167;1 中值定理

1、 第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用1 中值定理中值定理2 2 洛必达法则洛必达法则3 3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值(一) 、罗尔定理(二) 、拉格朗日中值定理1 中值定理中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、法线及有关变化率问题法线及有关变化率问题.这一章我们来讨论导数的应这一章我们来讨论导数的应用问题用问题.我们知道，函数我们知道，函数)()(00 xfxxfy )(xfy 在区间在区间 xxx 00,上的增量上的增量可用它的微分可用它的微分xxfdy )(0 来近似计算来近似计算 其误差是比其误差是比

2、x 高阶的无穷小高阶的无穷小)(0 xfxy 即即是近似关系是近似关系)|(|充分小充分小x )(lim00 xfxyx 而而是极限关系是极限关系,都不便应用都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系不是极限关系，也不是近似关系.对此，拉格朗日对此，拉格朗日（lagrange）中值定理给出了圆满的解答：）中值定理给出了圆满的解答：xxxfy )(0 导数应用的理论基础导数应用的理论基础定理定理(rolle)若函数若函数 f ( x ) 满足满足（1）在闭区间）在闭区间a, b上连续上连续（2）在开区间）在开区间(a,

3、 b)内可导内可导（3）在区间端点处的函数值相等）在区间端点处的函数值相等 f (a)= f (b)0)()(),(,),( fxfbaba在在该该点点的的导导数数为为零零，即即使使得得函函数数内内至至少少存存在在一一点点则则在在例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且),1(2)( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f( (一一) )、 罗尔罗尔(rolle)定理定理几何解释几何解释: :xyo)(xfy abc1 2 若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，端

4、点的纵坐标相等，且除去两个端点外处且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的切线，切线，.,切切线线是是水水平平的的在在该该点点处处的的上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧cab物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.作用：作用：.0)x(f根的存在性根的存在性常用来讨论常用来讨论 注意：注意： rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区定理有三个条件：闭区间连续；开区间可间可 导；区间端点处的函数值相等；导；区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：如：y=x2

5、 在在 -1,2 上满足上满足(1),(2)，不满足，不满足 (3) 却在却在 (-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使0200 xxxy但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可三个条件缺一不可.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 ,2一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的一切条件一切条件. 0

6、)( xf但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使再例如再例如.1 , 0,)( xxxf在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件定理的一切条件.0)(的的点点但但也也找找不不到到使使 xf罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点的点.有的函数这样的点可能不止一个；有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给并未具体指出，即使对于给定定的具体函数，点的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，也不一定能指出是哪一点，如如)2ln()( xxxf在在-1，0上

7、满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而)2ln(2)( xxxxf但却不易找到使但却不易找到使 的点的点0)( xf但根据定理，这样的点是存在的但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例例1 1320( )80,8.f xxxx验证函数在区间上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理结论中的 值解：由于解：由于 是一初等函数，是一初等函数，32( )8f xxx所以区间所以区间 0, 8 包含在它的定义域内，包含在它的定义域内，且且 f (0) = f (8) = 0, 因此因此 f (

8、x) 在在 0,8 上上 满足罗满足罗尔定理的条件尔定理的条件.由于由于( )0,8(0 8) .f x在区间 上连续， ， 内可导00(0,8)4,()0.xfx即在内存在一点使得22382( ),3 (8)xfxxx0002230082()0,0,4,3 (8)xfxxxx令即得到例例2 不求导数，判断不求导数，判断f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个的导数有几个根，以及所在的区间根，以及所在的区间.例例3 3.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(,

9、1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx )1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x) （1 1） 闭区间闭区间,ba上连续上连续； （2 2） 在开区间在开区间),(ba内可导内

10、可导, , 那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. . :( )( ).f af b与罗尔定理相比条件中去掉了注意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成( (二二) ) 、拉格朗日、拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:xoy)(xfy ababc1 d2 .,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧xnm( )( )( ).f bf afbab-af(b)-f(a)注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精

11、确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.例例4 4320( )61160,3.f xxxxx验证函数在区间上满足拉格朗日定理的条件，并求出拉氏定理结论中的 值解：由于解：由于 是一初等函数，是一初等函数，32( )6116f xxxx所以区间所以区间 0, 3 包含在它的定义域内，包含在它的定义域内，因此因此 f (x) 在在 0, 3 上上 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件.由于由于( )0,3(0 3) .f x在区间 上连续， 在， 内可导0(3)(0)(),30fffx2000( 6)31211,3xx 即2

12、00430.xx亦即00001(3)(0,3)1,(3)(0)().30 xxxfffx解之得到舍去即在区间内存在一点使得成立( )( , ),f xa b设在内可导则有则有),(,00baxxx ).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 推论推论1.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf推论推论2 2cxgxfixgxfi )()(),()(上上在区间在区间那末那末上上在区间在区间如果如果例例5 5).11(2arcco

13、sarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx0 例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证：证：),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例7

14、 7 证明：证明：2arctanarcsin,(,).1xxxx 证：证：21arctan,1xx由于2222222111arcsin1111xxxxxxxx21.1x2arctanarcsin0,(,).1xxxx 故故所以由拉氏定理的推论所以由拉氏定理的推论 2 知，应当有：知，应当有：02arctanarcsin,(,).1xxcxx 其中其中 c0 为一固定常数，为求出为一固定常数，为求出 c0 ，可将，可将 x=0 代代入上式得：入上式得：c0= 0.2arctanarcsin.1xxx例例8 8 证明：证明：证：证：1lnln1abaabbln,.0.abaaba bbaabb其中

15、为常数且先对上式变形，可得：先对上式变形，可得：ln .yx为此我们引入函数为此我们引入函数在区间在区间 b, a 内应用拉氏定理，有：内应用拉氏定理，有：000lnln1(),( , )abfxxb aabx其中对对 ，有：有：0( , )xb a0111.axbln.abaababb1lnln1abaabb注意：注意： 一般来说，用中值定理证明一些不等式一般来说，用中值定理证明一些不等式时，可以考虑由以下三步来完成：时，可以考虑由以下三步来完成：（1） 由题设确定一个函数由题设确定一个函数 f (x) ;（2）选择与之对应的区间；）选择与之对应的区间；（3） 将将 f (x0) 适当进行放大或缩