99多元函数的极值及其求法

1、第九节第九节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值，拉格朗日乘数法二、条件极值，拉格朗日乘数法xyz一、 多元函数的极值 及最大值、最小值定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz1. 多元函数的极值及其

2、求法说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理9.12 (必要条件必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 时, 具有极值定理9.13 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当a0 时取极小值.2) 当3) 当证明见

3、第九节(p72) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac例1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组abc),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yy

4、xfyy,12a,0b,6c,06122 bac5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(2233在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f,0)6(122 bac,0a在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba)2, 1 (f,0)6(122 bacabc例2.讨论函数讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022

5、时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 bac33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz2. 最大值和最小值函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点p 时, )(pf为极小 值)(pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据例3. .解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为8根据实际问题可知最小值在定

6、义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?8m,xy2ayx8xyy 8xyx 882xyx y00yx282()0 xxay282()0yyax因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m(2, 2)282 22例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xd为问怎样折法才能使断面面cos24

7、xcos22x0)sin(cos222x令xasin24sin4x0cossin2xa解得:由题意知,最大值在定义域d 内达到,而在域d 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxa)0,120:(2 xd0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x二、条件极值，拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(

8、0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz,0),(下在条件yx方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入辅助函数辅助函数f 称为拉格朗日( lagrange )函数.0 xxxff0yyyff0f利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxff推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束

9、条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxff021xxxxff021yyyyff021zzzzff01f01f例5.要设计一个容量为0v则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xf02zyyzyf02zxxzzf0)(2yxyxf00vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0vzyxyxzyzxs)(2)()(20vzyxyxzyzxfxyz得唯一驻点,2

10、230vzyx3024v由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20vzyxyxzyzxf2长、宽、高尺寸相等 .内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一