2018年全国硕士研究生招生考试大连理工大学调剂数学加试考试大纲

1、2018年全国硕士研究生招生考试大连理工大学调剂数学加试考试大纲单考“数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型（填空题）占 40%主观题型（计算题、简单的的推导与证明题）占60%具体复习大纲如下：一、函数、极限、连续1. 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。lim f(x)alim f(x)lim f (x) a类型 xx。x x0x x0lim f(x) alim f (x)lim f(x)axxx2. 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。当 x 0 时 xsinxln（1 x）ex 13. 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则

2、运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限利用连续性.sin x / lim 1两个重要极限lim 1 -x xx 0 x 1 lim 1 x x x 0无穷小等价代换当 x 0 时 x sinx ln(1x) ex 1cosx “1 ”型 f(x)gx利用重要极限式指数化limf)lim f (x)gx elimg(x)lnf(x) e 西有理函数rx e上极限(xxo,x)q x4.理解函数的连续性(含左连续与右连续)、会求函数间断点的类型。类型 lim f(x) f(xo)lim f(x) lim f (x) f(x0)x x0x x0x x0理解续函数的性质和初等函数的连续性

3、，能判断分段函 数的连续性。(1)定义：如果lim f (x) f(x0)那么就称函数y f(x)在点x0 x x0连续。lim y 0 x 0(2)主要条件：lim f(x) f(x0) lim f(x)(由此可求两个参 x x0x x0数)5.熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、零点定理 )。二、一元函数微分学1 .理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、 函数的可导性与连续性之间的关系、掌握平面曲线的切线和 法线方程的计算方法。导数定义：f (x0) =lim / lim f(x0x) f (x0),x 0 x x 0xf(x0)limf(

4、x0h)f(x。)和 f (x0)limf(x)f(x0)h 0hx x0 xx0f(x。)af(x。)f(x。)a f(%) ji?f (xoh) f (xo)2.掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、可导必连续，连续未必可导3阶微分形式的不变性。初等函数求导公式（16个求导公式,5个求导法则）导数公式微分公式(x )1 xd(x )1.x dx(sin x)cosxd(sin x)cos xdx(cosx)sin xd(cosx)sin xdx(tan x)2sec xd (tan x)2.sec xdx(cot x)2csc xd(cot x)2.csc xdx(secx)d (

5、secx)secx tan xdxsecx tan x(cscx)csc x cot xd(cscx)cscx cot xdxx (a )ax in ad(ax)ax in adxx (e )(log ax)(ln x)1xln a1(arcsin x)11 x2(arccosx)(arctan x)(arc cot x)2 x12 xd(ex)exdxd(logax)d(ln x)1 dx x ln a1 .一 dx xd (arcsin x)d (arccosx)d (arctan x)d (arc cot x)i 1 dx1 x2一一dx1 x211 x21dx1 x2dx(1)u(x)

6、 v(x) u(x) v(x)(2)u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) ,cu(x) cu (x)(3)u(x)v(x)u(x)v(x)2 u(x)v(x)(v(x) 0) v (x)d2y dx2cv(x)*>)0)dydxdy dx复合函数导数dy du du dxy f (u),u g(x), y fg(x),方程求二阶u称为中间变dydxw一出dx一出dy df dx dt(t)(t)d2y dx2(t)(t) (t)3(t)3.熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。例如：隐函数求二阶导数：f(x, y)=0 y=y(x)，方程两

7、边对x求导，y的函数看成x的复合函数4 .理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。5 .熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。6.熟练理解并掌握利用洛必达(l ' hospital) 法则与求未5定式极限。例如：洛必达法则：“0，-"型 lim£ limu)x x0 g(x) x x0 g (x)7.理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (水平、铅直和斜渐近线)(1)方 法：利用最值，单调性证不等式单调性：单调升：f(x1) f(x2),当x1 *2时单调降：f(xi)f(x2)

8、,当 xi x2 时f 0, f单调升，f 0, f单调降利用单调性证不等式，证f(x) g(x) , h(x) f (x) g(x) , h(x0) 0 (2)求导时最多到二阶8.理解函数最大值和最小值并掌握其简单应用。三、一元函数积分学1 .理解原函数和不定积分的概念.(1)原函数：在区间上，若 f (x) f(x),称为的一个原 函数。(2)不定积分：在区间i上，f(x)的原函数的全体称为 f(x)的不定积分，记为 f(x)dx f(x) c2 .理解不定积分的基本性质、基本积分公式.d kdx kx c(k 是常数)12) x dx c (1)1 dx ln | x | c , xex

9、dx ex cxx aaxdx cin a cosxdx sin x csin xdxdxsin2xcosx c2csc xdx cotx cdx2- cos x2sec xdx tanx csecxtan xdx secx c(11) cscx cot xdx cscx c(12) dx 2 arcsin x c.1 x2(13) dx 2 arctanx c 1 x3 .理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理、理解变上限定积分确定的函数并会求其导数、掌握牛顿-莱 布尼茨(newton-leibniz)公式.例如： :f(x)dx f(x)：f(b) f(a)d xd ad- f(t

10、)dt f(x), -d f (t)dt f(x)dx adx ,1，x . x 、cosxdx (e sin x e cosx) c 24 .掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法凑分法：f (x) (x)dx f(u)duu (x)掌握下列常用凑分法1(1) f (ax b)dx 一 f (ax b)d (ax b) a(2) cosxf (sinx)dx f (sinx)dsin x11 一(3)sin xf (cosx)dxf (cosx)d cosx分布积分法:udv uv vduuv dx uv u vdx掌握(1)xexdxxdex xex(2) x cosxdx xdsi

11、n x2(3) x ln xdx ln xd 2xx xe dx xe e cxsin xsin xdx xsin x cosx c222-ln x xdx - ln x - c22241 ,，、八an x - (x arctanx) c(5) e简化计算的技巧aaaa例如：(1) 1)若f(x)在a,a上连续且为偶函数，则 af(x)dx 2 ° f(x)dx2)若“刈在a, a上连续且为奇函数，则f(x)dx 0(2) 1n 02sinnxdx02 cosnxdxn_j u 3 1, n为正偶数 n n 2 4 2 2n_j u 4 2 , n为大于1的正奇数. n n 2 5

12、3(3)换元法(结合凑微分法)5,掌握有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6,熟练掌握利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积.四,常微分方程1 .理解常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。2 .熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(bernoulli)方程的计算方法。例如：形式 y p(x)y q(x)通解：y e p(x)dx q(x)e "x，c3 .理解线性微分方程解的性质及解的结构定理.4,掌握二阶常系数齐次线性的计算方法。例如：二阶常系数线性齐次方程通解。标准型p . p2 4q2y

13、 py qy 0,其中常数。解法：特征方程：r2 pr q 0 ,特征根%qer1x c2er2x , ri上实根通解 y(x) (g c2x)er1x ,r1r2实根e x(g cos x c2sin x), ri,25 .熟练理解并掌握简单的二阶常系数非齐次线性微分方 程：自由项为多项式、指数函数，以及它们的和与积的 计算方法。例如：二阶常系数线性非齐次方程通解。标准型 y py qy pm(x)ex,其中 p,q,常数 pm(x) ao axamxm,am 0解法：通解y(x) y(x) y*(x),其中y(x)为对应齐次方程 通解，y*(x)为本身的特解。0 ,当r1且r2y*(x)

14、xkqm(x)ex, 其 中 k 1 ,当 r或2,2 ,当ri且r2qm(x) bo bixbmxm6 .会用微分方程解决一些简单的应用问题。五、多元函数微分学1 . 了解二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多 元连续函数的性质。2 .理解并掌握多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。3 .熟练理解并掌握多元复合函数求二阶偏导数，会求隐函数的导数。例如：多元复合函数求偏导数 设函数u (x, y)和v (x, y)在(x, y)点分别具有对x和y的偏导数，而对应的函数z f(u,v)在相应的(u,v)点具有对u和v的连续偏导数，则复合函数f( (x, y), (x, y)

15、在(x,y)点具有对(x,y)的偏导数，且同链相乘,分链相加若 u (x, y)和 v(x,y)二阶可偏导，zf(u,v)具有二阶连续偏导数，则22三fflx y x yu fll fl2-x y y2f2 f21f22-y y4 .理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。例如：(1)方向导数：函数u f (x , y , z)在p0(x0,y0,z0)点沿方向ei (cos ,cos , cos )的方向导数=fx(xo，yo, zo)cosfy(x0, yo，zo)cosfz(x°, y°,z°)cos(x0,y0,z()(2)梯度：函数 u f ( x

16、, y , z )在 p0( x0, y0,z°)点的梯度grad u5 .会求空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线例如：1)空间曲线切线与法平面方程x x(t)设空间曲线y y(t) t 在po(xo, yoh参数to , z z(t)切向量 s (x(to),y(to),z(to),切线方程：土3 » -0 x(to)y (to)z(to)法平面方程：x(to)(xxo)y(to)(yyo)z(to)(zzo) 02)空间曲面的切平面与法线方程设空间曲面：f(x,y,z) o在切点po(xo，yo，zo),法向量n (fx,fy,fz)p°切平面方程：f

17、xp(xxo)fyp(yyo)fz p(zz°)。，opo0法线方程：xxo r yo zofxipofy.ofz po6 .熟练理解并掌握多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。例如：条件极值问题可表述为：求函数u f(x1,x2, ,xn)在条件g(x1,x2,可。下的极值。方法：构造拉格朗日函数l(xi,x2, ,xn, ) f g,令l-lx2,lxn 0, l 0,解由(xi,x2, ,xn),代入 f(x1,x2, ,xn),其中最大(小)者为最大(小)值。六、多元函数积分学1. 理解二重积分和三重积分的概念及性质、熟练掌握二重积分的

18、计算（ 直角坐标、极坐标） 、会计算三重积分（ 直角坐标、柱面坐标、球面坐标）例如：1）积分区域d为x型区域八）y 2（x）,axbb2(x)f (x, y)d = dx f (x, y)dy ，a1(x)d积分区域d为y型区域1(y) x 2(y) ， c y df (x, y)ddd= dyc2(y)1 (y)f (x, y)dx ，2）对于二重积分,如果区域d关于x轴对称,函数f（x,y）是关于 y 的奇函数 ( 既 f(x, y) f (x,y) ), 则f (x, y)d 0 ; d若是偶函数( 既 f(x, y) f(x,y), 则f (x,y)d 2 f(x, y)ddd1其中d

19、i是d在x轴的上半部分对于二重积分,如果区域d关于y轴对称，函数f(x,y)是关于x的奇函数(既f( x,y) f(x,y),则f(x,y)d 0 ; d若是偶函数( 既 f( x,y) f(x,y), 则f (x, y)d 2 f(x,y)ddd2其中d2是d在y轴的右半部分2 .理解两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法。3 .熟练掌握格林(green)公式和平面曲线积分与路径无 关的条件、会求二元函数全微分的原函数。例如：1)第二型曲线积分(平面曲线)积分形式： ip(x,y)dx+ lq(x,y)dy= lp(x,y)dx q(x,y)dy曲线积分与路

20、径无关的充要条件之一是：工上在x yd内恒成立；2)格林(green)公式p(x, y)dx q(x, y)dyldpds y其中l是d的正方向边界曲线。4 . 了解两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分 的计算方法，熟练掌握用高斯和斯托克斯公式计算曲 线、曲面积分的方法。例如：高斯(gauss)公式p(x,y)dx q(x,y)dy r(x, y)dz s斯托克斯(stokes )公式4产+qdy+rdz = 口像-韵电dz+管号)包+翳野出 七、无穷级数1. 了解常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和13 的概念例如：两种级数(1) p级数1 ;二44当p 1时收敛，当2p 3p

21、4pnpp 1时发散(2)等比级数 aqn a aq aq2 aqn 当 | q | 1 收 n 0敛，且其和为3；当|q| 1时，等比级数发散1 q2.掌握级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件，掌 握几何级数与p级数及其收敛性，掌握正项级数收敛 性的比较判别法，掌握交错级数并会用莱布尼茨 (leibniz)判别法。例如：1)正项级数的比值判别法：正项级数 un , un 0 n 12)比值审敛法，(达朗贝尔(u alembert )判别法)设un为正项级数，如果lim也 ，则当1时级数收n n 1un敛； 1(或limu)时级数发散；1时级数可能n un收敛也可能发散.3 .交错级数(1)n1un(un 0)的莱