142微积分基本定理课件新人教B版选修22

1、微积分基本定理2 . 4 . 1 ,1,.,211033dxxdxxxxf例如分对于有些定积却比较麻烦的值计算但直接用定积分的定义非常简单虽然被积函数现从前面的学习中可以发.dxx121定定义义计计算算请请你你尝尝试试利利用用定定积积分分几乎不可能几乎不可能.?,?,.和和定定积积分分的的联联系系我我们们先先来来探探究究一一下下导导数数呢呢利利用用这这种种联联系系求求定定积积分分我我们们能能否否内内在在的的联联系系呢呢这这两两个个概概念念之之间间有有没没有有导导数数和和定定积积分分的的概概念念中中两两个个最最基基本本和和最最重重要要学学我我们们已已经经学学习习了了微微积积分分另另外外方方法法求

2、求定定积积分分呢呢加加简简便便、有有效效的的有有没没有有更更那那么么直直接接用用定定义义计计算算 ?stvts,sb, atstvt,.tss, 16.1吗吗表表示示、你你能能分分别别用用内内的的位位移移为为设设这这个个物物体体在在时时间间段段的的速速度度时时刻刻它它在在任任意意由由导导数数的的概概念念可可知知运运动动规规律律是是物物体体的的一一个个作作变变速速直直线线运运动动的的如如图图探探究究 0ta1t1itit1nt ntb ba1h1hihihnhnsis1s tss stso16.1图图 .stv,来求位移由我们还可以利用定积分另一方面 .asbss,atbttsss,即处的函数值

3、之差处与在是函数物体的位移显然.nabttt,t ,t,t ,t,t ,t,t ,t:nb, abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每个小区间的长度均为个小区间等分成将区间用分点 .tsnabttsttvhs,tv,tv,t ,t,t1i1i1iii1ii1i物体所作的位移作匀速运动体近似地以速度可以认为物的变化很小上在很小时当pdcots1its itsisiht1itit tss 26.1图图 . ttstdpctanhs,tspd,ppd,pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切线导数的几何意义知由点处的切线是点为对应的上与设曲线图从几何意义上看n1iin1

4、iihss, 16.1可得物体总位移结合图. ttsttv1in1in1i1i,b, a,t,n,的分划就越细区间越小即越大显然1in1in1in1in1i1itvnablims.sttsttv由定积分的定义有的近似程度就越好与1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvsbaba有结合 .asbsb, atstv,tss,分分就就是是物物体体的的位位移移上上的的定定积积在在区区间间那那么么律律是是物物体体的的运运动动规规如如果果作作变变速速直直线线运运动动的的上上式式表表明明 .afbf|xfdxxf,|xfafbf,bababa即即记记成成我我们们常

5、常常常把把为为了了方方便便 .xf,.xfxfxfdxxf,ba法法则则从从反反方方向向求求出出算算导导公公式式和和导导数数的的四四则则运运运运用用基基本本初初等等函函数数的的求求我我们们可可以以通通常常的的函函数数是是找找到到满满足足的的关关键键计计算算定定积积分分微微积积分分基基本本定定理理表表明明 又叫做又叫做这个结论叫做这个结论叫做那么那么并且并且上的连续函数上的连续函数是区间是区间如果如果一般地一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.afbfdxxf,xfxf,b, axf,ba微积微积分基本定理分基本定理leibniznewton(莱布尼兹公式莱布尼兹

6、公式牛顿牛顿).formula .dxx1x22;dxx11:131221计算下列定积分计算下列定积分例例 ,x1xln1因为解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1, x2x222因为dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119.xdxsin,dxxsin,dxxsin:22020计算下列定积分计算下列定积分例例00|xcosdxxsin, xsinxcos因为解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos:0,还可能是还可能是也可能取负值也可能取负值定积

7、分的值可能取正值定积分的值可能取正值可以发现可以发现 ;,),36.1(x1且等于曲边梯形的面积且等于曲边梯形的面积定积分的值取正值定积分的值取正值图图轴上方时轴上方时当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于 .,),46.1(x2反数反数的相的相且等于曲边梯形的面积且等于曲边梯形的面积定积分的值取负值定积分的值取负值图图轴下方时轴下方时当对应的曲边梯形位于当对应的曲边梯形位于oxy211xsiny 36. 1图图oxy112xsiny 46.1图图 .xx),56.1(0,xx3轴下方的曲边梯形面积轴下方的曲边梯形面积边梯形的面积减去位于边梯形的面积减去位于轴上方的曲轴上方的曲且等于位于且等

8、于位于图图定积分的值为定积分的值为时时积积形面形面梯梯曲边曲边下方的下方的轴轴梯形的面积等于位于梯形的面积等于位于轴上方的曲边轴上方的曲边当位于当位于.,.,成成果果分分中中最最重重要要、最最辉辉煌煌的的微微积积分分基基本本定定理理是是微微积积可可以以毫毫无无夸夸张张地地说说科科学学远远的的成成为为一一门门影影响响深深来来使使微微积积分分学学蓬蓬勃勃发发展展起起它它分分学学中中最最重重要要的的定定理理微微积积分分基基本本定定理理是是微微积积积积分分的的一一种种方方法法同同时时它它也也提提供供了了计计算算定定在在联联系系积积分分之之间间的的内内和和定定导导数数微微积积分分基基本本定定理理揭揭示示

9、了了oxy112xsiny 56. 1图图例例1.求求y=sinx在在0,上阴影部分的面积上阴影部分的面积s.解：解：s=0sin xdx 因为因为(cosx)=sinx，所以所以cosx是是sinx的一个原函数，的一个原函数，因此因此 0sin xdx=(cos)(cos0)=1+1=2例例2求曲线求曲线y=sinx与与x轴在区间轴在区间0，2是是所围成阴影部分的面积所围成阴影部分的面积s。解：由例解：由例1知知 =2，0sin xdx又可以求得又可以求得 =2，正弦函数在，正弦函数在区间区间，2上的积分为负值，因此正弦上的积分为负值，因此正弦函数在函数在0，2上的定积分为上的定积分为0，但

10、是它不，但是它不等于我们所求的阴影等于我们所求的阴影部分的面积，部分的面积，2sin xdx所以所以s= +| | =2+2=40sin xdx2sin xdx例例3计算：（计算：（1） ；（2）411dxx220(1)xdx解：（解：（1）因为）因为1(2)xx所以所以 411dxx2 42 12（2）因为）因为 32()13xxx所以所以 220(1)xdx320142()4333xx例例4计算计算:120 x dx解：由于解：由于 是是 y=x2的一个原函数，的一个原函数， 313x所以所以 120 x dx3 101|3x3311110333例例5汽车以每小时汽车以每小时32公里速度行

11、驶，到公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米米/秒秒2刹车，问从开始刹车到停车，刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？汽车走了多少距离？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。多少时间。 当当t=0时，汽车速度时，汽车速度v(0)=32公里公里/小时小时 = 米米/秒秒8.88米米/秒秒. 32 10003600 刹车后汽车减速行驶，刹车后汽车减速行驶，其速度为其速度为 v(t)=v(0)at=8.881.8t. 当汽车停住时，速度当汽车停住时，速度v(t)=0， 故从故从v(t)=8.881.8t=0解得解得 秒秒.8.88t=4.931.8于是在这段时间内，汽车所走过的距离是于是在这段时间内，汽车所走过的距离是4.934.930