化工问题的建模与数学分析方法化工数学6

1、第六章第六章 近似解析方法近似解析方法1、奇异摄动法、奇异摄动法2、试验函数法、试验函数法3、正交配置法、正交配置法第六章近似解析方法概论解析解与数值解的比较解析解与数值解的比较解析解解析解由简单函数关系式直接给出的对应关系由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到对一般问题难以得到数值解数值解以大量数字对应方式给出的函数关系以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题适用性广，可处理复杂问题和大规模问题 依赖于计算工具和特定算法，代价较大依赖于计算工具和特定算法，

2、代价较大第六章近似解析方法概论近似近似解析解解析解准确解的近似解析表达式准确解的近似解析表达式局部精确性较差，但整体规律性好局部精确性较差，但整体规律性好形式简单而满足工程应用形式简单而满足工程应用容易得到容易得到数学问题的求解原则数学问题的求解原则首先求准确解析解首先求准确解析解其次求近似解析解其次求近似解析解最后采用数值解最后采用数值解第六章 近似解析方法摄动法1 1 摄动法摄动法摄动法摄动法将问题对小参数进行级数展开的求解方法将问题对小参数进行级数展开的求解方法正则摄动：小参数直接展开的方法正则摄动：小参数直接展开的方法奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方奇异摄动：直接展开失效

3、后采用的专门方法或改进方 法法第六章 近似解析方法摄动法1 1、正则摄动与奇异摄动、正则摄动与奇异摄动例例1 1 最高次项含小参数的非线性代数方程的求解最高次项含小参数的非线性代数方程的求解设设得得2yay2012yyyy2201201012/yyyayyy第六章 近似解析方法摄动法正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。的非线性性质。0221023010(1) :( ) :() :22oyaoyyaoyy ya223( )2yaaa第六章 近似解析方法摄动法如果作变换如果作变换 y = u/ ，得得然后对然后对u 直接展开，得

4、到另一个根直接展开，得到另一个根2uau0111uuaua 第六章 近似解析方法摄动法准确解为准确解为当当 0时，其两个根分别趋于时，其两个根分别趋于y a和和y 1 ，对应，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。1( )(1)ya1142ay第六章 近似解析方法摄动法例例2 2 小参数位于非导数项中的情况小参数位于非导数项中的情况设设得得0(1)(0)1dyydxy2012( , )( )( )( )y xyxy xyx012010,dydydyyydxdxdx 第六章 近似解析方法摄动法近似解与准确解近似解与准确解极为接近，这种情况下正

5、则摄动法是奏效的。极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。20121( )1,( ),( )2yxy xxyxx 2212xxyex第六章 近似解析方法摄动法例例3 3 方程最高阶导数乘小参数的情况方程最高阶导数乘小参数的情况当当 0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。满足一个边值而难以同时满足两个边值。 220(1)(0),(1)d ydyydxdxyy第六章 近似解析方法摄动法直接展开得到直接展开得到取取x =1处的边界条件处的边界条件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到，得到 00(1):0dyo

6、ydx21012( ):dyd yoydxdx 第六章 近似解析方法摄动法在在 x =0 处处因此，近似解不满足因此，近似解不满足x =0 处的边值。处的边值。10( )xyxe11( )(1)xy xx e112( , )(1)()xxy xex eo1(0, )(1)ye第六章 近似解析方法摄动法分析：分析： x =0 处存在一个边界层处存在一个边界层边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征第六章 近似解析方法摄动法概念：渐近级数与收敛级数概念：渐近级数与收敛级数收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三

7、角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高；角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高；渐近级数：按参数展开的级数渐近级数：按参数展开的级数系数系数yn( (x) )是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的一定收敛，一般只取级数的2 23 3项。项。2012( , )( )( )( )y xyxy xyx第六章 近似解析方法摄动法2、边界层方法、边界层方法基本思想：基本思想：放大镜放大镜将空间边界层放大，使分布变平缓，突将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用；出边界层内的作用；慢镜头慢镜头将时间尺度放大，使变化减缓

8、，突出快将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。速变化的过程。历史来源与发展：历史来源与发展：prandtl边界层方程，边界层方程，blasuis匹配方法，匹配方法，plk方法方法第六章 近似解析方法摄动法边界层方法的求解步骤边界层方法的求解步骤1 1、外解、外解直接展开直接展开2 2、内解、内解边界层放大边界层放大3 3、匹配、匹配内解与外解的衔接内解与外解的衔接4 4、合成、合成内解与外解的组合内解与外解的组合第六章 近似解析方法摄动法例例31、外解、外解220(1)(0),(1)d ydyydxdxyy( )( )( )01( , )( )( )oooyxyxyx第六章 近似解析

9、方法摄动法2 2、内解、内解边界层放大，定义内部坐标边界层放大，定义内部坐标( )1( )101( ),( )(1)oxoxyxeyxx ex2120d ydyydd第六章 近似解析方法摄动法取取 1 1以保留二阶导数项，得以保留二阶导数项，得令令得得220d ydyydd( )( )( )01( , )( )( )iiiyyy 2( )( )0020iid ydydd第六章 近似解析方法摄动法解出解出0 0阶近似阶近似常数常数c c由匹配条件确定由匹配条件确定2( )( )( )11020iiid ydyydd( )0(0)iy( )0()iycc e第六章 近似解析方法摄动法3 3、匹配、

10、匹配prandtlprandtl匹配原理匹配原理0 0阶近似的匹配方法阶近似的匹配方法得得0 0阶内解阶内解( )( )0lim( , )lim( , )oixyxy ( )( )100( )(0)ioycye ( )110( )()iyee e第六章 近似解析方法摄动法4 4、合成、合成加法合成法加法合成法合成解外解内解公共部分合成解外解内解公共部分高阶近似的匹配高阶近似的匹配van dyke匹配原理匹配原理 n项外解的项外解的m项内部展开项内部展开 m项内解的项内解的n项外部展开项外部展开 11/( )()( )xxy xee eo第六章 近似解析方法摄动法匹配后的两项近似内解匹配后的两项

11、近似内解合成后的两项近似解合成后的两项近似解( )111112y ( )()(1)()()iee eeeee eo 111/2y( , )1(1)()(1)()xxxx eexe eo第六章 近似解析方法摄动法3 3、时间边界层、时间边界层刚性问题刚性问题（stiff equs)刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题；刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题；特点：特点：快步骤与慢步骤共存快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似拟稳态近似与定常态近似计算难点：数值振荡，多步计算难点：数值振荡，多步gear 方法方法奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果第六章 近似

12、解析方法摄动法例例慢时间尺度解（慢时间尺度解（ 0 0）拟稳态近似拟稳态近似( , , )dxf x ydt( , , )dyg x ydt 0,;0,xy 第六章 近似解析方法摄动法快时间尺度解快时间尺度解定常态近似定常态近似( , )0f x y ( , )dyg x ydt/ t( , , )dxf x yd( , , )dyg x yd第六章 近似解析方法摄动法合成与匹配合成与匹配von dyke匹配原理匹配原理例例：催化剂的平行失活问题：催化剂的平行失活问题反应快、失活慢，二者均需要考虑反应快、失活慢，二者均需要考虑()ainaadcvf ccvkc addadak c ad 第六章

13、 近似解析方法摄动法无量纲化无量纲化1 1、先求内解，内解可完全确定、先求内解，内解可完全确定1(1)dxxxydt dyxydt (0)0(0)1xy，第六章 近似解析方法摄动法令令1dxxxyd dyxyd ( )( )( )01( , )( )( ).iiixxx ( )( )( )01( , )( )( ).iiiyyy第六章 近似解析方法摄动法得到两项近似内解得到两项近似内解( )201()(1)2ixe( )0( )1iy22( )222121(1)( )(1)848816iexeeee 2( )11( )24iey第六章 近似解析方法摄动法2 2、直接展开求外解，外解不满足初值，

14、含任意常数、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数3 3、内、外解匹配确定外解任意常数、内、外解匹配确定外解任意常数得到外解得到外解( )( )00(0)lim( )1oiyy( )( )( )111( )1(0)lim( )4ioidyyyd第六章 近似解析方法摄动法( )0( )011ooxy( )( )001lnooyyt()()01()402(1)oooyxy ()()01()20(1)oooyyy第六章 近似解析方法摄动法4 4、合成含有快、慢尺度的统一解、合成含有快、慢尺度的统一解( )( )2200( )201( )()(1)4ootoyy tyeoy 2( )0( )222

15、22220( )4011( )12211(1)()48816(1)tootttttox teyytteeeeeoy第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4 4、移动的空间边界层问题、移动的空间边界层问题 非线性色谱过程的浓度前沿非线性色谱过程的浓度前沿非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用移动的空间边界层的形成移动的空间边界层的形成求解思路求解思路外解外解非线性色谱问题的激波解非线性色谱问题的激波解内解内解采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层匹配与合成匹配与合成第六章 近似解析方法摄动法问题问题22aaaa

16、ccnvdkczzc 1aan kcnkc( ,0)0acz(0, )aincc第六章 近似解析方法摄动法1 1、外解、外解由特征线法由特征线法浓度激波位置浓度激波位置xs由匹配条件确定由匹配条件确定 ( )( )a( )ooonccn cd ctxa (o)( ,0)0,(0, )1xtcc( )( , )0daxssoexxcx txx第六章 近似解析方法摄动法2 2、边界层内解、边界层内解积分得积分得3、匹配、匹配1( )sxxt( )( )2( )( )211iiinaidcdcd cundcdd( )(0)(1)iccandcu cn uc( )( )lim( , )lim( )si

17、xxosx tccc第六章 近似解析方法摄动法由以上由以上prandtlprandtl匹配条件得激波间断关系匹配条件得激波间断关系解得激波轨迹解得激波轨迹边界层内解边界层内解111/1/anssanun ccnccexp(ln1)acsccsn kdaxkxtdak( )( )2(1/(111lnln(0)(0)iiansscsscacsssncckccccknkccccc 第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4 4、0 0阶近似合成解阶近似合成解( )( )( )( , )( , )oisisssscx tccxxc x tcxxxxxx第六章 近似解析方法试验函数法2 2

18、试验函数方法试验函数方法 思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。确定不定参数。以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。要点：试验函数的选择要点：试验函数的选择残差处理方法残差处理方法第六章 近似解析方法试验函数法1 1、试验函数与方程残差试验函数与方程残差 例例1 落石问题落石问题分析：分析：下落速度从

19、零增加到末速度下落速度从零增加到末速度2(0)0dvmmgvdtvmgv第六章 近似解析方法试验函数法设试验函数为设试验函数为 是待定参数，代入方程得到残差是待定参数，代入方程得到残差 若要求在若要求在t=时刻方程成立，时刻方程成立，r()=0，得，得/(1)tavve/2( )(1)ttvr tegge0.7,( )0.63amvvg第六章 近似解析方法试验函数法由准确解由准确解特点：方程只在一个点满足，近似解特点：方程只在一个点满足，近似解“八九不离十八九不离十”例例2 催化剂颗粒有效系数计算催化剂颗粒有效系数计算 0.745mg2()( )0(1)1,(0)0ssddyxx r ydxd

20、xyy第六章 近似解析方法试验函数法设试验函数设试验函数要求方程积分满足，得要求方程积分满足，得121011( )(1)(1)sxssdyx r y dxrdxr2( )(1)y xaa x1202(1)( )sax r y dx2(1)(1)2(1)sar第六章 近似解析方法试验函数法取取s=0，r(y)=y ，得得准确解准确解 1 时，相差甚微（时，相差甚微（1%左右）左右） ， 越大相差越大。越大相差越大。原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。22662a233tanh第六章 近似解析方法试验函数法改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函

21、数改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函数仍要求方程积分满足，确定参数仍要求方程积分满足，确定参数xp2( )10ppppxxxxy xxxx61px 第六章 近似解析方法试验函数法准确解准确解 ，说明试验函数越接近真实，结果越，说明试验函数越接近真实，结果越准确。准确。 例例3 试井问题试井问题拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程221122 10.82(1)6xpdydxx1/第六章 近似解析方法试验函数法1()fcpprrrrkt10:tpp=1:rpp=2wr rpqrrhk1uuxx xx第六章 近似解析方法试验函数法分析：影

22、响半径分析：影响半径rr( ) ，漏斗型分布，拟稳态假设，漏斗型分布，拟稳态假设无穷远边值的有限化无穷远边值的有限化积分平均近似积分平均近似拟稳态试验函数拟稳态试验函数( , , )0u r p t 0 x rux11111rrruuuxdxxxdxxxxxxlnauaxb第六章 近似解析方法试验函数法由边界条件由边界条件影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得准确解准确解( )lnar tux2drrd41r11ln(41)ln0.722au1ln0.8092u第六章 近似解析方法试验函数法小结：试验函数法小结：试验函数法试验函数的选择试验函数的选

23、择尽可能接近真实尽可能接近真实事先满足初始与边界条件事先满足初始与边界条件方程残差的处理方程残差的处理 点近似点近似 积分平均近似积分平均近似 加权积分近似加权积分近似第六章 近似解析方法试验函数法2 2、空间平均近似、空间平均近似 例例：球形颗粒上的不定常扩散球形颗粒上的不定常扩散 采用采用抛物型试验函数抛物型试验函数: 221()uuxxxx( ,0)0u x00 xux(1, )1ut 212( , )( )( )auxaax第六章 近似解析方法试验函数法代入方程，令空间积分为代入方程，令空间积分为0 0，得，得系数系数a a由初始条件确定，定义空间平均浓度，得由初始条件确定，定义空间平

24、均浓度，得由初值为由初值为0 0 151512( )1,( )aaeaae 123( )( )5auaa123(0)(0)05aa12555,1exp( 15 ),exp( 15 )222aaa 第六章 近似解析方法试验函数法近似解与准确解的比较：近似解与准确解的比较：长时间后准确，短时间内偏离。长时间后准确，短时间内偏离。原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。255( , )1exp( 15 )exp( 15 )22auxx 1 exp( 15 )au 第六章 近似解析方法试验函数法第六章 近似解析方法试验函数法改进改进取渗透型试验函数取渗透型试验函

25、数由空间平均近似由空间平均近似2( )1( )papxxvx611( )ppdxdx( )12 3px 第六章 近似解析方法试验函数法短时间解短时间解准确解准确解2( )11( )paapxxvuxxx231( )( )1( )2 334apppuxxx2 33.464au63.385u第六章 近似解析方法试验函数法3 3、边界层动量积分方法、边界层动量积分方法问题：问题：prandtl边界层方程，非线性边界层方程，非线性pde方程组方程组y=0: u=v=0; y: u=u, v=0 x0: u=u, v=022uuuuvxyy0uxy第六章 近似解析方法试验函数法方法要点：方法要点：在边界

26、层内用积分形式的动量方程代替微分方程在边界层内用积分形式的动量方程代替微分方程选择满足边界条件的多项式或其它函数为试验函数选择满足边界条件的多项式或其它函数为试验函数第六章 近似解析方法试验函数法1）边界层积分动量方程的推导）边界层积分动量方程的推导边界层厚度边界层厚度 (x)是一个待定的函数是一个待定的函数 22 () ()uu uuuuvxyy 000 ()()uu uu dyuuvxy 00()yduu uu dyvdxy第六章 近似解析方法试验函数法2）试验函数的选取）试验函数的选取满足以下边界条件满足以下边界条件取取( , )( )aux yfu220:0 ,0uyuy=:,0uyu

27、uyd=32( )fabcd第六章 近似解析方法试验函数法代入动量积分方程得到确定边界层厚度代入动量积分方程得到确定边界层厚度 (x)的方程的方程准确解准确解331( )22f30.142dvdxu( )4.64vxxu( )5.0vxxu第六章 近似解析方法试验函数法4、加权余量法（、加权余量法（galerkin方法）方法） 残差加权积分为残差加权积分为0的近似方法的近似方法权函数的选择权函数的选择点近似点近似积分平均近似积分平均近似矩量积分近似矩量积分近似最小二乘近似最小二乘近似( )( )0vrwdv xx第六章 近似解析方法试验函数法galerkin方法方法 galerkin方法应用最

28、广，其物理基础为变分原理方法应用最广，其物理基础为变分原理( )0biayr xdxa1( ,)( )nniiiiyx aax( )( )01,2,biar xx dxin第六章 近似解析方法试验函数法例例：催化剂有效系数计算：催化剂有效系数计算取试验函数取试验函数方程残差方程残差22210(0)0,(1)1nydyyx dxxyy21(1),yazzx 2( , )1(1)4nr z aaaz 第六章 近似解析方法试验函数法由由galerkin方法方法n=2时时1100( , )( , )(1)0yr z adzr z az dza1201(1)(1)04naazz dz 12091(1)(

29、1)040.7005( 2.86)aazz dza 第六章 近似解析方法试验函数法准确解准确解 0.446比较：空间平均近似法比较：空间平均近似法 =0.384 11222001(1)10.4633ay duazdza 12091(1)040.865( 3.468)aazdza 第六章 近似解析方法正交配置法3 正交配置法正交配置法 galerkin法的特点法的特点精度高精度高积分计算量大积分计算量大改进改进用高斯积分公式进行用高斯积分公式进行galerkin法的积分运算法的积分运算正交配置法（正交配置法（finlayson 1972, villadsen 1978)第六章 近似解析方法正交配

30、置法1 1、以待定参数为未知量的正交配置法、以待定参数为未知量的正交配置法 例：催化剂颗粒问题例：催化剂颗粒问题设设残差残差galerkin法确定参数法确定参数a 的方程的方程111 (1)inniiyza z 22221111( , )(1)1 (1)4nniiiniiiirzaizi zza za第六章 近似解析方法正交配置法采用采用gauss求积公式来计算求积公式来计算galerkin积分积分取取n个个jacobi正交多项式的根为节点，得到正交多项式的根为节点，得到 110( , )(1)01,2,jnrzz zdzjna110( )()mjjjf z dzw f z11( ,)01,2

31、,niknkkkkw rz zjna第六章 近似解析方法正交配置法上式是关于上式是关于n个残差项个残差项rnj的线性代数方程组，由于的线性代数方程组，由于 得到充分必要条件得到充分必要条件上式为上式为n个节点上的配置方程，可定出个节点上的配置方程，可定出n个参数个参数a。因此，当采用高斯积分公式来计算因此，当采用高斯积分公式来计算galerkin积分时，积分时，galerkin方法就成为高斯节点上的配置方法，二者的误方法就成为高斯节点上的配置方法，二者的误差就是高斯积分误差，具有差就是高斯积分误差，具有2n1阶代数精度。相应的阶代数精度。相应的方法称为正交配置法。方法称为正交配置法。1det(

32、)0jkkw z-( , )01,2,n jnjrrzjn=la a第六章 近似解析方法正交配置法jaccobi正交多项式的概念正交多项式的概念( 0,1)区间上的特征值问题的非零解区间上的特征值问题的非零解n次正交多项式在次正交多项式在(0,1)区间的区间的n个根就是配置节点个根就是配置节点。例例：催化剂有效系数的计算：催化剂有效系数的计算babab-+ -+=22( 1)21 (2)(1)0dydyxxxn nydxdx1( , )( , )0(1)( )( )0()nmxxpx px dxnmbaa ba b-=第六章 近似解析方法正交配置法用高斯积分公式来代替用高斯积分公式来代替gal

33、erkin积分公式计算残差，单积分公式计算残差，单点近似点近似z1=1/3，仍取，仍取n=2, =3，解出，解出 111110( )(1)( )0rzz dzw rz-=2111()1(1)04nr zaaz 0.6771( 3.32)a第六章 近似解析方法正交配置法正交配置解正交配置解galerkin方法方法 0.463 差别源于高斯积分的微小误差。差别源于高斯积分的微小误差。小结：小结：galerkin法：通过残差加权积分为零确定参数法：通过残差加权积分为零确定参数正交配置法：残差在正交节点上直接为零确定参数正交配置法：残差在正交节点上直接为零确定参数二则差别仅为高斯积分近似误差二则差别仅

34、为高斯积分近似误差1 0.6771(1),0.476yz 第六章 近似解析方法正交配置法2 2、以节点函数值为未知量的正交配置法、以节点函数值为未知量的正交配置法取正交节点上的函数值取正交节点上的函数值yi=yi(x)为待定参数，代替为待定参数，代替ai，试试验函数取为验函数取为n次多项式次多项式lagrangian插值函数插值函数+=11( )( )nni iiyxyl x+-+=-+-=-llll111111,1111() ()() ()( )() ()() ()njiinijiiiiiiinijxxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxx第六章 近似解析方法正交配置法以节点函数值为待定参数，意义明确，插值函数已知，以节点函数值为待定参数，意义明确，插值函数已知，便于求导便于求导导数的离散导数的离散1111( )jjnniiji ixxiixxdl xdyya ydxdx+=轾轾犏=犏犏犏臌臌邋ddx=y ya ya y22ddx=y yb b y y第六章 近似解析方法正交配置法因此，对于任意的微分方程因此，对于任意的微分方