《概率论总复习》PPT课件

1、概率论与数理统计复习引言第一章 随机事件与概率1.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件一一 . .随机实验随机实验: : 对随机景象进展一次察看和实验，统称为随机实验。对随机景象进展一次察看和实验，统称为随机实验。随机实验简称为实验，用随机实验简称为实验，用E E 表示表示 特点特点: :1 1实验可以在一样的条件下反复进展；实验可以在一样的条件下反复进展；2 2实验的全部能够结果不止一个，并且在实验之前可以明实验的全部能够结果不止一个，并且在实验之前可以明确知道一切的能够结果确知道一切的能够结果; ;3 3每次实验必发生全部能够每次实验必发生全部能够结果中的一个且仅发生一个结果中的一个且

2、仅发生一个二二 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 1. 1. 样本空间样本空间 实验实验E E的一切能够结果构成的集合，称为的一切能够结果构成的集合，称为E E的样的样本空间，用本空间，用S S表示表示. . 样本空间的元素，即样本空间的元素，即E E的每个结果，称为样本点的每个结果，称为样本点. .定义定义 普通将样本空间的子集称为随机事件。普通将样本空间的子集称为随机事件。随机事件用大写字母随机事件用大写字母A A，B B，C C表示表示. .在一次实验中，事件在一次实验中，事件A A发生的含义是，当发生的含义是，当且仅当且仅当A A中一个样本点中一个样本点( (或根身手件或根身手件)

3、 )发生发生或出现。事件或出现。事件A A发生也称为事件发生也称为事件A A出现。出现。 事件的发事件的发生生2. 2. 随机事件随机事件, 3 , 2 , 1 , 0NS),(21TyxTyxS其中T1,T2分别是该地域的最低与最高温度:3E察看某地域每天的最高温度与最低温度:2E察看总机每天9:0010:00接到的次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次，察看正面出现的次数3 , 2 , 1 , 0S例例 给出一组随机实验及相应的样本空间给出一组随机实验及相应的样本空间可列样本空间一一. .古典概型古典概型1-2 1-2 事件的概率事件的概率 定义定义1 假设随机实验满足下述两个条

4、件：假设随机实验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只需有限多个样本点；它的样本空间只需有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的能够性一样每个样本点出现的能够性一样.称这种实验为古典型实验，简称古典概型称这种实验为古典型实验，简称古典概型.定义定义2 设实验设实验E是古典概型是古典概型, 其样本空间其样本空间S由由n个样个样本点组成本点组成 , 事件事件A由由k个样本点组成个样本点组成 . 那么定义事件那么定义事件A的概率为：的概率为：称此概率为古典概率称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古这种确定概率的方法称为古典方法典方法 . A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n

5、S中的样本点总数中的样本点总数陈列组合是计算古典概率的重要工具陈列组合是计算古典概率的重要工具 .三三. .概率的频率定义概率的频率定义例例2 2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反坦克弹射击目的，观测命中情况。设坦克弹射击目的，观测命中情况。设A A代表代表“命中命中这一事件，求这一事件，求P(A)?P(A)?1 . 1 . 事件的频率事件的频率 在一组不变的条件下，反复作在一组不变的条件下，反复作n n次实验，记次实验，记m m是是n n次实验中事件次实验中事件A A发生的次数。发生的次数。 频率频率 f = m/n f = m/n 2. 2

6、. 频率的稳定性频率的稳定性 掷一枚均匀硬币，记录前掷一枚均匀硬币，记录前400400次掷硬币实验中次掷硬币实验中频率频率P P* *的动摇情况。的动摇情况。 正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度 3概率的频率定义概率的频率定义 在一组不变的条件下，反复作在一组不变的条件下，反复作n n次实验，记次实验，记m m是是n n次实验中事件次实验中事件A A发生的次数。当实验次数发生的次数。当实验次数n n很大时，很大时，假设频率假设频率m/nm/n稳定地在某数值稳定地在某数值p p附近摆动，而且普附近摆动，而且普通地说，随着实验次数的添加，这种摆动的幅度通地说，随着

7、实验次数的添加，这种摆动的幅度越来越小，称数值越来越小，称数值p p为事件为事件A A在这一组不变的条件在这一组不变的条件下发生的概率，记作下发生的概率，记作P(A)=p.P(A)=p.定义定义 设设A、B为两事件为两事件, P ( A ) 0 , 那么那么称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.ABP)()(APABP1.3 条件概率条件概率 例例3 某厂消费的灯泡能用某厂消费的灯泡能用1000小时的概率为小时的概率为0.8, 能用能用1500小时的概率为小时的概率为0.4 , 求已用求已用1000小时的灯泡能用到小时的灯泡能用到1500小时的概率小时的概率解解 令令 A 灯泡能

8、用到灯泡能用到1000小时小时, B 灯泡能用到灯泡能用到1500小时小时所求概率为)()(APABPABPAB 218 . 04 . 0)()(APBP 三全概率公式三全概率公式 定义定义 假设事件组假设事件组B1,Bn,B1,Bn,满足：满足： 1B1,Bn互不相容且互不相容且P(Bi)0，i=1,n 2SBnii1那么称事件那么称事件B1,BnB1,Bn为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分三全概率公式三全概率公式 事件事件B1,Bn,B1,Bn,为样本空间的一个划分那么对为样本空间的一个划分那么对任何事件任何事件A A，均有，均有)|()()(1iniiBAPBPAP上式称为全概率公

9、式上式称为全概率公式. . 定理定理1.4 事件的独立性事件的独立性例例 知袋中有知袋中有5 5只红球只红球, 3, 3只白球只白球. .从袋中有放回地从袋中有放回地取球两次，设第取球两次，设第 i i 次获得白球为事件次获得白球为事件 Ai ( i Ai ( i =1, 2 ) .=1, 2 ) .求, )(12AAP, )(12AAP, )(, )(21APAP解解,8/3)(12AAP,8/3)(12AAP, )(8/3)(21APAP)()()(12212AAPAPAAP一事件的独立性一事件的独立性事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响)()()()8/3()(2121221

10、APAAPAPAAP定义定义设 A , B 为两事件，假设)()()(BPAPABP那么称事件 A 与事件 B 相互独立 可视为事件A1与A2相互独立三事件三事件 A, B, C A, B, C 相互独立相互独立是指下面的关系式同时成立：是指下面的关系式同时成立：)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)定义定义 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikj

11、i1),()()()(定义定义常由实践问题的意义常由实践问题的意义 判别事件的独立性判别事件的独立性第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 为了更好的提示随机景象的规律性并利用数学工具描画其规律，引入随机变量来描画随机实验的不同结果.例例 总机某段时间内接到的次数，可用一个总机某段时间内接到的次数，可用一个 变量变量 X 来描画来描画例例 抛掷一枚硬币能够出现的两个结果，也可以用一抛掷一枚硬币能够出现的两个结果，也可以用一 个变量来描画个变量来描画反面向上正面向上, 0, 1)(X这种对应关系在数学上了解为定义了一种实值函数这种对应关系在数学上了解为定义了一种实值函数.e.X(e)sR

12、 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样。不一样。 有了随机变量，随机实验中的各种事件，有了随机变量，随机实验中的各种事件，就可以经过随机变量的取值来表达就可以经过随机变量的取值来表达. 二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某交换台收到的呼叫次如：单位时间内某交换台收到的呼叫次数用数用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 2.1 随机变量的概念随机变量的概念定义 设E是一随机实验，S 是它的样本空间，假设那么称 S 上的

13、单值实值函数 X ( )为随机变量随机变量普通用 X, Y , Z ,或小写希腊字母, , 表示.)(XS实数按一定法则 随机变量的概念随机变量是RS 上的映射，这个映射具有如下的特点： 定义域 : S 随机性 : 随机变量X 的能够取值不止一个， 实验前只能预知它的能够的取值但不能预知 取哪个值 概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量 随机变量的函数普通也是随机变量随机变量的分类随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量 其中一种重要的类型为 延续性随机变量定义了一个 x 的实值函

14、数，称为随机变量X 的分布函数，记为F ( x ) ,即定义定义 设设 X 为随机变量为随机变量, 对每个实数对每个实数 x , 随机事件随机事件)(xX 的概率)(xXPxxXPxF),()(随机变量的分布函数随机变量的分布函数分布函数的性质分布函数的性质q F ( x ) 单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右延续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxtxxXPxF),()(利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP)(1)(1)(aFaXPaXPab )0()()(aFaF

15、aXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义 假设随机变量 X 的能够取值是有限多个或 无穷可列多个，那么称 X 为离散型随机变量描画离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即, 2 , 1,)(kpxXPkk概率分布的性质概率分布的性质离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp规范性 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的能够取值 xk 处发生延续，延续点为第一类腾跃延续点，在延续点处有跃度 pk离散型随机变量的

16、分布函数离散型随机变量的分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 0 为常数1xF( x)0 xf ( x)0对于恣意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d1)(运用场所运用场所用指数分布描画的实例有：随机效力系统中的效力时间问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命分布的近似(3) 正态分布假设X 的密度函数为xexfx222)(21)(那么称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ),

17、为常数，0N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33f (x) 的性质：的性质：q 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) 在 x = 时, f (x) 获得最大值21在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状q f (x) 的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的外形不变化，只是位置不同 外形参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的外形不同.假设 11, G(y)=1;对对y 0,

18、 -1 0, P(Y=yj)0, 那么称那么称,.2 , 1,)(),()|(.ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在为在Y=yjY=yj条件下随机变量条件下随机变量 X X 的条件分布律的条件分布律. .同样同样, , 对于固定的对于固定的 i, i,假设假设P(X=xi)0, P(X=xi)0, 那么称那么称,.2 , 1,)(),()|(.jppyYPyYxXPxXyYPjijjjiij为在为在X=xiX=xi条件下随机变量条件下随机变量 Y Y 的条件分布律的条件分布律. .条件分布律的性质条件分布律的性质; 0)|( ) 1 (jiyYxXP. 1)|( ) 2(1ij

19、iyYxXP; 0)|( ) 1 (ijxXyYP. 1)|( ) 2(1jijxXyYP设设(X, Y)(X, Y)为二维延续型随机变量为二维延续型随机变量, ,其概率密度为其概率密度为f(x, f(x, y), y), (X, Y)(X, Y)关于关于Y Y 的边缘密度为的边缘密度为 fY(y). fY(y). 假设对于固定假设对于固定的的 y, y, fY(y)0, fY(y)0, 那么称那么称)(),()|(|yfyxfyxfYYX为在为在Y=yY=y条件下随机变量条件下随机变量 X X 的条件概率密度的条件概率密度. .xYxYXYXdxyfyxfdxyxfyYxXPyxF)(),(

20、)|()|()|(|称为在称为在Y=yY=y条件下条件下X X 的条件分布函数的条件分布函数. .类似地类似地, , 设设(X, Y)(X, Y)的概率密度为的概率密度为f(x, y), (X, Y)f(x, y), (X, Y)关关于于X X 的边缘密度为的边缘密度为 fX(x). fX(x). 假设对于固定的假设对于固定的 x, x, fX(x)0, fX(x)0, 那么称那么称)(),()|(|xfyxfxyfXXY为在为在X=xX=x条件下随机变量条件下随机变量 Y Y 的条件概率密度的条件概率密度. .yXyXYXYdyxfyxfdfxyfxXyYPxyF)(),()|()|()|(

21、|称为在称为在Y=yY=y条件下条件下X X 的条件分布函数的条件分布函数. .条件概率密度的性质条件概率密度的性质);|()(),(|yxfyfyxfYXY1 1 对于对于(x, y), fY(y)0, (x, y), fY(y)0, 有有1 1* * 对于对于(x, y), fX(x)0, (x, y), fX(x)0, 有有);|()(),(|xyfxfyxfXYX; 0)(),()|( ) 2(|yfyxfyxfYYX; 0)(),()|( *) 2(|xfyxfxyfXXY条件概率密度的性质条件概率密度的性质. 1)|( ) 3 (|-XYdyxyf. 1)|( ) 3 (|-YXd

22、xyxf随机变量的平均取值 数学期望 随机变量取值平均偏离数学期望的情况 方差第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义1 1 设设X X是离散型随机变量，它的概率函是离散型随机变量，它的概率函数是数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,: P(X=Xk)=pk , k=1,2,1)(kkkpxXE1|kkkpx假设假设有限有限, ,定义定义X X的数学期望的数学期望定义定义2 设设X是延续型随机变量，其密度函数是延续型随机变量，其密度函数 为为 f (x),假设假设dxxfx)(|有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望为dxxfxXE)()(二、延续型随机变量的数学期望二、延续型随机变量的数学期望一、方差的定义一、方差的定义 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为规范称为规范差差)(XD设设X是一个随机变量，假设是一个随机变量，假设E(X-E(X)2，那么，那么称称D(X)=EX-E(X)2 为为X的方差的方差.4.2 方差方差假设假设X的取值比较分散，那么方差较的取值比较分散，那么方差较大大 .假设方差假设方差D(X)=0,那么那么r.v X 以概率以概率1取常数取常数值值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散