ksc= 3A、B、C三点在同一条直线上.5解 与 x 轴交点 令)=0, 2%10=0, x=5, 与 y 轴交 点令 x=0, 5y10=0, y=2f 5a=|x5X2 = 5.6证明 如图：矩形OABC.设OA=g OC=b,以O为原点建立如 图所示的直角坐标系.则 O、A、B、C 的

29、坐标分别为(0, 0),( 0),(心 b), (0, b)OB =yja2+b2,AC=y)b2+ (-«) 2=yl(r+b2f:.OB = AC 结论得证.7解设圆的方程为(X G)2+)，2 = F代入C、D两点得1( 1") 2+1=?-2,(1一4)2 + 9",解得 a=2, r=Tb,方程为(x-2)2+y2=10(2) 设圆心为(0, b)m则 5=lb_6l, b=l 或 11,方程为1尸=25或疋+ © 11)2=25.(3) 设方程为(xa)2+b)2=r,过A、B两点，圆心在2xy=3上，f (5。)2+ (2b) 2=巴:(3-a) 2+ (-2-/?) 2=尸，匕一 b = 3,解得 a=2, b= 1, r=A/10.方程为(X 2)2 + 0, 1)2= 10.(4) 设圆方程为(x_a)2+®_b)2=/,r (3“)2+ (2-/?) 2=r,山题意可得Sb 2d,I 加一b+5l解得