第九次习题课讨论题参考解答_896403002

1、第九次习题课讨论题参考解答 5月28日和29日本次习题课讨论题涉及以下四个问题。 一 曲线曲面积分续。二 Green定理的应用续。三 Gauss公式和Stokes公式的应用。四 积分关于路径的无关性一 曲线曲面积分续。1记为圆周，从Ox轴的正向看去，圆周的正向为逆时针方向。写出的参数方程，并利用这个参数方程来计算线积分 。（注：我们将在第三部分的第3题，利用Stokes公式更简单地计算上述线积分。）解：在球坐标下曲线的方程为 ，由此得到的参数方程 ，参数增加为曲线正向，代入曲线积分式，得 。解答完毕。2求积分 ，其中为长方体的边界，正法向朝外，函数,和均为连续函数。 解：边界面由6个平面构成，

2、其朝外的单位法向量分别为：，：，：，：，：，：，所以 。同理 ，。因此 。解答完毕。3设为锥面位于的那一部分，正法向向下。设为流体运动的速度场。求流体在单位时间里通过定向曲面由内向外的流量Q，即求曲面积分。解：简单计算可知曲面（锥面）的单位法向。由于的正法向向下，由此可知，的单位正法向为。于是所求流量为。解答完毕。4记为园柱面位于的部分，外法向为正，计算曲面积分。 解法1：记向量场。由假设的单位正法向量，当。曲面在柱面坐标下的方程为，。记。则，。于是。这表明与的单位正法向量一致。因此。解法2：记立体，正法向向下，正法向向上。根据Gauss公式得简单计算得到，。因此原积分。解答完毕。二Green

3、定理的应用续。1(利用 Green 定理证明平面面积变换公式) 回忆平面面积变换定理:设是平面域上的微分同胚，即是1-1映射且其逆也是连续可微的.假设开区域及其边界均属于的定义域。记开区域在映射下的象为，即。根据曲面面积公式知的面积公式为，这里，表示映射的两个分量函数。试利用Green公式来证明上述面积变换公式。证明：设开域的边界有正则的参数表示，并且的正向（逆时针）与参数增加的方向一致，那么区域的边界有相应的参数表示，。这是因为微分同胚映内点为内点，映边界点为边界点。因此。假设映射保持定向，即它的Jacobian行列式在其定义域上恒大于零, 即，则的正向与参数增加的方向一致. 于是根据Gre

4、en公式提供的面积公式得的面积为。对上式最后一个积分应用Green公式得。注意这里我们要求微分同胚为二阶连续可微。证毕.2计算线积分，其中为，逆时针为正向。解：记，。不难验证。因此向量场是无旋场。记，逆时针为正向。在由正方形和椭圆所围成的有界域上，应用Green公式的旋度形式得。对线积分再应用Green公式的旋度形式得。解答完毕。3设为有界开区域，它的边界是逐段光滑曲线，是的外单位法向量，设函数，且在内为调和函数，即，。求证：(i) ；(ii) ；(iii) 若在边界上，求证， 。解： (i)由于,。（应用Green公式散度形式）。(ii) 。（这里用到了假设。）(iii) 由(ii)的结论可

5、知，若，则，。即，所以，从而，。证毕。4 已知函数在整个实轴上二次连续可微，满足，且使得微分式是全微分，求，并使由到逐段光滑曲线上积分的值为。解：由假设微分式是全微分，故，即。这是关于未知函数的二阶常系数线性常微分方程。根据线性ODE一般理论知，对应的齐次方程通解为。另一方面不难看出方程 有一个特解。因此原方程的通解为。关于函数的两个条件，条件，以及条件由到逐段光滑曲线上积分的值为，可以唯一确定两个常数，。对求导得 ， 。于是，。 由到积分得 得。于是。解答完毕。5. 设是实轴上处处为正的连续函数，为圆心在原点的单位开圆盘。证明：(i)；(ii)。证明：对等式(i)的两边线积分，分别应用Gre

6、en公式的旋度形式得左边，右边。由于积分区域为单位圆盘，故上述两个二重积分相等。因此等式(i)成立。注：对上任何一个二重积分中，作变量代换，就得到另一个二重积分。(ii) 类似，我们不难看出 ，。这表明，在如下两个二重积分中， 和 。将被积函数中的变元换为，并不改变积分的值。因此。由于。 因此 。证毕。三 Gauss定理和Stokes定理的应用。1设为由圆锥面:和平面所围成的圆锥体。 (i) 证明设此圆锥体的体积可以表示为，其中为区域的边界曲面，为其单位外法向量，(ii) 圆锥体的体积也可以表示为 ，其中为圆锥的底面积，为圆锥的高证明： (i) 根据Gauss公式得故。（注：这个结论不仅仅对圆

7、锥体成立，而是一个一般性结论：任何有界立体，其体积均可以表为，其中为单位外法向量。）(ii) 由于，其中记锥面部分，记底面部分因为锥面的顶点在原点，其上每一点的法向量与径向垂直，故。为平面的一部分，其单位法向量为注意到在上，点的位置向量与正法向成锐角。因此其中为圆锥的底面积，而为原点到平面的距离，也就是圆锥的高故。解答完毕。2. 设一元函数在上连续可导,且对于任何位于半空间中的光滑有向封闭曲面，有。进一步假设。求。解：对于。作以为球心，以为半径的闭球。取充分小，可以使得。于是由假设得。根据Gauss公式有，即。再根据三重积分的中值定理可知存在，使得。令即得。由于是任意的，故，。这是一阶线性常微

8、分方程，根据求解公式得可知其通解为。进一步由假设，可以确定。因此。解答完毕。3. 利用Stokes公式计算积分, 其中为圆周从Ox轴的正向看去, 圆周的正向为逆时针方向.解:前面（见第一部分题1）我们利用的参数方程直接计算出了积分。利用Stokes公式计算则更简单。记为由圆周在平面上所围的部分（闭圆盘），其正法向与轴正向成锐角。由Stokes公式得其中为的单位正法向。由假设知.简单计算知 于是其中为平面在球面部分内的面积. 解答完毕。4. 设有向曲线是平面与球面的交线，从轴正向看去为逆时针为正向。求第二类曲线积分。解：首先注意。 记为平面上包含于球面内的部分，规定的正法向与轴的正向成锐角。记。

9、则积分可写作。简单计算得。根据Stokes公式得. 注意到的单位正法向。于是。解答完毕。5设是锥面的一个部分： ，规定其正法线向下，求面积分。解：为了用Gauss公式来计算上述积分。我们关于锥面补上一单位圆盘，正法线向上。记由锥面和圆盘所围成的立体为。于是应用Gauss公式得。而积分。因此原积分。解答完毕。6计算高斯积分，其中为一个不经过原点的光滑封闭曲面，其中为上点处的单位外法线向量，解：记。则 .简单计算表明，证向量场的散度恒为零，即因此当不包围原点时，向量场在由所包围的闭区域内连续可微。因此利用Gauss公式立知面积分。当包含围原点时，原积分等于向量场关于球面:（外侧）上的第二型面积分于是。解答完毕。四 积分与路径的无关性1确定常数，使得积分与路径无关， 并求原函数，使得。解：记，。令，得。由此解得，且，所以。当时， 对微分形式作适当组合得 。由此可得所求原函数为。解答完毕。2证明线积分，在右（或左）半平面（或）上与路径无关。（注意右半平面上或