原码-反码-补码及运算

1、原码，反码，补码及运算一、定义1原码正数的符号位为 0，负数的符号位为 1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这 样的表示方法得到的就是数的原码。X原码=01011011Y原码=110110111原码=10000001127原码=11111111【例 2.13】当机器字长为 8 位二进制数时：X = + 1011011Y = -1011011+ 1原码=00000001+ 127原码=01111111原码表示的整数范围是：(2n-1 1) ( 2n-1 1),其中n为机器子长。则：8位二进制原码表示的整数范围是 127+12716 位二进制原码表示的整数范围是 32767+ 327672

2、反码对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以 外的各位按位取反。【例 2.14】当机器字长为 8位二进制数时：X = + 1011011 X原码=01011011 X反码=01011011Y = 1011011 Y原码=11011011Y反码=10100100+ 1反码=00000001 1反码=11111110+ 127 反码=01111111 127反码=10000000负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式 反码表示的整数范围与原码相同。3补码 正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。引入补码以后，计算机

3、中的加减运算都可以统一化为补码的加法运算，其符号位也参与 运算。【例2.15】(1) X =( 1 )根据定义有：+ 1011011 (2) Y = 1011011X原码=01011011X补码=01011011( 2) 根据定义有：Y原码=11011011Y反码=10100100Y补码=10100101补码表示的整数范围是 2n-1+( 2n-1 1 )，其中 n 为机器字长。则：8位二进制补码表示的整数范围是 128+127(-128 表示为 10000000，无对应的 原码和反码)16 位二进制补码表示的整数范围是 32768+ 32767 当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，

4、此时称为溢出。所以补码的设计目的是 使符号位能与有效值部分一起参加运算 ,从而简化运算规则使减法运算转换为加法运算 ,进一步简化计算机中运算器的线路设计4补码与真值之间的转换 正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末 位加 1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。【例2.16】X补码=01011001B, X补码=11011001B,分别求其真值X1) X 补码代表的数是正数，其真值：X = + 1011001B=+ (1 X 26+ 1 X 24+ 1 X 23+ 1 X 20)=+( 64+ 16+ 8+ 1)=+( 89) D2) X 补码代表的数是

5、负数，则真值：X = ( 1011001求反+ 1) B=(0100110+ 1) B=(0100111) B=(1X 25+ 1 X 22+ 1X 21 + 1 X 20)=(32 + 4+ 2+ 1)=(39) D二、补码加、减运算规则1 、运算规则X + Y补=X补+ Y补X Y补=X补+ Y补若已知丫补，求Y补的方法是：将Y补的各位(包括符号位)逐位取反再在最低位加1即可。例如： 丫补= 101101 丫补= 010011 2、溢出判断,一般用双符号位进行判断：符号位 00 表示正数 11 表示负数结果的符号位为 01 时,称为上溢；为 10时,称为下溢 例题：设x=0.1101，y=

6、 0.0111，符号位为双符号位用补码求 x+y, x yx补 +y补=00 1101+11 100 仁00 0110x y补=x补+ y补=00 1101+00 011 仁01 0100结果错误，正溢出 数值在计算机中表示形式为机器数 ,计算机只能识别 0和1,使用的是二进制 ,而在日常生活中人 们使用的是十进制 .数值有正负之分 ,计算机就用一个数的最高位存放符号 (0 为正,1 为负).这就是机器数的原码了 假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为(-127-0 +0127)共 256 个.有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算 .但是很快就发现用带符号位的

7、原码进行乘除 运算时结果正确 ,而在加减运算的时候就出现了问题 ,如下: 假设字长为 8bits( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确 . 因为在两个整数的加法运算中是没有问题的 ,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上 ,对 除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码 .反码的取值空间和原码相同且一一对应 . 下面 是反码的减法运算 :( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )1

8、0(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111反) = ( -0 ) 有问题.( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110反) = ( -1 ) 正确问题出现在 (+0)和 (-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的 .(印度人首先将零作为标记 并放入运算之中 ,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大 ).于是就引入了补码概念 . 负数的补码就是对反码加一 ,而正数不变 ,正数的原码反码补码是一 样的.在补码中用 (-1

9、28)代替了 (-0),所以补码的表示范围为 :(-1280127)共 256 个.注意:(-128)没有相对应的原码和反码 , (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下 :( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10(00000001)补 + (11111111补) = (00000000)补 = ( 0 ) 正确( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111补) = ( -1 ) 正确所以补码的设计

10、目的是 :使符号位能与有效值部分一起参加运算 ,从而简化运算规则 .使减法运算转换为加法运算 ,进一步简化计算机中运算器的线路设计 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、 C 等其他高级语言中使 用的都是原码。看了上面这些你应该对原码、反码、补码有了新的认识了吧 在计算机内，定点数有 3 种表示法：原码、反码和补码所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“ 0”表示正，“ 1”表示负，其余位表示数值的大小。反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位 除外。补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的

11、末位加1。1、原码、反码和补码的表示方法（ 1）原码：在数值前直接加一符号位的表示法。例如： 符号位 数值位+7 原= 00000111 B-7 原=10000111 B注意： a. 数 0 的原码有两种形式：+0原=00000000B-0原=10000000Bb. 8位二进制原码的表示范围：-127+127（2）反码：正数：正数的反码与原码相同。负数：负数的反码，符号位为“ 1”，数值部分按位取反。例如：符号位 数值位+7 反 = 00000111 B-7 反=11111000 B注意： a. 数 0 的反码也有两种形式，即+0反=00000000B-0反=11111111Bb. 8位二进制

12、反码的表示范围：-127+1273）补码的表示方法1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12 进制进行计数循环的，即以 12为模。在时钟上，时针加上（正拨） 12 的整数位或减去（反拨） 12 的整数位，时针 的位置不变。 14点钟在舍去模 12后，成为（下午） 2点钟（ 14=14-12=2）。从 0点出发逆时 针拨 10 格即减去 10 小时，也可看成从 0 点出发顺时针拨 2 格（加上 2 小时），即 2 点 （0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模 12 的前提下， -10 可映射为 +2。由此可见，对于一个模 数为 12的循环系统来说，加 2和减 10的

13、效果是一样的；因此，在以 12为模的系统中，凡是 减 10 的运算都可以用加 2 来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结 构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法） 。10和2对模 12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满 8 位也就是 256 个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出 的量就是计数器的模，显然， 8 位二进制数，它的模数为 28=256。在计算中，两个互补的数 称为“补码”。2）补码的表示：正数：正数的补码和原码相同。负数：负数的补码则是符号位为“ 1”，数值

14、部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码 +1 ”。例如： 符号位 数值位+7 补= 0 0000111 B-7 补= 1 1111001 B补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。 正数的补码即是它所表示的数的真值， 而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。 采用补码进行运算，所得结果仍为补码。b. 与原码、反码不同，数值 0的补码只有一个，即0补=00000000B。c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128+127;进行补码运算时，应注 意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。2原码、反码

15、和补码之间的转换由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。在此，仅以负数情况分析1)已知原码，求补码。例：已知某数X的原码为10110100B,试求X的补码和反码。解：由X原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求 其补码时,再在其反码的末位加 1。1011010 0 原码反码，符号位不变，数值位取反1 +1补码故：X补=11001100B,X反=11001011B2)已知补码，求原码。分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减 1，然后取反。但是对二进制数来说，先减 1 后取反和先取反后加 1 得到的结果是一样的，故仍可采用取反加 1

16、有方法。例：已知某数X的补码11101110B试求其原码 解：由X补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反, 再在末位加 1。1110 1110 补码符号位不变，数值位取反1 +1原码132 有符号数运算时的溢出问题 请大家来做两个题目： 两正数相加怎么变成了负数？1）（+72）+（+98）=？ 0 1 0 0 1 0 0 0 B +72+ 0 1 1 0 0 0 1 0 B +981 0 1 0 1 0 1 0 B-42两负数相加怎么会得出正数？2）（-83）+（-80）=？1 0 1 0 1 1 0 1 B -83+ 1 0 1 1 0 0 0 0

17、B -800 1 0 1 1 1 0 1 B+93思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？答案：这是因为发生了溢出。如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码 表示法时，可表示的数 X的范围是-2n-1W X < 2n-1-1当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运 算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只 能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高

18、位（符号位） 相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位， 但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了 范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围） 也会出现溢出。在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在 c 语言的教学中有比较重要的地位， 而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与 结果显

19、示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。故需 设清除各部分及清除全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会 溢出：当有一个数的反码的全部位是 1 才会溢出，那么它的原码是 10000.，它不是负数，故 不会溢出。在 n 位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余 n-1 位 为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真 值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码 的最低位加一。注意符号位不变。总结：提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某” ，而不

20、是只显示数值。原码、反码和补码、原码 求原码：X >0,则符号位为0,其余照抄; X < 0,则符号位为1其余照抄。X 原 = 01001001X原=11001001X 反 = 01001001X 反 = 10110110【例 1】X=+1001001【例 2】X=-1001001二、反码 求反码：若X>0,符号位为0,其余照抄; 若X < 0,符号位为1,其余按位取反。【例 3】X=+1001001【例 4】X=-1001001三、补码 求补码：若X>0,符号位为0,其余照抄； 若X < 0,符号位为1,其余取反后，最低位加1。【例 5】X=+100100

21、1X 补 = 01001001【例 6】X=-1001001X 补 = 10110111四、补码加减法计算机中实际上只有加法,减法运算转换成加法运算进行,乘法运算转换成加法运算进 行,除法运算转换成减法运算进行。用补码可以很方便的进行这种运算。1 、补码加法X+Y补=X补 + Y补【例 7】X=+0110011,Y=-0101001,求X+Y补X补=00110011Y补=11010111X+Y 补 = X 补 + Y 补 = 00110011+11010111=00001010 注：因为计算机中运算器的位长是固定的,上述运算中产生的最高位进位将丢掉,所以结果 不是100001010,而是 00001010。2、补码减法X-Y补=X补-丫补=X补 + -Y补其中 -Y 补称为负补,求负补的方法是：对补码的每一位（包括符号位