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1、梯度投影法梯度投影法提出问题提出问题l 目的函数的最速下降方向是负梯度方向但是，在有约束目的函数的最速下降方向是负梯度方向但是，在有约束l 情况下，沿最速下降方向挪动能够导致非可行点情况下，沿最速下降方向挪动能够导致非可行点措施：对负梯度进展投影，使得目的函数值不仅改良，措施：对负梯度进展投影，使得目的函数值不仅改良， 同时又坚持迭代点的可行性同时又坚持迭代点的可行性梯度投影法梯度投影法(Gradient Projection Method)梯度投影法梯度投影法简介简介l 梯度投影法是梯度投影法是1960年由年由Rosen提出，并由提出，并由Goldfarb和和Lapidusl 于于1968年

2、加以改良年加以改良. l 梯度投影法的根本思想为梯度投影法的根本思想为: 当迭代点在可行域内部时，取该点当迭代点在可行域内部时，取该点l 处的负梯皮方向为可行下降方向；当迭代点在可行域边境上处的负梯皮方向为可行下降方向；当迭代点在可行域边境上l 时，取该点处负梯度方向在可行域边境上的投影产生一个可行时，取该点处负梯度方向在可行域边境上的投影产生一个可行l 下降方向下降方向(见图见图9.2.1)梯度投影法梯度投影法根本概念根本概念投影矩阵投影矩阵为投影矩阵为投影矩阵, p 称为称为 x 在在 V 上的投影上的投影.由行满秩矩阵产生投影矩阵由行满秩矩阵产生投影矩阵那么那么(1) MT的列向量生成的

3、子空间为：的列向量生成的子空间为：,|mTMRyyMxxV (2) M的零空间为：的零空间为： VN=. )3( MNVV梯度投影法梯度投影法根本概念根本概念由行满秩矩阵产生投影矩阵由行满秩矩阵产生投影矩阵幂等对称阵幂等对称阵性质性质梯度投影法梯度投影法根本原理根本原理l 假设假设M为空，即迭代点在可行域内部时，负梯度方向为空，即迭代点在可行域内部时，负梯度方向l 为可行下降方向；为可行下降方向；l 假设假设M非空，即迭代点在某些约束的边境上时，该点处的负梯度非空，即迭代点在某些约束的边境上时，该点处的负梯度l 在在 M 的零空间上的投影为可行下降方向的零空间上的投影为可行下降方向可行下降方向的构造可行下降方向的构造定理定理9.2.2和定理和定理9.2.3梯度投影法梯度投影法根本原理根本原理l x是是K-T点；点；l 或可以构造新的投影矩阵以便求得可行下降方向或可以构造新的投影矩阵以便求得可行下降方向定理定理9.2.3梯度投影法梯度投影法根本原理根本原理一维搜索一维搜索l 同同Zoutendijk法中的一维搜索，即法中的一维搜索，即算法步骤算法步骤Step1梯度投影法梯度投影法Step2Step3Step4St

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