高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx＋φ的图象一导学案新人教A版必修4

1、人教版高中数学必修精品教学资料1.5 函数y=asin（x）的图象（一）学习目标1.理解yasin(x)中、a对图象的影响.2.掌握ysin x与yasin(x)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.知识点一(0)对函数ysin(x),xr的图象的影响思考1如何由yf(x)的图象变换得到yf(xa)的图象？答案向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位.思考2如何由ysin x的图象变换得到ysin(x)的图象？答案向左平移个单位.梳理如图所示,对于函数ysin(x)(0)的图象,可以看作是把ysin x的图象上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动|个单位长度而

2、得到的.知识点二(0)对函数ysin(x)的图象的影响思考1函数ysin x,ysin 2x和ysin x的周期分别是什么？答案2,4.思考2当三个函数的函数值相同时,它们x的取值有什么关系？答案当三个函数的函数值相同时,ysin 2x中x的取值是ysin x中x取值的,ysin x中x的取值是ysin x中x取值的2倍.思考3函数ysin x的图象是否可以通过ysin x的图象得到？答案 可以,只要“伸”或“缩”ysin x的图象即可.梳理如图所示,函数ysin(x)的图象,可以看作是把ysin(x)的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵

3、坐标不变)而得到.知识点三a(a0)对yasin(x)的图象的影响思考对于同一个x,函数y2sin x,ysin x和ysin x的函数值有何关系？答案对于同一个x,y2sin x的函数值是ysin x的函数值的2倍,而ysin x的函数值是ysin x的函数值的.梳理如图所示,函数yasin(x)的图象,可以看作是把ysin(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当a>1时)或缩短(当0<a<1时)到原来的a倍(横坐标不变)而得到.知识点四函数ysin x的图象与yasin(x)(a0,0)的图象关系正弦曲线ysin x到函数yasin(x)的图象的变换过程：ysin x的图象 y

4、sin(x)的图象ysin(x)的图象yasin(x)的图象. 类型一平移变换例1函数ysin的图象可以看作是由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的？解函数ysin的图象,可以看作是把曲线ysin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的.反思与感悟对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数,当x前系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从xx的平移量为|个单位.跟踪训练1要得到ycos的图象,只要将ysin 2x的图象()a.向左平移个单位b.向右平移个单位c.向左平移个单位d.向右平移个单位答案a解析ysin 2xcoscos

5、coscos.若设f(x)sin 2xcos,则fcos,所以向左平移个单位.类型二伸缩变换例2将函数ysin的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为_.答案ysin反思与感悟横向伸缩变换,只变,不发生变化.跟踪训练2将函数ysin(x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的5倍,可得到函数_的图象.答案ysin(x)类型三图象变换的综合应用例3把函数yf(x)的图象上的各点向右平移个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的倍,所得图象的解析式是y2sin,求f(x)的解析式.解y2siny3siny3siny3sin3sin3cos x. 所

6、以f(x)3cos x.反思与感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量,然后确定出a或即可.跟踪训练3将函数y2sin(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值为()a. b. c. d.答案b解析因为函数y2sin(x)的图象向左平移m个单位长度,所得图象对应的函数为y2sin(xm),所以mk,kz,即mk,kz.又m>0,所以m的最小值为,故选b.1.函数ycos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标

7、变为原来的2倍,得到图象的解析式为ycos x,则的值为()a.2 b. c.4 d.答案b2.要得到ysin的图象,只要将函数ysin 的图象()a.向左平移个单位 b.向右平移个单位c.向左平移个单位 d.向右平移个单位答案c3.为了得到函数ysin的图象,只需把函数ysin x的图象上所有的点()a.向左平行移动个单位长度b.向右平行移动个单位长度c.向上平行移动个单位长度d.向下平行移动个单位长度答案a解析由ysin x得到ysin(x±a)的图象,只需记住“左加右减”的规则即可.4.将函数ysin(2x)的图象向左平移个单位长度,所得函数图象的解析式为_.答案ycos 2x

8、解析ysin(2x)ysin,即ysinsincos 2x.5.函数ysin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得图象的函数解析式为_.答案ysin解析ysinysinsinysin.1.由ysin x的图象,通过变换可得到函数yasin(x)(a>0,>0)的图象,其变化途径有两条：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yasin(x).(2)ysin xysin xysin(x)sin(x)yasin(x).注意两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换,平移|个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移个

9、单位,这是很易出错的地方,应特别注意.2.类似地,yacos(x) (a>0,>0)的图象也可由ycos x的图象变换得到.课时作业一、选择题1.将函数y2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为()a.y2sin b.y2sinc.y2sin d.y2sin答案d解析函数y2sin的周期为,将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位,所得函数为y2sin2sin,故选d.2.已知函数f(x)sin(xr,0)的最小正周期为,为了得到函数g(x)cos x的图象,只需将yf(x)的图象上所有的点()a.向左平移个单位长度b.向右平移个单位长度c.向左平移个单位长度d.向

10、右平移个单位长度答案a解析由t ,得2,g(x)cos 2xsin,f(x)sin的图象向左平移单位,得到ysinsing(x)的图象.3.为得到函数ycos的图象,只需将函数ysin x的图象()a.向左平移个单位长度b.向右平移个单位长度c.向左平移个单位长度d.向右平移个单位长度答案c解析ycos(x)sin(x)sin(x),所以只需将函数ysin x的图象向左平移个单位长度.4.把函数ysin的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数是()a.非奇非偶函数b.既是奇函数又是偶函数c.奇函数d.偶函数答案d解析ysin的图象向右平移个单位得到ysinsincos 2x的图象,ycos 2

11、x是偶函数.5.函数f(x)sin(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度.若所得图象与原图象重合,则的值不可能等于()a.4 b.6c.8 d.12答案b解析对于b选项,f(x)sin(6x)的图象向左平移个单位,得ysinsin(6x)sin(6x)的图象.6.给出几种变换：横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变；横坐标缩小到原来的,纵坐标不变；向左平移个单位长度；向右平移个单位长度；向左平移个单位长度；向右平移个单位长度.则由函数ysin x的图象得到ysin的图象,可以实施的方案是()a. b. c. d.答案d解析ysin x的图象ysin 2x的图象ysin的图象.7.为了得到函数y2

12、sin,xr的图象,只需把函数y2sin x,xr的图象上所有的点()a.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)b.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)c.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)d.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案c解析先将y2sin x,xr的图象向左平移个单位长度,得到函数y2sin,xr的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y2sin,xr的图象.二、填空题8.函数ysin(2x)的图象可以看作把函数ysi

13、n 2x的图象向_平移_个单位长度得到的.答案右9.将函数f(x)sin(x)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到ysin x的图象,则f_.答案解析ysin x的图象向左平移个单位长度,得到ysin的图象,再对每一点的横坐标伸长为原来的2倍,得到ysin(x)的图象,即为f(x)sin(x)的图象,所以f(x)sin(x),f().10.为得到函数ycos x的图象,可以把ysin x的图象向右平移个单位得到,那么的最小正值是_.答案解析ysin xcoscos向右平移个单位后得到ycos,2k,kz,2k,kz.的最小正值是.11.某同学给出了以下判

14、断：将ycos x的图象向右平移个单位,得到ysin x的图象；将ysin x的图象向右平移2个单位,可得到ysin(x2)的图象；将ysin(x)的图象向左平移2个单位,得到ysin(x2)的图象；函数ysin的图象是由ysin 2x的图象向左平移个单位而得到的.其中正确的结论是_.(将所有正确结论的序号都填上)答案12.要得到ysin()的图象,需将函数ycos的图象上所有的点至少向左平移_个单位长度.答案解析cossin(),将ysin()的图象上所有的点向左平移(>0)个单位长度得ysin()的图象.令2k,4k,kz.当k1时,是的最小正值.三、解答题13.使函数yf(x)的图

15、象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与ysin 2x的图象相同,求f(x)的表达式.解方法一(正向变换)yf(x)yf(2x)yf,即yf,fsin 2x.令2xt,则2xt,f(t)sin,即f(x)sin.方法二(逆向变换)根据题意,ysin 2xysin 2sin(2x)ysin.四、探究与拓展14.函数ysin 2x的图象向右平移(>0)个单位,得到的图象关于直线x对称,则的最小值为_.答案解析平移后解析式为ysin(2x2),图象关于x对称,2·2k(kz),(kz).又>0,当k1时,的最小值为.15.已知函数f(x)2sin x,其中常数>0.(1)若yf(x)在上单调递增,求的取值范围；(2)令2,将函数yf(x)的图象向