第二章流体力学的基本方程12

1、1 第二章第二章 流体力学的基本方程流体力学的基本方程 本章涉及流体力学中的一些基本概本章涉及流体力学中的一些基本概念，基本原理和基本方程，是整个课程念，基本原理和基本方程，是整个课程的基础。的基础。2第一节第一节 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 描述流体运动是从着眼于研究流体质点描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着眼于研究流动空间点上流动的运动，还是着眼于研究流动空间点上流动参数的变化出发，可分为两种方法：拉格朗参数的变化出发，可分为两种方法：拉格朗日（日（lagrange）方法和欧拉（）方法和欧拉（euler）方法。）方法。3一、拉格朗日方法（随体法一、拉格朗日方

2、法（随体法） 拉格朗日方法着眼于流体质点，拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质跟踪每个流体质 点的运动全过程及点的运动全过程及 描述运动过程中各质点、各物理量随描述运动过程中各质点、各物理量随时间变化的规律。时间变化的规律。 通常以流体质点的初始坐标作为通常以流体质点的初始坐标作为区别不同的流体质点的标志。区别不同的流体质点的标志。4 设设t=t0时时,流体质点的坐标值是（流体质点的坐标值是（a, b, c），），5流体质点的速度根据定义为：流体质点的速度根据定义为：ttcbazvttcbayvttcbaxvttcbazyx),(),(),(),( r rv v6流体质点的加速度根据定义

3、为：流体质点的加速度根据定义为：222222),(),(),(tcbaztvatcbaytvatcbaxtvazzyyxx7流体质点的密度流体质点的密度、压力、压力p和温度和温度t的的拉格朗日函数为：拉格朗日函数为：),(),(),(tcbatttcbapptcba 在这些表达式中，拉格朗日变数（在这些表达式中，拉格朗日变数（a,b,c,t)是各自独立的，流体质点的初始坐标（是各自独立的，流体质点的初始坐标（a,b,c)与与时间时间 t 无关，时间无关，时间 t 只影响质点的运动坐标、只影响质点的运动坐标、速度和加速度，而不会改变质点的初始坐标。速度和加速度，而不会改变质点的初始坐标。8二、欧

4、拉方法（空间点法）二、欧拉方法（空间点法） 欧拉法着眼于流动空间中的每个空间欧拉法着眼于流动空间中的每个空间点上，常用到控制体和控制面的概念。点上，常用到控制体和控制面的概念。欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法。描述方法。9 欧拉法中用流体质点的空间坐标欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间和时间t来来表达流场中的流体运动规律。表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为）称为欧拉变数欧拉变数，欧拉变数不是各自独立，欧拉变数不是各自独立的，因为流体质点在流场中的

5、空间位置的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时都与时间间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量(x,y,z)应是时间应是时间t的函数：的函数： x=x(t) y=y(t) z=z(t) 在欧拉变数中，真正独立的只有时间变量在欧拉变数中，真正独立的只有时间变量t。 欧拉法着眼于不同瞬时物理量在空间上的分布，欧拉法着眼于不同瞬时物理量在空间上的分布，而不关心个别质点的运动历程，类似于在不同地点设而不关心个别质点的运动历程，类似于在不同地点设立气象站

6、，在不同空间点上来观察流体的运动规律。立气象站，在不同空间点上来观察流体的运动规律。10 欧拉变数及tzyxttzyxtttzyxptzyxpptzyxvtzyxvvvtzyxvvvtzyxvvttztytxttztytxttztytxttztytxttztytxzzzttztytxyyyttztytxxxx,),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ,v vv vv v流体速度流体速度v、压力、压力p、密度、密度和温度和温度t等的对应表达式为：等的对应表达式为：11 流动空间中的流动诸参数均可表示成欧拉变数的函数，流动空间中的流动诸参数均可表示成欧拉变数的函数，因此流动参数构成

7、了场（矢量与标量），就可使用场论这因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这一有力的数学工具。一有力的数学工具。 欧拉法质点加速度表达式为：欧拉法质点加速度表达式为：vvtvvzvvyvvxvtvdtdzzvdtdyyvdtdxxvtvdtvdadtvdtzyxdtvdazyx)(:,应作为复合函数求导因此的函数是坐标在质点运动过程中12在直角坐标系中：在直角坐标系中：dtdvaxxxxxxxyzvvvvvvvtxyzdtdvayyyyyyyzxvvvvvvvtxyzdtdvazxzvvyvvxvvtvzzzyzxz13加速度矢量式：加速度矢量式：ddxdydzadttx dty dt

8、z dtvvvvvvtdtvd)( vvkjizyx）算子哈密顿（hamilton14 用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：分组成： v/ t项，是由于流场的非定常性引起的项，是由于流场的非定常性引起的加速度，称为时变加速度、局部加速度或加速度，称为时变加速度、局部加速度或当地加速度；当地加速度；15位变导数局部导数或时变导数全导数或随体导数或随体导数的质点导数称为物理量对时间的变化率等例如有的物理量运动中的流体质点所具nvtndtdnnnvtntndtdntpvnt)()()(lim:),(0 如果流体质点处于静止状态，则不存在质点导数的如果流

9、体质点处于静止状态，则不存在质点导数的概念，这一概念专指运动流体质点而言。概念，这一概念专指运动流体质点而言。16对于任何矢量对于任何矢量b和任何标量和任何标量的表达式分别为：的表达式分别为：bvbb)(tdtd)( vtdtdzvyvxvtvtdtdzyx)(:的随体导数为例如密度17拉格朗日法和欧拉法的比较拉格朗日法和欧拉法的比较 欧拉法中欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=2r/ t2为为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 例例2-1见书

10、见书p12-1318第二节第二节 流体运动的基本概念流体运动的基本概念19一一.定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为流动为定常流动定常流动，反之为，反之为非定常流动非定常流动。20 在定常流动中，流场内物理量不随时间而在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。变化，仅是空间点的函数。),(),(),(0zyxzyxppzyxvvt21二二.均匀流动和非均匀流动均匀流动和非均匀流动 流体在运动过程中，若所有物理流体在运动过程中，若所有物理量皆不

11、依赖于空间坐标，只是时间量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的的函数，则称此流动为均匀流动，反之为函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。非均匀流动。00)(vbv22三三.一维、二维、三维流动一维、二维、三维流动 在设定的坐标系中，根据有关物理在设定的坐标系中，根据有关物理量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐标，流体运动可分为一维运动、二维运标，流体运动可分为一维运动、二维运动和三维运动。动和三维运动。23四、四、迹线迹线与与流线流线24(一一)迹线迹线迹线是流体质点在运动过程中于流动空间所描绘出的曲线。迹线是流体质点在运动过程中于流动空间所描绘出的曲线。它

12、的切线方向代表质点经过该点时的速度方向，是质点运它的切线方向代表质点经过该点时的速度方向，是质点运动规律的几何表示，是时间过程中形成的曲线。对应于拉动规律的几何表示，是时间过程中形成的曲线。对应于拉格朗日法。格朗日法。).,( ).,( ),( tzyxvdtdztzyxvdtdytzyxvdtdxzyx积分以上微分方程，消去时间积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。，即得迹线方程。25m2m1m3m4v1v2v3v4（二）流线（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点几何表示，是在同一瞬

13、时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。26),(d),(d),(d tzyxvztzyxvytzyxvxzyx从流线定义出发，可建立流线微分方程。从流线定义出发，可建立流线微分方程。:0:, 0,即为写成坐标轴分量的形式因此则在流线上取微元弧矢量dzdydxvvvkjisdvvsdvsdsdzyx给出流场给出流场v(x,y,z,t)后，对后，对x,y,z积分上式，即可得到流线积分上式，即可得到流线方程。方程。27流线性质：流线性质：1、流场定常时，流线形状不随时间而变化，、流场定常时，流线形状不随时间而变化，且流线与迹线重

14、合。且流线与迹线重合。2、流场非定常时，流线形状随时间而变化，、流场非定常时，流线形状随时间而变化，且流线与迹线不重合。且流线与迹线不重合。3、实际流场中，一般流线不能相交、不能突、实际流场中，一般流线不能相交、不能突然转折。因为同一瞬时，流场中各点速度是然转折。因为同一瞬时，流场中各点速度是唯一的。唯一的。28 在非恒定流情况下，流线在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。线与流线重合。 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流迹线和流线最基本的差别是

15、：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。 根据流线的定义，根据流线的定义，可以推断：除非流可以推断：除非流速为零或无穷大处，速为零或无穷大处，流线不能相交，也流线不能相交，也不能转折。不能转折。29 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy

16、= -y+t；vz=0, ,试求试求t = 0 时过时过 m(-1,-1) (-1,-1) 点的点的流线流线。解解：vx=x+t；vy=-y+t；vz=0 (x+t)(-y+t) = ct = 0 时过时过 m(-1,-1)(-1,-1)：c = -1 积分积分 xy=1 由流线的微分方程：由流线的微分方程：t = 0 时过时过 m(-1,-1)(-1,-1)点的流线：点的流线：举举 例例30t = 0 时过时过 m(-1,-1)(-1,-1)： c1 = c2 = 0 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t；vz=0, ,试求试求t = 0 时过时

17、过 m(-1,-1) (-1,-1) 点的点的迹线迹线。解解：vx=x+t；vy=-y+t；vz=0 求解求解 x+y = -2 由迹线的微分方程：由迹线的微分方程：txtxddtytyddx= -t-1y= t-1消去消去t，得迹线方程：得迹线方程：举举 例例31迹线流线xyot = 0 时过时过 m(-1,-1)(-1,-1)点的流线和迹线示意图点的流线和迹线示意图m(-1,-1)32五五.流管、流束、过流断面和流量流管、流束、过流断面和流量（一）流管、微元流管、流束与总流（一）流管、微元流管、流束与总流流管：流管：在流场中取一非流线又不自交的闭合曲线在流场中取一非流线又不自交的闭合曲线c

18、，通过通过c上每一点作流线，这些流线组成的管状曲面上每一点作流线，这些流线组成的管状曲面就称为流管。就称为流管。微元流管：微元流管：微小的封闭曲线微小的封闭曲线c构成的流管称为微元构成的流管称为微元流管。流管。流束流束：流管内的全部流体。：流管内的全部流体。总流：总流：封闭曲线取在管道封闭曲线取在管道内壁周线上，流束就是全内壁周线上，流束就是全部流体，此时称为总流。部流体，此时称为总流。微元流束：微元流束：极限近于一条极限近于一条流线的流束称为微元流束。流线的流束称为微元流束。33（二）过流断面、流量与断面平均流速（二）过流断面、流量与断面平均流速流量：流量：单位时间内，流过某一控制面的流体的量。单位时间内，流过某一控制面的流体的量。 分为体积流量和质量流量，通常多指体积流量。分为体积流量和质量流量，通常多指体积流量。单位：单位：体积流量：体积流量：m3/s，m3/h，l/min； 质量流量：质量流量：kg/s，kg/h控制面与流速方向垂直时流量的表达式：控制面与流速方向垂直时流量的表达式：流量正负的规定：流量正负的规定：流体经控制面流出控制