最近九年北京高考数学(理)压轴题(含答案)

1、1(北京17)设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并证明cn是等差数列；（）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列2（北京16）设数列A： ， , (N2)。如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(I

2、I)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；(III）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则G（A）的元素个数不小于-。3（北京15）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值4（北京14）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列 P(2,5),(4,1)，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列g 和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使最小，并写出的值.（只需写出结

3、论）.5（北京13）已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后的各项，的最小值记为，（1）若为，是一个周期为4的数列（即对任意，）写出，的值。（2）设为非负整数，证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列。（3）证明：若，（）则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.6（北京12）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于AS(m,n),记ri(A)为A的第行各数之和（1m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1jn）：记K(A)为r1(A),R2(A),Rm(A),C1(

4、A),C2(A),Cn(A)中的最小值。（1） 对如下数表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）设数表AS（2,3）形如11CAB-1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2,2t+1），求K（A）的最大值。7（北京11）若数列（）满足，则称为数列，记。（）写出一个满足，且的数列；（）若，证明数列是递增数列的充要条件是；8（北京10）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.9（北京09）已知数集具有性质；对任意

5、的，与两数中至少有一个属于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1(北京17) 【解析】（1）易知，且，下面我们证明，对且，都有当且时，且，因此，对且，则又，故对均成立，从而为等差数列（2）设数列与的公差分别为，下面我们考虑的取值对，考虑其中任意项（且），下面我们分，三种情况进行讨论（1）若，则若，则则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列若，则则对于给定的正整数而言，此时，故为等差数列此时取，则是等差数列，命题成立（2）若，则此时为一个关于的一

6、次项系数为负数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，此时，故从第项开始为等差数列，命题成立（3）若，则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，（，）因此，当时，此时令，下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，若，则取（表示不大于的最大整数）当时，此时命题成立若，则取当时，此时命题也成立因此，对任意正数，存在正整数，使得当时，综合以上三种情况，命题得证2（北京16）解：（）根据题干可得，a1=2，a2=2，a3=1，a4=1，a5=3，a1a2满足条件，2满足条件，a2a3不满足条件，3不满足条件，a2a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a

7、3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）=2，5（）因为存在ana1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则aka1ai，其中2ik1，所以kG（A），G（A）；（）设A数列的所有“G时刻”为i1i2Lik，对于第一个“G时刻”i1，有a1ai（i=2，3，L，i11），则ai1对于第二个“G时刻”i1，有ai（i=2，3，L，i11），则1类似的1，1于是，k（）+（）+L+（）+（a1）=a1对于aN，若NG（A），则=aN若NG（A），则aN，否则由（2）知，L，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾从而ka1aNa13（北京15）解：（） （）因为集合存在一个元素是3

8、的倍数，所以不妨设是3的倍数。 由 当时，都是3的倍数。 如果，则集合的所有元素都是3的倍数。 如果，因为或， 所以是3的倍数， 于是是3的倍数。 类似可得，都是3的倍数。综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数。（）若，由，可归纳证明， 因为是正整数，由， 所以是2的倍数。 从而当时，时4的倍数。 如果是3的倍数，由（）知对所有正整数，是3的倍数。 因此当时，.这时的元素个数不超过5. 如果不是3的倍数，由（）知对所有正整数，不是3的倍数。因此当时，这时的元素个数不超过8. 当时，由8个元素。 综上可知：集合的元素个数的最大值为8.4（北京14）解：（I）=8（） .当m

9、=a时，=因为，且，所以当m=d时，因为，且所以。所以无论m=a还是m=d，都成立。（）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，=10，=26，=42，=50，=525（北京13）解：（1）， （2）充分性：若是公差为的等差数列，则于是，必要性：若（），假设是第一个使得的项，则，与矛盾因此是不减的数列进而，即因此是公差为的等差数列。（3）首先，中的项不能是，否则，矛盾 其次，中的项不能超过，用反证法证明如下： 若中有超过的项，设是第一个大于的项，中一定存在某项为，否则与矛盾。当时，否则与矛盾；因此存在最大的在到之间，使得，此时综上，中没有超过的项所

10、以中的项只能是或下面证明有无数个，用反证法证明如下：若为最后一个，则，矛盾因此有无数个6（北京12）解：（1）由题意可知，（2）先用反证法证明：若，则，同理可知，由题目所有数和为即与题目条件矛盾易知当时，存在的最大值为1（3）的最大值为.首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，.下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.设中有列的列和为正，有列的列和

11、为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的7（北京11）解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）×1=2011.充分性，由于a2000

12、a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,8（北京10）证明：（I）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(II)设， ，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而9（北京09）（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. （）具有性质P，与中至少有一个