数学模型试验二

1、数学模型作业实验二1、 微分方程稳定性分析解：（1）首先选取平衡点，通过可得平衡点为（0,0），系数矩阵为从而得特征值则，通过与稳定性情况表对比，可发现平衡点是不稳定的。（2）同理，选取平衡点（0,0），可得特征值，并与稳定性情况表对比，可发现平衡点是不稳定的。（3）同理，选取平衡点（0,0），可得特征值，并与稳定性情况表对比，可发现平衡点是不稳定的。（4）选取平衡点（1,0），可得特征值，并与稳定性情况表对比，可发现平衡点是稳定的。2、 营养平衡问题解：根据题意，可得到，则该方程组的图形解如下图所示：通过对上图分析可知，该方程的平衡点为，要使平衡点稳定的条件是K>0，营养的浓度的是可以

2、达到平衡。反之，将不会平衡。3、 种群增长模型解： 依题意得，N满足的微分方程为：令，可知平衡点为（0，），通过，令可得，令将第一象限划分为三部分，且分别有，则微分方程的解族图形，如图3-1所示，其中为不稳定的，为稳定的。图3-1 微分方程的解族4、单种群开发模型解： 本题的重点在于研究方程的平衡点及其稳定性问题。令 (4-1)平衡点应满足： (4-2)解得两个平衡点为：，不难算得：若对（4-1）的任一个解，都存在，可根据一阶近式方程：来判断平衡点是否稳定。该一阶近式方程的一般解为：。因此可以得到：a. 若，则是稳定平衡点；b. 若，则不是稳定平衡点；即：当时，则是稳定平衡点，不是稳定平衡点；

3、当时，则不是稳定平衡点，是稳定平衡点；通过以上分析可知，如果捕捞适度，也就是时，可使渔场产量稳定在，持续产量为，如果捕捞过度，也就是时，渔场产量会减至，这不是可持续捕捞。为了使得捕捞强度持续产量最大，则因此最优捕捞率为。5、Compertz模型解：依题意可知变化规律的数学模型为：则设。a、令，得 解得，所，为平衡点。又，可得出平衡点是稳定的，而平衡点不稳定。b、因为最大产量的数学模型为通过第一步的计算结果可知，令。所以最大产量的捕捞强度，从而可知最大持续产量，而此时渔场鱼量水平为。6、有限资源竞争模型解：依据题意，可构建微分方程组：，令可得到以下平衡点：对于，其系数矩阵为：，又根据题意已知，所

4、以，该点不稳定。对于，其系数矩阵为：，由题意可知，该点是稳定的。即，说明物种1最终会灭亡。对于，其系数矩阵为：由题意可知，该点是稳定的。也就是说当，物种2最终将会灭亡。因为方程组为线性方程组，在平面上匹配两条直线会将第一象限分成三个区域。（1）当时，随着时间的增加，物种1将会灭亡，物种2将达到稳定值。（2）而当时，随着时间的增加，物种1最终会达到稳定值，对于物种2最终则会灭亡。7、蝴蝶效应与混沌解解：（1）建立自定义函数，Lorenz函数的M文件。程序如下:function dx=Lorenz(t,x)dx=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*

5、x(2)+28*x(2)-x(3);end建立“Lzdis.m”的M文件，用来求解和绘图。程序如下：clcclear allt,x=ode45(Lorenz,0,100,0 0 1e-10);plot(x(:,1),x(:,2);xlabel('x1'),ylabel('x2');figure plot(x(:,2),x(:,3);xlabel('x2'),ylabel('x3'); figure plot(x(:,3),x(:,1);xlabel('x3'),ylabel('x1');即可得到以下

6、图形：（2）将参数做如下调整，令，同时将调整为，则可得到以下图形：从以上分析可以看出，图形对参数和初始值的变化敏感很高，随着参数和初始值的轻微变化而改变非常大。8、药物动力学模型解：设初始时刻氢氯四环素在肠道中的浓度为，在血液中的浓度为0，也就是，因此可得到如下的微分方程： (8-1)则在matlab中建立一个M文件，“weifen.m”内容如下：clcclear allr1,r2 = dsolve('Dr1=-tho1*r1','Dr2=tho1*r1-tho2*r2', 'r1(0)=tho3,r2(0)=0','t')运行之

7、后，即可得到r1 =(tho12*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2) - (tho1*tho2*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2)/tho1 r2 =(tho1*tho3)/(exp(t*tho2)*(tho1 - tho2) - (tho1*tho3)/(exp(t*tho1)*(tho1 - tho2)也就是，在matlab中建立名为“FUN”的函数 function f= FUN( a,t )%UNTITLED3 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes here f=a(3)*(exp(-1)*a(2)*t)-exp(-1)*a(1)*t);end在matlab中建立名为“lsqnonlinFUN”M文件，如下所示clcclear allt=1 2 3 4 6 8 10 12 16;f=0.7 1.2 1.4 1.4 1.1 0.8 0.6 0.5 0.3; a0=1,1,1;a,res = l