一元函数积分学第25节定积分

1、 第二节第二节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义一、两个实例一、两个实例二、定积分的定义二、定积分的定义返回返回四、定积分的性质与四、定积分的性质与n-ln-l公式公式xyo? a曲边梯形曲边梯形1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、两个实例一、两个实例与两条直线与两条直线ax 、bx 0 y和和)(xfy ab由连续曲线由连续曲线直接求直接求a a是困难的是困难的要设法近似取代，要设法近似取代，且要尽量精确且要尽量精确所围成所围成矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bah方法方法: 用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代

2、曲边梯形面积显然，小矩形越多，显然，小矩形越多，abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（九个小矩形）矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积由此得出求曲边梯形面积由此得出求曲边梯形面积a a的一般思路：的一般思路：曲边梯形如图曲边梯形如图,1210bnxnxxxxa - - l,ba内插入若干个分点，内插入若干个分点，在区间在区间abxyo;1- - - d diiixxx长度为长度为,1- -iixx，小区间小区间,n个个ba分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点ix x在每个小区间在每个小区间iixx,1- -iiixfad d )(x x为高的

3、小矩形面积为为高的小矩形面积为为底，为底，以以)(,1iiifxxx x- -(1) (1) 分割分割(2) (2) 近似替代近似替代iiixfsd d )(x x相应曲边梯形面积的近似值为相应曲边梯形面积的近似值为ix xix1x1- -ix1- -nxx2 2iniixfad d )(1x x曲边梯形面积曲边梯形面积a的近似值为的近似值为则当则当 0 时时,就有就有为此为此必须让所有区间的长度都无限缩小必须让所有区间的长度都无限缩小即即:iniixfad d )(lim10 x x 曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3) (3) 求和求和将所有小曲边梯形的面积相加可得将所有小曲边梯形的面积相加

4、可得(4) (4) 取极限取极限要得到要得到a a的精确值的精确值 必须利用极限工具必须利用极限工具, ,设设为所有小区间长度的最大值为所有小区间长度的最大值,xmaxn21d d lxd dxd d,2 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动，设某物体作直线运动，是时间间隔是时间间隔,21tt上上 t的一个连续函数，的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程s.s.（3）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值，）将各小段的路程相加，便得到路程的近似值，)(tvv 已知速度已知速度0)(tv，且且思路思路：因为速度是变化的，故无法直接求出路

5、程因为速度是变化的，故无法直接求出路程s s，于是，于是（1）把整段时间分割成若干小段，）把整段时间分割成若干小段，（2）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值）每小段上速度看作不变，求出该小段上路程的近似值（4）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值）通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值（1 1）分割）分割212101tttttttnn - -l1- - - d diiitttiiitvsd d d d)( 某小段路程值某小段路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvsd d )(1 （4 4）取极限）取极限,max21ntttd dd dd d l iniit

6、vsd d )(lim10 路程的精确值路程的精确值返回返回即：即：(2) (2) 近似替代近似替代返回返回从以上两例可以看出：从以上两例可以看出：（2 2）近似替代）近似替代（1 1）分割）分割（3）求和）求和（4 4）取极限）取极限两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方案两个背景完全不同的例子，却有着完全类似的解决方案当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来，当我们忽略两例的背景，而把上述解题的思路抽象出来，就可以得到以下重要的定积分的概念就可以得到以下重要的定积分的概念设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界， bxxxxxann - -1210l1- - - d di

7、iixxx，), 2 , 1(l i， 定义定义二、定积分的定义二、定积分的定义我我们们就就称称这这个个极极限限 i为为函函数数)(xf 记为记为 baidxxf)(iinixfd d )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和附注附注： badxxf)( badttf)( baduuf)(而而与与积积分分变变量量字字母母的的选选取取无无关关. .即即 称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 定理定理1 1)(xf一一定定在在区区间间,ba上上可可积积. . 存在定理存在定理定理定理2

8、 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界， 则则)(xf也一定在区间也一定在区间,ba上可积上可积. . 怎样的函数怎样的函数)(xf才才在区间在区间,ba上可积上可积呢？呢？. . 若不特别申明，我们以后只讨论连续函数的定积分若不特别申明，我们以后只讨论连续函数的定积分例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.10dxx 解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1l )小区间小区间,1iixx- -的长度的长度nxi1 d d，(ni, 2 , 1l )取取iix x x iinixfd d )(1x xiinixd d x x1nni

9、ni11 ), 2 , 1(nil niin121则：则：2)1(12 nnn)(21 niinixfd d )(lim10 x x 故：故：dxx 1021 1 1这显然与实际吻合这显然与实际吻合但类似的计算非常困难，参见教材但类似的计算非常困难，参见教材p123 p123 例例1 1因此，要寻找求定积分的更好的方法因此，要寻找求定积分的更好的方法 牛牛莱公式莱公式, 0)( xf baadxxf)(表示表示曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf - - baadxxf)(表示表示曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和1a2a3a4a4321)(aaaadxxfba - - - -三

10、、定积分的几何意义三、定积分的几何意义表示表示曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值 f (x) 任意任意即：即：在在 x 轴下方的面积取轴下方的面积取负号负号轴上方的面积取轴上方的面积取正号正号；在在之间的之间的各部分面积的代各部分面积的代数和数和直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xbxaxxfx ,)( - - -例例2 2 利用几何意义计算定积分利用几何意义计算定积分解解1 1dxx 10)1表示表示由由 x = 0, x = 1, y = 0, y = x所围成的直角三角形的面积所围成的直角三角形的面积表示表示1121 21 dxx - - sin)2由由

11、x = -, x =, y = 0, y = sinx 所围成的两块图形所围成的两块图形两块图形面积相等两块图形面积相等, 又分别在上下半平面又分别在上下半平面.= 0.)110dxx .sin)2dxx - - .)3022dxxaa - -6420246-1 1-1-1的面积的面积, ,例例2 2 利用几何意义计算定积分利用几何意义计算定积分.)110dxx 解解.sin)2dxx - - .)3022dxxaa - -是半径为是半径为 a 的圆的圆表示表示半径为半径为 a 的圆面积的圆面积的四分之一的四分之一( (第一象限部分第一象限部分) )322xay- - dxxaa - -022

12、故故aa24a 用上述方法求定积分只适用于特殊情形用上述方法求定积分只适用于特殊情形, ,一般情形一般情形, ,需另谋出路需另谋出路 牛牛莱公式莱公式对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在， 且且不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小四、定积分的性质四、定积分的性质 和和牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式证证 badxxgxf)()(iiinixgfd d )()(lim10 x xx x iinixfd d )(lim10 x x iinixgd d )(lim10 x x badxxf)(.)( badxx

13、g（此性质可以推广到此性质可以推广到有限多个函数作和有限多个函数作和的情况的情况） badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质2 2函数的和与差可与函数的和与差可与定积分交换顺序定积分交换顺序dxba 1dxba ab- - .性质性质1 1证证 badxxkf)(iinixkfd d )(lim10 x x iinixfkd d )(lim10 x x iinixfkd d )(lim10 x x .)( badxxfk性质性质3 3常数可与定积分交换顺序常数可与定积分交换顺序常数是常数是“自由人自由人” babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数).

14、补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf定积分对于定积分对于积分区间积分区间具有可加性具有可加性 badxxf)( - - cbcadxxfdxxf)()(则则 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.性质性质4 4性质性质1 1、2 2、3 3常用于定积分的常用于定积分的计算计算证证, 0)( xf, 0)( x xif), 2 , 1(nil , 0 d dix, 0)(1 d dx x iinixf,max21nxxx

15、d dd dd d l iinixfd d )(lim10 x x . 0)( badxxf性质性质5 5解解令令,)(xexfx- - 0, 2- - x, 0)( xf, 0)(02 - - - -dxxexdxex - -02,02dxx - - 于是于是dxex - -20.20dxx - - 性质性质5 5常用于定积分的常用于定积分的大小比较大小比较3性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( - -xfxg, 0)()( - - dxxfxgba, 0)()( - - babadxxfdxxg（1）)(ba 证证, )()()(xfxfxf - -,)()

16、()(dxxfdxxfdxxfbababa - -即即dxxfba )(dxxfba )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的. .性质性质5 5的推论：的推论：dxxfba )(dxxfba )(.（2）证证,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba- - - - 性质性质6常用于常用于估计积分值的大致范围估计积分值的大致范围性质性质6 6解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx4证证mdxxfabmba - - )

17、(1)()()(abmdxxfabmba- - - - 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式性质性质7常用于常用于有关有关 定积分的定积分的证明题中证明题中使使,)(1)( - - x xbadxxfabf)(ba x xdxxfba )()(abf- - x x.即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoabx x)(x xf底底边边， 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，上连续，考察定积分考察定积分 xadxxf)( xadttf)(记为：记为：.)()( xadtt

18、fx称为称为积分上限函数积分上限函数如果上限如果上限x在区间在区间,ba上任意变动，上任意变动，,ba上定义了一个函数，上定义了一个函数，先引入积分上限函数的概念先引入积分上限函数的概念 x为为,ba上的一点，上的一点，并且设并且设所以它在所以它在一个取定的一个取定的x值，定积分值，定积分都都有一个对应值，有一个对应值，则对于每则对于每或：或：变上限函数变上限函数中值定理的应用中值定理的应用: : 原函数存在定理原函数存在定理积分上限函数的性质积分上限函数的性质abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xxd d 证：证：dttfxxxxa d d d d )()()()(xxx - -d

19、 d dddttfdttfxaxxa - - d d )()()(x x显然只能利用导数的定义来证显然只能利用导数的定义来证（p129）dttfdttfdttfxaxxxxa - - d d )()()(,)( d d xxxdttf由由积分中值定理积分中值定理得得xfd d dd)(x x,xxxd d x x),(x xfx d ddd)(limlim00 x xfxxxd dd d d dddxxd dx x, 0).()(xfx abxyoxxd d )( x x证毕证毕x x定理定理 （原函数存在定理）（原函数存在定理）则积分上限的函数则积分上限的函数就是就是)(xf在在,ba上的一

20、个上的一个原函数原函数. . 定理的重要意义定理的重要意义：（1 1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. .（2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. . xadttfx)()(如果如果)(xf在在,ba上连续，上连续，)(sin)(5202xdttxx 求求，：设：设例例)()()()(xxfdttfxa 一一般般地地：一方面，由定积分的定义知，路程一方面，由定积分的定义知，路程s为为 21)(ttdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12tsts- -).()()(1221t

21、stsdttvtt- - ).()(tvts 其中其中一个实例：变速直线运动中一个实例：变速直线运动中 位置函数与速度函数的位置函数与速度函数的联系联系设某物体作直线运动，设某物体作直线运动，是时间间隔是时间间隔,21tt上上 t的一个连续函数，的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程s.s.)(tvv 已知速度已知速度0)(tv，且且由此可见，定积分是其由此可见，定积分是其原函数在积分区间上的增量原函数在积分区间上的增量它有一般性吗？它有一般性吗？定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如果如果)(xf是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,

22、ba上的上的一个原函数，一个原函数，又又也是也是)(xf的一个原函数的一个原函数, , cxxf - -)()(,bax 证证牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 badxxf)()()(afbf- - 则则 xadttfx)()(令令ax ,)()(caaf - -0)()( dttfaaa,)(caf ).()()(afbfdxxfba- - 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式cxxf - -)()(令令bx ,)()(cbbf - -)()()(afbfb- - 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：)()()(afbfdxxfba- - baxf)( 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积

23、分问题转化为求原函数的问题. .于是，于是，过程为：过程为：dxxfba )( baxf)( )()(afbf- - 注意注意当当ba 时，时，上式仍成立上式仍成立d d例例6 6 求求 原式原式1033 x解解.102 dxx303133- - 31 例例8 8 求求 原式原式 31arctan- - x解解.11312 - - dxx)4(3 - - - )1arctan(3arctan- - - 127 例例7 7 求求 .tan40 xdx原式原式 40cosln x- - 解解022ln- - - 2ln21 例例9 9 求求 .112dxx - - -解解dxx - - -121

24、12|ln- - - x. 2ln2ln1ln- - - - xyo 解解 面积面积 0sinxdxa - - 0cosx)1(1- - - 10. 2 例例11 11 求求 .)1sincos2(20 - - dxxx例例12 12 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf原式原式 20cossin2 xxx- - - .23 - - 解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式xyo12. 6 211025xx 例例13 13 求求 .,max222 - -dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,211

25、00222 - - xxxxxx - -21210022dxxxdxdxx原式原式.2153138021)38(0 - - - - - - - xyo2xy xy 122- -213102023323 - -xxx例例14 14 求求.120 - -dxx解解 - - - - 102111dxxdxx原式原式2121022121 - - - - xxxx - - - - 1021)1()1(dxxdxx1 , 0)(2)( - - xfxf, 1)( xf, 01)0( - - f - - 10)(1)1(dttff - - 10)(1 dttf, 0 所以根据介值定理所以根据介值定理0)(

26、xf即原方程在即原方程在00，11上只有一个解上只有一个解. .证证, 1)(2)(0- - - dttfxxfx令令15第四节第四节 定积分的计算定积分的计算一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法返回返回定积分虽然是定积分虽然是 f (x) 的原函数在的原函数在 a , b 上的增量，上的增量，但在求定积分时通常不先求出原函数但在求定积分时通常不先求出原函数, 再求增量再求增量,而是把求不定积分的方法用到时求定积分的过程中而是把求不定积分的方法用到时求定积分的过程中,从而就有了与求不定积分十分类似的从而就有了与求不定积分十分类似的换元法和分部积分法换

27、元法和分部积分法定理定理一、定积分的换元法一、定积分的换元法p150应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :不必象计算不定积分那样不必象计算不定积分那样要把要把t的上、下限分别代入的上、下限分别代入然后相减就行了然后相减就行了.求出求出)()(ttf 的一个原函数的一个原函数)(t 后，后，（2 2）（1 1） 用用)(tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量t时，时，积分限也要相应的改变积分限也要相应的改变. . 换元必换限换元必换限)(t )(t而只要把新变量而只要把新变量无需回代无需回代再变换成原变量再变换成原变量 x 的函数，的函数，例例1 1 计算计算.sincos205 xd

28、xx - - 015dtt1066t .61 解：解： f (x) 中含中含 sinx 与与 cosx 的积，的积， 205sincosxdxx - - 205)cos(cos xxd2066cos - - x)61(0- - - .61 换元必换限换元必换限不换元则不换限不换元则不换限故可故可“凑微分凑微分”)cos( - -x类例：类例：p150, 例例4例例2 2 计算计算.022 - -rdhhrh故可故可“凑微分凑微分”解解hhr2)(22- - - -被积函数中含有根式，被积函数中含有根式，于是于是rhr02322)(3221 - - - 但但 - -rdhhrh022 - - -

29、 - rhrdhr02222)(21)31(03r- - - 33r 例例3 3 计算计算.sinsin053 - -dxxx解解xxxf53sinsin)(- - 23sincosxx - -053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx - -223sincosdxxx 2023sinsinxdx - -223sinsinxdx 2025sin52 x - -225sin52x.54 练习：练习：p150, 例例5例例4 4 计算计算.212102 - - dxxx解解分母中出现根式分母中出现根式4222 - - 22x- -而分子中同时出现而分子中同

30、时出现 x 和和 1 ，故应分开处理。，故应分开处理。原式原式 - - 10222dxxx - - 10221dxx - - - - 10222)2(xxd102arcsin x 10222x- - - 04- - 例例5 5 计算计算解解xdxx 40122被积函数是分式函数，分子次数高于分母，故可分拆变形。被积函数是分式函数，分子次数高于分母，故可分拆变形。xdxx 40122xdxx 40122321xdxxdx 404012231221)12()12(43)12()12(4140214021 - -xdxxdx40214023)12(243)12(3241 xx)13(23)127(6

31、1- - - - 3223313 )12(21 xddx证证,)()()(00 - - - aaaadxxfdxxfdxxf6 - - 0)(adxxf - - -0)(adttf,)(0 - -adttf),()(tftf - - - - - aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adxxf),()(tftf- - - - - - - aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 例例7 7 计算计算.1sin11232 - - dxxxx解解这是对称区间上的积分这是对称区间上的积分22 - - 但被积函数是非奇非偶函数，但被积函数是非奇非偶函数，原式原式 1

32、0arctan2xx - - 故必须分开处理：故必须分开处理： - - 11221dxxx - - 11231sindxxx - - 102)111(2dxx0 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . - - bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法.duvuvudv - - 例例11 11 计算计算.sin0 xdxx解解uvuvduvdu - - 0)cos(xxd原式原式 = = 0)cos(xx - - dxx - - - 0)cos( dxx 0cos 0s

33、inx 例例12 12 计算计算.cos402 dxxx解解udvuvduvdu 40tan xxd原式原式 = = 40)(tan xx dxx - -40tan 4 40cosln x 2ln214- - 练习练习 计算计算.2cos140 xxdx解解,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 - - 40secln218 - - x.42ln8- - 例例13 13 计算计算.arcsin210 xdx 210arcsin xdx 210arcsin xx - - -21021xxdx621

34、)1(112120221xdx- - - 12 21021x- - . 12312- - 解解被积函数是反三角函数与幂函数的乘积，故被积函数是反三角函数与幂函数的乘积，故uvuvduvdu=xdx例例14 14 计算计算.ln212 xdxx解解uvuvduvdu 213)31(lnxxd原式原式 = =213ln31 xxxdxln31213 - -32ln8 dxx - -212312ln38 21391 - -x2ln38 97- -例例15 15 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxinnn - - - - - - - - - - nnnnnnnnnn,325

35、4231,22143231ll 为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数证证设设,sin1xun- - ,sinxdxdv ,cossin)1(2xdxxndun- - - ,cosxv- - 连续偶数连续偶数连续奇数连续奇数(拆出一个拆出一个 sinx 来来)x2sin1- -0 dxxxnxxinnn - - - - - - 2202201cossin)1(cossindxxndxxninnn - - - - - -22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2- - - - - -21- - - nninni积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式ni42

36、23- - - - - nninni,ll直到下标减到直到下标减到0 0或或1 1为止为止 2200cossinxdxxdxinnn,sin1xun- - ,cossin)1(2xdxxndun- - - ,cosxv- - ,214365223221202immmmim - - - - - l,3254761222122112immmmim - - - l), 2 , 1(l m,2200 dxi , 1cossin20012 - - xxdxi,221436522322122 - - - - - lmmmmim.325476122212212 - - - lmmmmim于是于是返回返回故故

37、而而105483254767 i例例:7681052214365878 i例例16 16 计算计算.sin420 dxx 20cos2 tt- - 解解先设法去掉根式先设法去掉根式,xt 则则udvuvvdu令令原式原式 = 202sin tdtt 20sin2 tdtt - - -20cos2 tdt 20sin20 t 2 tdtdx2 ,costv- - 例例17 17 计算计算 - - aadxxax022)0(.1ax ,2 t0 x, 0 t解解令令,sintax ,costdtadx 原式原式 - - 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtt

38、tt - - 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 )cos(sinttd 0第五节第五节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、一、 定积分的元素法定积分的元素法(微元法微元法)二、平面图形的面积二、平面图形的面积回顾回顾求曲边梯形面积的问题求曲边梯形面积的问题 badxxfa)(ab xyo)(xfy 一、一、 定积分的元素法定积分的元素法它的面积它的面积将面积表示为定积分的将面积表示为定积分的步骤步骤如下如下:（3 3）求和求和，得，得a的近似值的近似值.)(1iinixfad d x x（n. i1）把区间）把区间,ba分成分成

39、个长度为个长度为的小区间，相的小区间，相应的曲边梯形被分为应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 个小窄个小窄曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 d d niiaa1则则,iad dixd diiixfad d d d)(x xiixd d x x（2 2）计算）计算iad d的的近似值近似值 )(xfy y（4 4） 求极限求极限，得，得a的精确值的精确值 badxxf)(iinixfad d )(lim10 x x ab xo由于区间由于区间xi , xi + x的任意性的任意性窄曲边梯形的面积窄曲边梯形的面积a 就可表示为：就可表示为：dxxf)( .)( badxxfd

40、xxfani)(lim10 在以上过程中，在以上过程中， ai 的获取最为关键的获取最为关键以及以及i 的任意性的任意性可以省略足标可以省略足标 i ，并将，并将取取成左端点取取成左端点 x这样这样, 任一小区间任一小区间x , x + x上的上的a =对面积元素求和取极限（即积分），对面积元素求和取极限（即积分），就有：就有：xdxx da面积元素面积元素使用使用元素法元素法解题的一般步骤：解题的一般步骤：1）根据所求量）根据所求量 a 的具体情况，的具体情况，为积分变量，为积分变量，2 2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成 n 个小区间，个小区间，取其中任一小区间并记为取其中任一小区间

41、并记为 ,dxxx ，求出相应于这小区间的部分量的近似值求出相应于这小区间的部分量的近似值 u称为称为量量 a的元素的元素dadxxfa)( 前述这种求面积的方法称为前述这种求面积的方法称为“元素法元素法”且记作且记作 即得所求量即得所求量a的积分表达式的积分表达式: :,ba上作定积分，上作定积分， 在区间在区间3 3）以所求量）以所求量a的元素的元素dxxf)(为被积表达式，为被积表达式，da = .)( badxxfax)选取一个变量选取一个变量(例如例如,ba；并确定它的变化区间并确定它的变化区间能使用能使用“元素法元素法”求解的所求量求解的所求量 a必须符合下列条件：必须符合下列条件

42、：（1 1）a是一个与变量是一个与变量 x的变化区间的变化区间 ba, 有关的量；有关的量；（2 2）a对于区间对于区间 ba, 具有可加性，具有可加性，则则 a相应地分成许多部分量，相应地分成许多部分量，就是说，就是说，如果把区间如果把区间 分成许多部分区间，分成许多部分区间， ba,而而 a 等于所有部分量之和等于所有部分量之和；且两者的差是一个比且两者的差是一个比xi 还要高阶的无穷小还要高阶的无穷小；即即: :两者的差与两者的差与xi 比值的极限为零比值的极限为零几何上的应用几何上的应用元素法元素法的的应用领域：应用领域：平面图形的平面图形的面积面积；体积；平面曲线的弧长；体积；平面曲线的弧长；返回返回功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等物理中的应用物理中的应用xyoxyo)(xfy a