131函数单调性

1、 观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？1. 观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？2. 针对函数针对函数y=x2在在0，+ ）上图像，任取自）上图像，任取自 变量变量的两个值，比较其对应函数值的大小的两个值，比较其对应函数值的大小.3. 总结归纳出函数图象中自变量总结归纳出函数图象中自变量x和和 y值之间的变化值之

2、间的变化规律规律.1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ f(x) = x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 一般地，设函数的定一般地，设函数的定义域为义域为 I: 如果对于属于定如果对于属于定义域为义域为 I内某个区间上内某个区间上的的任意两个自变量的任意两个自变量的值值x1、x2 ,当当x1x2时时,都都有有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在这个区间上是增在这个区间上是增函数函数.1x2

3、x)(xfy )(1xf)(2xfxyo 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I： 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 ， 。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数。)(xf1x2x21xx )()(21xfxf )(xf一般地，设函数的定一般地，设函数的定义域为义域为 I: 如果对于属于定如果对于属于定义域为义域为 I内某个区间内某个区间上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值x1、x2 ,当当x1f(x2),那么那么就说就说f(x)在这个区间上在这个区

4、间上是减函数是减函数.1x2x)(1xf)(2xfxyo 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I： 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I I内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 ， 。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数。)(xf1x2x21xx )()(21xfxf )(xf)(xfy 如果函数如果函数 在某个区间上是增在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，)(xfy )(xfy 这一区间叫做这一区间叫做

5、 的单调区间。的单调区间。)(xfy 1.函数的单调性也叫函函数的单调性也叫函数的增减性数的增减性2. .函数的单调性是对某个区间而言函数的单调性是对某个区间而言 的的, ,它是一个局部概念它是一个局部概念. .注：注：例例1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-5,5上的函上的函数数 的图象的图象,根据图象说出根据图象说出的单调区间的单调区间,以及在每一区间上以及在每一区间上,是增函数还是减函数是增函数还是减函数.)(xfy )(xfy )(xfy )(xfy -2 212345-23-3-4-5-1-112xyO-2 212345-23-3-4-5-1-112xy)(xfy 在区间在区间

6、-5,-2), 1,3)上是减函数上是减函数在区间在区间-2,1), 3,5)上是增函数上是增函数.解解:函数函数 的单调区间有的单调区间有-5,-2), -2,1), 1,3), 3,5,)(xfy O12-2-1-11xyo如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区间上在每一区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数函数.)(xfy )(xfy 如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区间上在每一区间上,函数是增函数还是减

7、函数是增函数还是减函数函数.)(xfy -11xyo 2 2 )(xfy 练习练习:给出下列函数的图象给出下列函数的图象,指出函数的单调区间指出函数的单调区间,并指明其单调性并指明其单调性. 图（图（1） 图（图（2） yoxoyxyox在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数ab2-，,2abyoxyoxyox在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在 减函数ab2-，,2ab(0)ykx b k(0)y kx bk1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca例例2 2 证明函数证明函数 在在R R上是上是增函数增函数. .2

8、3)( xxf任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号得出结论得出结论判断函数单调性的方法步骤n利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：n任任取取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1 x x2 2；n作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )；n变形变形n定号定号（即判断差（即判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负）；的正负）；n下结论下结论（即指出函数（即指出函数f(x)f(x)在给定的在给定的区间区间D D上上的单调性）的单调性） （通常是因式分解和配

9、方通常是因式分解和配方）；）；例例3 证明函数证明函数 在在(-,0)上上是减函数是减函数.xxf1)( 2112212111)()(xxxxxxxfxf 由由 ，得，得)0 ,(,12xx021 xx又由又由 ， 得得21xx 012 xx于是于是 ，即，即0)()(21 xfxf)()(21xfxf 所以，所以， 在在 上是减函数上是减函数. .xxf1)( 证明证明：设设 是是 上的任意两个上的任意两个 实数，且实数，且 ，则，则 21,xx21xx （- - ，0 0）（- - ，0 0 ）O1x-111y解解：函数图象如右图所示：函数图象如右图所示:（-，0）和（）和（0，+ ） ）

10、是两个单调减区间。是两个单调减区间。：能否说该函数在区能否说该函数在区间（间（-，0）（0，+ ） ）上是单调减函数？上是单调减函数？)0(1)2(xxy不能不能 1 1、判断、判断f f（x x）=x=x2 2-1-1在（在（0 0，+ + ）上是增函数还是减函数？上是增函数还是减函数？ 2 2、判断、判断f f（x x）=-x=-x2 2+2x+2x在（在（- - ，0 0）上是增函数还是减函数？上是增函数还是减函数？增函数增函数增函数增函数Oxyx2xy221 1、函数单调性是对定义域的某个区间而言、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变的，反映的是在

11、这一区间上函数值随自变量变化的性质化的性质. 2、判断函数单调性的方法：、判断函数单调性的方法： （1）利用图象：）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的上升的，减函数图象是下降的. （2）利用定义：）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤：用定义证明函数单调性的一般步骤： 任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号 得出结论得出结论.课堂小结，知识再现课堂小结，知识再现巩固概念 判断：是增函数。所以函数因为)(),2() 1(,1)(xfffxxf1、已知2、若函数3、因为函数 在区间上 都是减函数，所以 在上 是减函数。上为增函数。，在上均为增函数，则，和，在区间31)(3221)(xfxfxxf1)(), 0()0 ,(和xxf1)(),0()0 ,(错错错强调 ：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性调性有的函数在整个定义域内单调有的函数在整个定义域内单